Em matemática e mais precisamente em álgebra linear , um endomorfismo auto-adjunto ou operador Hermitiano é um endomorfismo do espaço de Hilbert que é seu próprio assistente (em um espaço de Hilbert real é dito também endomorfismo simétrico ). O protótipo do espaço de Hilbert é um espaço euclidiano , ou seja, um espaço vetorial no campo dos números reais , de dimensão finita e provido de um produto escalar . O análogo no corpo dos complexos é chamado de espaço hermitiano . Nesses espaços de Hilbert de dimensão finita, um endomorfismo autoadjoint é diagonalizável em uma certa base ortonormal e seus autovalores (mesmo no caso complexo) são reais. As aplicações das propriedades estruturais de um endomorfismo auto-adicionado (e, portanto, de sua forma quadrática associada) são numerosas.
Definição - Seja um espaço de Hilbert (real ou complexo). Um aplicativo é considerado auto-anexado se verificar:
.Tal mapa, portanto, admite um auxiliar (igual a ), de modo que é um endomorfismo de H : é automaticamente linear e (mesmo que H seja de dimensão infinita) contínuo . Podemos, portanto, reformular a definição como: um endomorfismo autoadjunto (ou “operador Hermitiano”) de H é um endomorfismo igual ao seu adjunto.
Pelo teorema da representação de Riesz , existe um isomorfismo de no conjunto das formas bilineares contínuas (ou formas sesquilineares no caso complexo). Esta bijeção, que aqui denotaremos por Φ, associada ao endomorfismo tem a forma Φ a definida por:
Forma associada a uma autoadjunta - A forma bilinear (resp. Sesquilinear) Φ a é simétrica (resp. Hermitiana ) se e somente se a for autoadjunta.
Nota sobre formas quadráticas . Por restrição de Φ, os endomorfismos auto-unidos estão, portanto, em bijeção com as formas bilineares simétricas (resp. As formas Hermitianas). No entanto, os últimos estão eles próprios em bijeção com as formas quadráticas (ver o artigo Identidade de polarização ). O composto dessas duas bijeções associadas a qualquer endomorfismo autoadjunto tem a forma quadrática
.Em suma, se dois endomorfismos auto-unidos têm a mesma forma quadrática associada, eles são iguais.
O isomorfismo Φ permite adicionar duas definições:
Endomorfismo positivo e positivo definido - Um endomorfismo autoadjunto a é considerado positivo (resp. Positivo definido ) se e somente se Φ tem é.
Por exemplo, para qualquer endomorfismo a , o endomorfismo autoadjunto a ∘ a * é sempre positivo e é definitivamente positivo se e somente se a for injetivo.
Aqui, H denota um Hilbert de dimensão finita n . Uma matriz quadrada com coeficientes complexos é chamada de matriz auto- unida (ou Hermitiana) se for igual à sua matriz anexada . No caso em que seus coeficientes são reais, isso equivale a dizer que é uma matriz simétrica . A seguinte caracterização é imediata, mas muito útil:
Matriz de um endomorfismo auto-adjacente - Um endomorfismo de um espaço euclidiano ou hermitiano é autoassociado se e somente se houver uma base ortonormal na qual sua matriz é autoassociada. Além disso, quando se trata de uma base ortonormal, é para todos.
A estrutura de um endomorfismo auto-unido em dimensão finita (ou, o que dá no mesmo, de uma matriz auto-unida) é simples (este teorema espectral generaliza em dimensão infinita no caso de um operador normal compacto ):
Diagonalização de um endomorfismo auto-anexado e uma matriz auto - anexada -
O significado “se” é imediato, pois uma matriz diagonal real é auto-unida.
Pelo contrário, podemos usar que, em um espaço Hermitiano, qualquer endomorfismo normal a é diagonalizável em uma base ortonormal e que se λ é um autovalor para a e v um autovetor associado, então v é autovalor para a * para o conjugado de autovalor. Aplicando isso a um endomorfismo α que não é apenas normal, mas auto-adicionado, o caso Hermitiano do teorema acima é demonstrado. O caso euclidiano é deduzido disso por complexificação (com algumas sutilezas técnicas).
Uma prova mais direta do recíproco (que utiliza as técnicas de redução dos endomorfismos normais) permite evitar a complexificação e tratar simultaneamente os casos hermitiano e euclidiano, em duas etapas: primeiro mostramos que todos os autovalores de a são real e que em uma dimensão diferente de zero existe pelo menos um (mesmo no caso euclidiano), então reduzimos a por indução na dimensão do espaço:
ou X *. X é diferente de zero, portanto λ é real.
Por exemplo, uma projeção é autoassociada se e somente se for uma projeção ortogonal e for o mesmo para uma simetria .
A diagonalização acima é reformulada em termos de uma forma quadrática:
Ortogonalização simultânea de uma forma quadrática e com um produto escalar - Let H euclidiana ou espaço Hermitiana e Ψ uma forma bilinear simétrica (resp Uma forma Hermitiana.) Em H . Então existe uma base ortonormal de H que é ortogonal para Ψ, ou seja, na qual a matriz associada com Ψ é diagonal. Além disso, os coeficientes dessa matriz são todos reais.
Qualquer operador normal (em particular qualquer operador autoadjoint) em um espaço de Hilbert tem um raio espectral igual a sua norma de operador . No caso particular em que a dimensão é finita, o raio espectral é o maior dos módulos dos autovalores e a prova é elementar. (Para esta prova, consulte o artigo detalhado Operador normal ).
Um mapeamento a de H para H é chamado de endomorfismo anti-autoadjunto ou anti-hermitiano (no caso real também dizemos anti-simétrico) se - a for adjunto a a . Os endomorfismos autoadjoint e antiautoadjoint formam, em ℒ ( H ), dois subespaços vetoriais reais adicionais .
Em matemática, a estrutura dos endomorfismos auto-unidos torna possível resolver equações diferenciais lineares , encontrar uma base ortogonal para duas formas quadráticas se uma for definida positiva ou classificar as quádricas . Na física , é usado para resolver muitas equações diferenciais parciais , como a da corda vibrante ou para expressar o momento de inércia de um sólido . É usado em estatística para estabelecer o método dos mínimos quadrados ou para estudar uma amostra usando a análise de componentes principais . Finalmente, muitos métodos de cálculo numérico são baseados nesta propriedade. Essas aplicações são tratadas no teorema espectral do artigo . O caso da dimensão infinita está dentro do domínio da análise funcional .
Em The Chance, the Unexpected , Ivar Ekeland sobre a crítica à teoria das catástrofes de René Thom cita esta piada do matemático argentino Hector José Sussmann: “Na matemática, os nomes são arbitrários. Todos são livres para chamar um operador auto-assistente de "elefante" e uma decomposição espectral de "tromba". Podemos então provar um teorema segundo o qual "todo elefante tem uma tromba". Mas não temos o direito de sugerir que esse resultado tenha algo a ver com grandes animais cinzentos. "
" Construção de endomorfismos auto-adjacentes " , na Joseph Fourier University , grupo de pesquisa em Cabri Géomètre ,2001
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