União (matemática)
Na teoria dos conjuntos , união ou reunião é uma operação básica do conjunto . Na álgebra booleana , a união está associada ao operador lógico ou inclusivo .
União de dois conjuntos
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto que contém todos os elementos que pertencem a uma ou pertencem B . Nós o denotamos como A ∪ B e dizemos "A união B"
Formalmente:
x∈NO∪B⇔(x∈NO∨x∈B){\ displaystyle x \ in A \ cup B \ Leftrightarrow \ left (x \ in A \ lor x \ in B \ right)}.
Por exemplo, a união dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}.
Propriedades algébricas
- A união é associativa , ou seja, para quaisquer conjuntos A , B e C , temos:
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ).
- A união é comutativa , que é dizer que para os conjuntos A e B qualquer, temos:
A ∪ B = B ∪ A .
- A interseção é distributiva na união, ou seja, para quaisquer conjuntos A , B e C , temos:
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ).
- A união é distributiva na intersecção, ou seja, para quaisquer conjuntos A , B e C , temos:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).
União de uma família de conjuntos
Generalizamos este conceito para qualquer conjunto de conjuntos (não necessariamente reduzidos a um par , nem mesmo finitos ): sua união, denotada , tem como seus elementos todos os para os quais existe um tal que (se X é o conjunto vazio , este encontro está portanto vazio ). O axioma da reunião é a afirmação de que é um conjunto.
X{\ displaystyle X}⋃X{\ displaystyle \ bigcup X}x{\ displaystyle x}E∈X{\ displaystyle E \ in X}x∈E{\ displaystyle x \ in E}⋃X{\ displaystyle \ bigcup X}
Podemos então definir o reencontro de qualquer família de conjuntos : é o reencontro do conjunto . Esta reunião anotada é, portanto, o conjunto de elementos para os quais existe tal . Formalmente:
(Eeu)eu∈eu{\ displaystyle (E_ {i}) _ {i \ in I}}X={Eeu|eu∈eu}{\ displaystyle X = \ {E_ {i} | i \ in I \}}⋃eu∈euEeu{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} E_ {i}}x{\ displaystyle x}eu∈eu{\ displaystyle i \ in I}x∈Eeu{\ displaystyle x \ in E_ {i}}
x∈⋃eu∈euEeu⇔(∃eu∈eu, x∈Eeu){\ displaystyle x \ in \ bigcup _ {i \ in I} E_ {i} \ Leftrightarrow (\ existe i \ in I, \ x \ in E_ {i})}.
A distributividade da interseção acima se estende às famílias:
NO∩(⋃eu∈euEeu)=⋃eu∈eu(NO∩Eeu){\ displaystyle A \ cap \ left (\ bigcup _ {i \ in I} E_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} (A \ cap E_ {i})}.
Notas e referências
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Neste contexto, essas duas palavras são sinônimo ( cf. sindicais e reuniões entradas no portal lexical do CNRTL ). Eles são usados indistintamente, às vezes no mesmo trabalho, como S. Balac e L. Chupin , Analyze et algebre: curso de matemática do segundo ano com exercícios corrigidos e ilustrações com Maple , Lausanne, PPUR ,2008, 1035 p. ( ISBN 978-2-88074-782-4 , leia online ).
-
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matemática Tudo-em-um para Licença 1 , Dunod ,2018, 3 e ed. ( leia online ) , p. 22.
-
René Cori e Daniel Lascar , Mathematical Logic II . Funções recursivas, teorema de Gödel, teoria dos conjuntos, teoria do modelo [ detalhe das edições ], p. 124 da edição de 1993.
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