Cruzamento (matemática)
Na teoria dos conjuntos , a interseção é uma operação de conjunto que tem o mesmo nome de seu resultado, ou seja, o conjunto de elementos pertencentes a ambos os operandos ao mesmo tempo : a interseção dos dois conjuntos A e B é o conjunto, denotado A ∩ B , disse , " A cruz B " que contém todos os elementos pertencentes a A e a B , e apenas esses.
A e B são disjuntos se e somente se A ∩ B é o conjunto vazio ∅.
Um é incluído em B se e apenas se um ∩ B = Uma .
Na análise real , os pontos de intersecção de curvas representativas de duas funções intervêm na descrição de sua posição relativa .
Exemplos em geometria
Intersecção de duas linhas
No plano
- No plano , a intersecção de duas retas não paralelas é um ponto : dizemos que são secantes.
- Se duas linhas são estritamente paralelas, elas não têm um ponto comum; a intersecção deles está vazia:
- Se duas linhas se confundem, todos os seus pontos são comuns; a interseção é uma linha:
No espaço
- Se duas linhas não forem coplanares , não terão nenhum ponto em comum; seu cruzamento está vazio:
- Duas linhas paralelas ou secantes são coplanares.
Outros exemplos
No espaço
- a interseção de uma linha não paralela e um plano é um ponto.
- a interseção de dois planos não paralelos é uma linha.
No plano
- a intersecção de uma linha e um círculo é formada por zero, um ou dois pontos, dependendo se a distância do centro do círculo à linha é maior, igual ou menor que o raio do círculo. Se a interseção for reduzida a um ponto, a linha é tangente ao círculo.
- a intersecção de dois círculos é formada por dois pontos se a distância entre seus centros for (estritamente) menor que a soma de seus raios e maior que sua diferença, por um ponto se essa distância for igual à soma ou à diferença de raios (tangente círculos), caso contrário, vazio.
Em geometria analítica
Na geometria analítica , a interseção de dois objetos é definida pelo sistema de equações formado pela união das equações associadas a cada objeto.
Na dimensão 2, a intersecção de duas retas é definida por um sistema de duas equações com 2 incógnitas, que tem, em geral, uma solução única, exceto se seu determinante for zero, caso em que tem zero ou infinito: nós encontre os três casos de geometria.
Na dimensão 3, a interseção de três planos é definida por um sistema de três equações com 3 incógnitas, que geralmente tem uma solução única, a menos que seu determinante seja zero.
Na álgebra booleana
Na álgebra booleana , a interseção está associada ao operador lógico et : se A é o conjunto de elementos de E possuindo a propriedade P (ou satisfazendo a condição P) e B o conjunto de elementos de E possuindo a propriedade Q (ou satisfazendo a condição Q), então A ∩ B é o conjunto de elementos de E possuindo a propriedade P etQ (ou satisfazendo a condição P e a condição Q).
Exemplo 1: se E é o conjunto de números naturais menores que 10, A o conjunto de elementos ímpares de E e B o conjunto de elementos de E primo, então A ∩ B é o conjunto de elementos ímpares de E e primeiro:
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, A ∩ B = {3, 5, 7}.Exemplo 2: a intersecção do conjunto de retângulos ( quadriláteros tendo seus quatro ângulos retos) e do conjunto de losangos (quadriláteros tendo seus quatro lados iguais) é o conjunto de quadrados (quadriláteros tendo seus quatro ângulos retos e seus quatro lados iguais) .
Definimos da mesma forma a interseção de uma classe não especificada de conjuntos (não necessariamente reduzida a dois conjuntos, nem finitos, nem mesmo indexados por um conjunto: apenas pedimos que seja não vazia).
Propriedades algébricas
- A intersecção é associativa , ou seja, para quaisquer conjuntos A , B e C , temos:
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ). - O cruzamento é comutativa , que é dizer que para os conjuntos A e B qualquer, temos:
A ∩ B = B ∩ A . - A união é distributiva sobre a intersecção, ou seja, para os conjuntos A , B e C qualquer, temos:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).
Intersecção de uma família definida
Generalizamos este conceito para uma família de conjuntos ( E i ) i ∈ I (não necessariamente reduzida a dois conjuntos, nem mesmo finitos). A interseção de E i , denotada por ∩ i ∈ I E i , é o conjunto de elementos comuns a todos E i (se I for o conjunto vazio , essa interseção não é, portanto, definida em absoluto).
Formalmente:
Notas
- Para sermos rigorosos, devemos dizer aqui: "é um singleton "; abuso "é um ponto" é considerado aceitável.
- Para prová-lo, basta supor os círculos, centrados em A e B, secantes em M, e escrever as desigualdades triangulares no triângulo ABM.