Medição espectral
Na matemática , mais precisamente na análise funcional , uma medida espectral é uma aplicação definida em uma tribo com valores no espaço de projeções ortogonais de um espaço hilbertiano e satisfazendo axiomas semelhantes aos que definem medidas positivas . As medições espectrais são usadas para expressar resultados na teoria espectral , como o teorema espectral para operadores auto-adjuntos .
As medições espectrais têm propriedades semelhantes às medições reais positivas.
Definição formal
Considere um espaço mensurável , ou seja, um conjunto provido de uma tribo . Uma medida espectral, também chamada de homorfismo espectral, é um mapa definido na álgebra de funções mensuráveis complexas limitadas por ter as seguintes propriedades:
(X,NO){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}X{\ displaystyle X}NO{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}φ{\ displaystyle \ varphi} M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}X{\ displaystyle X}
-
φ{\ displaystyle \ varphi}é um morfismo involutivo da álgebra na álgebra involutiva de operadores limitados em um espaço de HilbertM{\ displaystyle {\ mathcal {M}}} H{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}
- Se , então, a função definidaξ∈H{\ displaystyle \ xi \ in {\ mathfrak {H}}}
ν(E)=⟨φ(E)ξ∣ξ⟩{\ displaystyle \ nu (E) = \ langle \ varphi (E) \ xi \ mid \ xi \ rangle}
é uma medida de valor complexo.
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