Cubo de Hilbert
Em topologia , chamamos de cubo de Hilbert o espaço do produto dotado da topologia do produto , ou seja: o espaço de sequências com valores em [0, 1], dotado da topologia de convergência simples . De acordo com o teorema de Tykhonov , é um espaço compacto .
K=[0,1]NÃO{\ displaystyle K = \ left [0,1 \ right] ^ {\ mathbb {N}}}
É homeomórfico ao espaço das suítes tal como , provido com a distância:
[0,1]×[0,12]×[0,13]×⋯{\ displaystyle \ left [0,1 \ right] \ times \ left [0, {\ frac {1} {2}} \ right] \ times \ left [0, {\ frac {1} {3}} \ direita] \ times \ cdots}x=(xnão)não∈NÃO{\ displaystyle x = \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}∀não,0≤xnão≤1não{\ displaystyle \ forall n, \; 0 \ leq x_ {n} \ leq {\ frac {1} {n}}}
d(x,y)=∑não=0∞(xnão-ynão)2.{\ displaystyle d \ left (x, y \ right) = {\ sqrt {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (x_ {n} -y_ {n} \ right) ^ {2} }}.}
É, portanto, metrizável e, conseqüentemente (por ser compacto), separável e possui a seguinte propriedade:
Todo o espaço separável metrizáveis é homeomorfo a um subespaço de K .
Isso fornece, em particular, um meio conveniente para compactar espaços metrizáveis separáveis e também um critério para classificá-los de acordo com sua complexidade; por exemplo, um espaço é polonês se e somente se for homeomórfico à interseção de uma série de K aberto . Também concluímos que qualquer espaço mensurável gerado e separado numericamente é isomórfico a uma porção K fornecida com o Borel de K induzido pela tribo .
Veja também
Notas e referências
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e "mesmo" - que, para um espaço metrizável, é de fato equivalente - em uma base contável
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"Resultado devido a Urysohn " : François Guénard e Gilbert Lelièvre, Análise de complementos, Volume 1, Topologia , parte um , ENS Fontenay, 1985, p. 29
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Essas duas hipóteses podem ser substituídas por: regular e com base contável, pois qualquer espaço regular com base contável é metrizável .
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