Topologia co-acabada
A topologia co-acabada é a topologia que podemos definir em qualquer conjunto X da seguinte maneira: o conjunto de aberturas consiste no conjunto vazio e nas partes de X cofinies , ou seja, cujo complemento em X é acabado. Formalmente, se denotarmos por τ a topologia co-acabada em X , temos:
τ={NO⊂X∣X∖NO é terminado onde NO=∅}{\ displaystyle \ tau = \ {A \ subset X \ mid X \ setminus A {\ mbox {concluído ou}} A = \ varnothing \}}
ou mais simplesmente, definindo a topologia através das fechadas :
os
fechados de X são X e suas
partes finitas .
Propriedades
- A topologia induzida em uma porção Y dos X é o cofiniteness em Y .
- Em qualquer conjunto X , a topologia co-acabado é o menos bem das topologias T 1 .
- Se X é infinita, não vazio aberto a cofiniteness são elementos filtrantes Fréchet em X .
- Quando X é acabado, qualquer porção de X é cofinite, por conseguinte, para τ : o cofiniteness é, na verdade, a topologia discreta em X .
- Quando X é infinito, a topologia co-finita não é separada . A fortiori (visto que é T 1 ), não satisfaz nenhum dos axiomas de separação T 3 , T 4 e T 5 . O espaço X está conectado e conectado localmente .
- Mais precisamente, a convergência de uma sequência depende do conjunto A de valores pelos quais ela passa novamente um número infinito de vezes:
- se A tem pelo menos dois elementos, a sequência não tem limite;
- se A = { a }, a é o limite único da sequência;
- Se um estiver vazia, os resultados converge no sentido de qualquer ponto de X .
- Quando X é incontável, ele não tem uma base contável de vizinhanças .
- Quando X tem pelo menos a potência de DC , ele é conectado por arco e localmente conectado por arco . Na verdade, qualquer mapa injetivo do segmento [0, 1] em X é contínuo.
- Qualquer espaço fornecido com a topologia co - acabada é quase compacto e sequencialmente compacto .
Exemplos
Se X for uma variedade algébrica de dimensão no máximo 1, então seu espaço topológico subjacente é co-finalizado.
A topologia do espectro primo do anel ℤ de inteiros é estritamente menos fina do que a topologia co-acabada, porque o singleton formado pelo ponto genérico (correspondendo ao ideal nulo) é finito, mas não fechado.
Variantes
Referência
(en) Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , Dover ,1995( 1 st ed. Springer , 1978), 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , leia online ) exemplos 18, 19, 20.
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