Em matemática , o conjunto de todas as topologias possíveis em um determinado conjunto tem uma estrutura de conjunto parcialmente ordenada . Esta relação de ordem permite comparar as diferentes topologias .
Vamos τ 1 e τ 2 duas topologias em um conjunto X .
Dizemos que τ 2 é mais fino que τ 1 (ou então que τ 1 é menos fino que τ 2 ) e denotamos por τ 1 ⊆ τ 2 se a identidade de mapeamento id X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 ) é contínuo .
Se, além disso, τ 1 ≠ τ 2 , dizemos que τ 2 é estritamente mais fino que τ 1 (ou então que τ 1 é estritamente menos fino que τ 2 ).
A relação binária ⊆ define uma ordem parcial sobre o conjunto de todas as topologias possíveis em X .
A melhor topologia em X é a topologia discreta ; nesta topologia, todos os subconjuntos estão abertos . A topologia mais fraca em X é a topologia grosseira ; esta topologia só admite o conjunto vazio e todo o conjunto como aberto.
Em espaços de função e espaços de medição , há um grande número de topologias possíveis. Por exemplo, o espaço de funções contínuas definidas no intervalo unitário [0, 1] pode ser dotado da topologia de convergência simples ou da topologia de convergência uniforme : a segunda é mais fina que a primeira.
Vamos τ 1 e τ 2 duas topologias em um conjunto X . As seguintes proposições são equivalentes:
Temos dois corolários imediatos:
Você também pode comparar topologias usando bancos de dados de vizinhança . Sejam τ 1 e τ 2 duas topologias em um conjunto X e seja B i ( x ) uma base local de vizinhanças para a topologia τ i em x ∈ X para i = 1,2. Então τ 1 ⊆ τ 2 se e somente se para todo x ∈ X , cada U 1 aberto em B 1 ( x ) contém um U 2 aberto em B 2 ( x ). Intuitivamente, isso significa que uma topologia mais precisa deve ter vizinhanças “menores”.
O conjunto de todas as topologias em um conjunto X dotado da relação de ordem parcial ⊆ forma uma rede completa . Qualquer coleção de topologias em X tem um limite inferior e um limite superior . O limite inferior de uma coleção de topologias é a interseção dessas topologias. O limite superior, entretanto, geralmente não é a união dessas topologias (a união de duas topologias não é uma topologia), mas a topologia gerada pela união.