Teorema de Tykhonov

O teorema Tychonov (ou Tychonoff ) é um teorema da topologia que diz que um produto de espaços topológicos compactos é compacto no sentido da topologia do produto . Foi publicado em 1930 pelo matemático russo Andrei Nikolaevich Tikhonov . Tem várias aplicações em topologia algébrica e diferencial , particularmente em análise funcional , para a demonstração do teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki e do Stone-Čech compactado .

Se este teorema é elementar no caso de um produto finito, sua validade no caso de um produto infinito é mais surpreendente e é demonstrada por um método não construtivo usando o axioma da escolha . No caso de um produto contável de espaços métricos compactos, uma forma fraca desse axioma é suficiente.

Demonstração no caso de um produto contável de métricas

No caso do produto contável da métrica, a ideia essencial é fazer desse produto um espaço que também seja métrico, dotando-o de uma distância adequada, que torne possível usar o teorema de Bolzano-Weierstrass e o fato de que o sequencial compacidade é estável por produtos contáveis.

Demonstração no caso geral

Um espaço é compacto apenas se for separado e se for quase compacto (isto é, se satisfizer a propriedade Borel-Lebesgue ). Como qualquer produto de separa é separado para a topologia do produto, resta provar que qualquer produto de quase-compacto é quase-compacto, usando o axioma da escolha ou, o que é equivalente, o lema de Zorn .

Pelo teorema de Alexander nas pré - bases

Considere uma família de espaços quase compactos. Para provar que seu produto X é quase compacto, é suficiente, de acordo com um teorema de Alexander , mostrar que para qualquer parte C da pré-base natural do produto , se C não contém qualquer cobertura finita de X, então C não cobre não X . Para fazer isso, começamos com o lema de Zorn (já usado para provar o teorema de Alexander) e, finalmente, o axioma da escolha.

Pela teoria do filtro

Podemos dar uma prova elegante desse teorema usando a teoria dos filtros .

Pelo uso de sequências generalizadas

Uma prova do teorema de Tykhonov generaliza a prova usual usada no caso de um produto finito ou contável. Ele usa a caracterização de compactação por sequências generalizadas . A partir de uma sequência generalizada do espaço do produto, ela consiste, por uma indução transfinita nas componentes, em extrair uma subsequência generalizada convergente, que comprova a compactação.

Pela propriedade do Borel-Lebesgue por fechado

Podemos usar que um espaço $X$ é quase compacto se e somente se, para qualquer família de fechado de $X$ cujas interseções finitas não são vazias, não é vazio. ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {F \ in {\ mathcal {F}}} F}$

Demonstração

Seja $X$ uma família de quase-compactos, $X$ seu produto, e uma família de fechados de $X$ cuja interseção finita de elementos não é vazia. Notaremos a projeção de $X$ diante . ${\ displaystyle (X _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in A}}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle p _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle X _ {\ alpha}}$

Considere o conjunto de famílias contendo (no sentido de inclusão) e cujas interseções finitas de elementos não são vazias. É um conjunto ordenado por inclusão e indutivo. Portanto, ele satisfaz as hipóteses do lema de Zorn e, conseqüentemente, admite um elemento máximo . ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$

Ambos corrigidos. Como a interseção finita de elementos de não é vazia, também é o caso da interseção finita de projeções em elementos de e, portanto, da adesão de tais elementos; assim, a família satisfaz as hipóteses da propriedade Borel-Lebesgue em compacto, então o conjunto é não vazio. ${\ displaystyle \ alpha \ in A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle X _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ overline {p _ {\ alpha} (F)}} \ right) _ {F \ in {\ mathcal {F}} ^ {*}}}$ ${\ displaystyle X _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {F \ in {\ mathcal {F}} ^ {*}} {\ overline {p _ {\ alpha} (F)}}}$

Consideraremos então um elemento do produto de todos esses conjuntos não vazios (portanto, usamos o axioma da escolha novamente) e mostraremos que ele está na interseção dos elementos de , que então estarão não vazios, o que completará a prova. ${\ displaystyle x = (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in A}}$ ${\ mathcal {F}}$

Notamos antes de tudo que:

( L1 ) é estável por interseção finita.

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}

Na verdade, deixe ser uma interseção finita de elementos de . Então o conjunto contém e suas interseções finitas são parte daquelas de, portanto, não são vazias, de modo que (pela maximalidade de ) , ou seja . $F$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*} \ bigcup \ {F \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*} \ bigcup \ {F \} = {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}} ^ {*}}$

Por um argumento semelhante, deduzimos que

( L2 ) se um conjunto cruza todos os elementos de , então ele pertence a .

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}

Qualquer um $V$ aberto contendo $X$ : não aberto para respectivo tal como elementar aberta contém $X$ e está incluído em $V$ . ${\ displaystyle \ prod _ {\ alpha \ in A} X _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha _ {1}}, \ dots, U _ {\ alpha _ {n}}}$ ${\ displaystyle X _ {\ alpha _ {1}}, \ dots, X _ {\ alpha _ {n}}}$ ${\ displaystyle U: = U _ {\ alpha _ {1}} \ times \ dots \ times U _ {\ alpha _ {n}} \ times \ prod _ {\ alpha \ neq \ alpha _ {1..n }} X _ {\ alpha}}$

Então , ou temos , portanto , ou aberto portanto , portanto . Em seguida, por (L2) , . ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$ ${\ displaystyle x _ {\ alpha _ {i}} \ in U _ {\ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle \ forall F \ in {\ mathcal {F}} ^ {*}, \, {\ overline {p _ {\ alpha _ {i}} (F)}} \ bigcap U _ {\ alpha _ { i}} \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle p _ {\ alpha _ {i}} (F) \ bigcap U _ {\ alpha _ {i}} \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle F \ bigcap p _ {\ alpha _ {i}} ^ {- 1} (U _ {\ alpha _ {i}}) \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle p _ {\ alpha _ {i}} ^ {- 1} (U _ {\ alpha _ {i}}) \ in {\ mathcal {F}} ^ {*}}$

Então, por (L1) , então $U$ cruza todos os elementos . A fortiori, $V$ cruza todos os elementos de . ${\ displaystyle U = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} p _ {\ alpha _ {i}} ^ {- 1} (U _ {\ alpha _ {i}}) \ in {\ mathcal { F}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {*}}$ ${\ mathcal {F}}$

Assim, $x$ está na aderência de todos os elementos de , que são fechados, então $x$ pertence a todos os elementos de , cuja intersecção, portanto, não é vazia, o que completa a prova. ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$

Equivalência com o axioma da escolha

Mencionamos anteriormente a equivalência do teorema de Tychonov com o axioma da escolha. É importante notar que essa equivalência só ocorre se considerarmos a definição de compactação da língua inglesa, que corresponde à quase-compactação da língua francesa (o espaço verifica a propriedade Borel-Lebesgue, mas não é separado a priori ). No caso da compactação da língua francesa (também impomos que o espaço seja separado), o teorema de Tychonov é equivalente a uma versão estritamente mais fraca do axioma da escolha: o teorema ideal primário em uma álgebra de Boole .

Para provar essa equivalência (no caso da língua inglesa), usaremos uma ligeira variante da topologia co-acabada que tem uma propriedade muito interessante: qualquer espaço é quase compacto para a topologia co-acabada.

Vamos, portanto, ser uma família de conjuntos não vazios, queremos mostrar . Damos a nós mesmos um elemento, notado , não pertencente à união de $A$ $i$ , definimos , e damos a topologia formada pelo conjunto vazio, todos os conjuntos de complemento finito e o singleton (verificamos que então, temos uma topologia e é quase compacta). Por Tychonov (falante de inglês), o produto de é quase compacto. $(A_i) _ {i \ in I}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \ neq \ varnothing}$ $\ infty$ ${\ displaystyle X_ {i} = A_ {i} \ bigcup \ {\ infty \}}$ $XI}$ ${\ displaystyle \ {\ infty \}}$ $XI}$ $X$ $XI}$

Note-se que, observando o $i$ projeção -ésimo , temos: . Ou é quase compacto: para mostrar isso , usaremos a contraposição da propriedade Borel-Lebesgue para as fechadas : se cada uma é fechada e se qualquer interseção finita de não é vazia, então a interseção de é não vazia, o que completará o prova. ${\ displaystyle p_ {i}: X \ a X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} = \ bigcap _ {i \ in I} p_ {i} ^ {- 1} (A_ {i})}$ $X$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} p_ {i} ^ {- 1} (A_ {i}) \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle p_ {i} ^ {- 1} (A_ {i})}$ ${\ displaystyle p_ {i} ^ {- 1} (A_ {i})}$ ${\ displaystyle p_ {i} ^ {- 1} (A_ {i})}$

Agora, para tudo , como está fechado e é contínuo, está fechado. Por outro lado, deixe ser uma parte finita de , então : de fato, ao escolher , para cada um, um elemento de , podemos definir um elemento dessa interseção por se e se : temos, portanto, a propriedade anunciada. $eu \ em eu$ $Ter}$ $XI}$ $p_ {i}$ ${\ displaystyle p_ {i} ^ {- 1} (A_ {i})}$ $J$ $eu$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in J} p_ {i} ^ {- 1} (A_ {i}) \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle i \ in J}$ $ter}$ $Ter}$ ${\ displaystyle x = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle x_ {i} = a_ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in J}$ ${\ displaystyle x_ {i} = \ infty}$ ${\ displaystyle i \ in I \ setminus J}$

Notas e referências

Ver o artigo Lemme du tube , ou Hervé Queffélec, Topologia: cursos e exercícios corrigidos , Dunod ,2016, 5 th ed. ( leia online ) , p. 88.
(en) John L. Kelley , Topologia Geral , Van Nostrand,1955( leia online ) , p. 143.
Siga o link ( veja abaixo ) para a Wikiversidade .
Olivier Brinon, " Teorema de Tychonoff " ,2006. (Neste texto, o nome Alexander é erroneamente substituído pelo nome Alexandrov, e o termo aberto é substituído pelo termo baseado em aberto .)
N. Bourbaki , Elementos de matemática , Topologia geral , cap. EU.
Georges Skandalis , topologia e análise 3 rd ano , Dunod , coll. Sciences Sup, 2001.
Claude Wagschal, Topologia e análise funcional , Hermann Edition, Collection Methods, 1995.
Étienne Matheron, “ Três Provas do Teorema de Tychonoff ”, American Mathematical Monthly , vol. 127, n o 5,2020, p. 437-443 ( DOI 10.1080 / 00029890.2020.1718951 )
(em) JL Kelley, " The Tychonoff product teoreem Implies the axiom of choice " , Fund. Matemática. , vol. 37, n o 1,1950, p. 75-76 ( ler online ).

Veja também

Teorema de Tychonov em conjuntos difusos
Teorema de De Bruijn-Erdős (teoria dos grafos)