Valor próprio (resumo)

As noções de eigenvector , valor próprio e eigenspace aplica a endomorfismos (ou operadores lineares), ou seja, mapas lineares de um espaço vetorial em si. Eles estão intimamente ligados e formam um pilar da redução de endomorfismos , parte da álgebra linear que visa decompor o espaço da maneira mais eficiente possível em uma soma direta de subespaços estáveis .

Definições e propriedades

Em seguida, consideramos um espaço vetorial E ao longo de um campo comutativa K . Os elementos de E são os vetores e os de K são os escalares . Na prática, o campo K é freqüentemente o campo ℂ de complexos e o espaço vetorial é de dimensão finita . Em cada seção, quaisquer restrições ao corpo ou tamanho serão especificadas. Denotamos por u um endomorfismo de E e $Id$ o endomorfismo de identidade .

Valor próprio

Definição - Um escalar $λ$ é um autovalor de u se houver um vetor diferente de zero x tal que u ( x ) = $λ$ x .

Os autovalores de u são, portanto, os escalares $λ$ tais que u - $λId$ não é injetivo (em outras palavras, seu núcleo não é reduzido ao vetor zero ).

Os autovalores de uma matriz quadrada A de tamanho n são os autovalores do endomorfismo de K n da matriz A na base canônica .

Se E é de dimensão finita n , os autovalores de u (ou de sua matriz A em qualquer base ):

são as raízes de seu polinômio característico comum, det ( X Id - u ) = det ( X I n - A );
são todos os valores espectrais de u (ou de A ): os elementos de seu espectro comum.

Exemplos:

se u = $Id,$ então u tem apenas um autovalor: 1.
se u é definido em ℝ 2 até então u tem dois valores próprios: você(x1,x2)=(x1+6x2,x1+2x2){\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})} $u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})$
- 4 porque $u (2,1) = (8,4) = 4 (2,1)$
- -1 porque $u (-3,1) = (3, -1) = -1 (-3,1)$
- nenhum outro valor próprio, pois a dimensão é 2.

Vetor limpo

Definição - Seja x um vetor diferente de zero de E , x é um autovetor de u se houver um escalar $λ$ tal que u ( x ) = $λ$ x . Dizemos que x é um autovetor associado ao autovalor $λ$ .

Os vectores eigen associados (com um valor próprio $λ$ ) de uma matriz quadrada A de tamanho n são os vectores próprios (associados com o valor próprio $λ$ ) do endomorfismo de K n representado por A .

Um autovetor não pode ser associado a dois autovalores diferentes
Uma família de k autovetores associados a k diferentes autovalores constitui uma família livre .

Limpar subespaços

Definição - Seja λ um autovalor de u (resp. A ); então o conjunto formado pelos autovetores do autovalor λ e do vetor zero é denominado autovalor de u (resp. A ) associado ao autovalor λ.

O subespaço próprio associado a um valor próprio λ é o núcleo de u - λ $Id$ . É, portanto, um subespaço vetorial .
Por definição de um autovalor, um autovalor nunca é reduzido ao vetor zero.
Para uma matriz quadrada A de tamanho n , encontramos o subespaço próprio associado a um valor próprio λ resolvendo o sistema (homogêneo) de n equações lineares com n incógnitas cuja escrita da matriz é ( A - $λ$ I n ) v = 0.
Os autoespaços E i de autovalores λ i formam uma soma direta de subespaços de vetores estáveis por u .
Isso é uma consequência do lema do kernel , aplicado aos polinômios X - λ i , que são dois por dois primos entre eles.
Esta soma direta de E i é igual a E se e somente se o endomorfismo é diagonalizável.
Se dois endomorfismos u e v trajeto , então qualquer subespaço adequada de u é estável sob v .

Polinômio característico

Assumimos aqui que E é de dimensão finita n .

Chamamos de "polinômio característico" do endomorfismo u , o polinômio det ( X $Id$ - u ) , e "polinômio característico" de uma matriz quadrada A de ordem n , o polinômio característico do endomorfismo de K n canonicamente associado a A , ie o polinômio det ( XI n - A ), onde I n é a matriz identidade n × n . Este polinômio é de grau n , portanto tem no máximo n raízes .

Tanto a : E → F um isomorfismo de espaços vetoriais , ou seja, um bijetivo linear , então u e aua -1 têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores.
De fato, ${\ displaystyle \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {F} -aua ^ {- 1}) = \ det (a (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u) a ^ {- 1}) = \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u).}$
O polinômio característico de u é, portanto, igual ao de sua matriz A em qualquer base .
As raízes do polinômio característico de u (ou de A ) são seus autovalores.
Na verdade, um endomorfismo tem um determinante zero se, e somente se, for não injetivo.
Se K é algebricamente fechado , ou se K é R o campo de números reais e n é ímpar, então u tem, pelo menos, um valor próprio.
Dizer que um campo é algebricamente fechado é dizer que qualquer polinômio não constante admite pelo menos uma raiz. Essa raiz é necessariamente um autovalor, de acordo com o primeiro ponto acima. Por outro lado, um polinômio real de grau ímpar sempre tem uma raiz real.

A ordem da multiplicidade algébrica de um autovalor λ é a ordem da multiplicidade da raiz no polinômio característico. É, portanto, o expoente de ( X - λ) no polinômio característico.

Em um campo algébricamente fechado:
- O determinante é igual ao produto dos autovalores elevados à sua ordem de multiplicidade algébrica;
- O traço é igual à soma dos autovalores multiplicados por sua ordem de multiplicidade algébrica.

Polinômio mínimo

Colocamo-nos aqui no quadro de um espaço vetorial E de dimensão finita.

Chamamos de “polinômio mínimo” de u a unidade de polinômio de menor grau que cancela u . O polinômio mínimo dá uma relação de dependência linear nas potências u 0 , u 1 , u 2 , ..., do endomorfismo, e reciprocamente tal relação de dependência linear dá um polinômio de cancelamento de u , o polinômio mínimo minimizando o grau e tomando o coeficiente 1 para a maior potência de u que ocorre.

As raízes do polinômio mínimo são os autovalores de u .

Se o polinômio mínimo é fatorado M = ( X - λ) Q , então M ( u ) = ( u - λ

Id

) ∘ Q ( u ) é o endomorfismo zero, enquanto Q ( u ) não é (porque o grau de Q é muito baixo). Consequentemente, existem vetores diferentes de zero na imagem de Q ( u ), que são vetores próprios para λ.

Mais geralmente, para qualquer inteiro i ≥ 1, o polinômio mínimo é divisível por ( X - λ) i se e somente se o kernel de ( u - λ $Id$ ) i for estritamente maior do que o de ( u - λ $Id$ ) i - 1 . Consequentemente, a multiplicidade m de λ como a raiz do polinômio mínimo é igual ao menor expoente, de modo que o núcleo de ( u - λ $Id$ ) m é igual ao subespaço característico associado ao autovalor λ. É chamada de multiplicidade mínima de λ.
Seja a um automorfismo de E , então u e aua −1 têm o mesmo polinômio mínimo (e, portanto, os mesmos autovalores). Em outras palavras, o polinômio mínimo é um invariante de similaridade do endomorfismo.
Com efeito, P ( AUA -1 ) é igual aP ( u ) é -1 , para qualquer polinómio P .
Em um campo algébricamente fechado, o polinômio mínimo (como qualquer polinômio diferente de zero) é dividido e, portanto, tem pelo menos uma raiz, que é autovalor de u (exceção: se a dimensão de E é zero, o polinômio mínimo é 1, assim como o polinômio característico e u não tem autovalor).
O teorema de Cayley-Hamilton nos permite afirmar que o polinômio mínimo divide o polinômio característico

Subespaços característicos

Assumimos que E é dimensionalmente finito e que K é algebricamente fechado.

Se λ é um autovalor de u , cuja ordem de multiplicidade é α λ , chamamos “subespaço característico” de u associado ao autovalor λ o núcleo de ( u - λ $Id$ ) α λ . Vamos denotar esse subespaço característico E λ .

E λ é também o núcleo de ( u - λ $Id$ ) β λ onde β λ é a ordem de multiplicidade de λ no polinômio mínimo.
E λ é estável por u .
dim ( E λ ) = α λ .
O espaço E é a soma direta de seus subespaços característicos.
a restrição de u a E λ tem um polinômio mínimo ( X - λ) β λ .

Redução do endomorfismo

Supomos que E é de dimensão finita. O estudo dos autovalores permite encontrar uma forma mais simples de endomorfismo, chamada de redução.

Diagonalização

O endomorfismo é inteiramente determinado por seus autovetores e seus autovalores associados se for diagonalizável, ou seja, se houver uma base de autovetores. Exemplos numéricos são dados no artigo “ Matriz diagonalizável ”. Os seguintes critérios são todos condições necessárias e suficientes para que um endomorfismo de um espaço vetorial de dimensão finita seja diagonalizável:

Existe uma base de vetores próprios
a soma dos autoespaços é todo o espaço
a soma das dimensões dos autoespaços é igual à dimensão de todo o espaço
o polinômio mínimo é dividido em K e com raízes únicas. ( Prova em polinômio de endomorfismo . )
qualquer subespaço adequado tem uma dimensão igual à multiplicidade algébrica do autovalor associado.
qualquer representação de matriz M de u é diagonalizável, ou seja, pode ser escrita na forma M = PDP −1 com P e D respectivamente matrizes invertíveis e diagonais .

Além dessas propriedades equivalentes, existem as seguintes implicações:

Se houver autovalores dim ( E ) distintos, então u é diagonalizável.
Se u for diagonalizável, seu polinômio característico será dividido.

No caso em que o campo é ℂ, essa propriedade é verdadeira em quase todos os lugares no sentido da medida de Lebesgue . Além disso, no espaço topológico dos endomorfismos de E , o subconjunto daqueles que são diagonalizáveis é então denso .

Decomposição de Dunford

Se o polinómio mínima de u é dividida, então L pode ser escrito sob a forma de u = d + n com d diagonalizáveis e n nilpotentes tal que dn = nd . Além disso, d e n são polinômios em u .

Representação da jordânia

Assumimos que K é algebricamente fechado.

A representação de Jordan prova que então qualquer endomorfismo u de E é trigonalizável . Mostra que a restrição de u ao subespaço característico associado ao autovalor $λ$ possui uma representação formada por blocos da forma

J_ {k} (\ lambda) = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 &&&& \\ & \ lambda & 1 && (0) & \\ && \ ddots & \ ddots && \ &&& \ ddots & \ ddots & \ \ & (0) &&& \ lambda & 1 \\ &&&&&& \ lambda \\\ end {pmatrix}}

chamados de “blocos de Jordan” e que o endomorfismo tem uma representação matricial na forma

{\ begin {pmatrix} J _ {{k_ {1}}} (\ lambda _ {1}) &&&& \\ & J _ {{k_ {2}}} (\ lambda _ {2}) &&& \\ && \ ddots && \\ &&& \ ddots & \\ &&&& J _ {{k_ {r}}} (\ lambda _ {r}) \\\ end {pmatrix}}

onde os escalares $λ i$ (não necessariamente distintos) são os autovalores de u .

Veja também

Bibliografia

Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]
Haïm Brezis , Análise funcional: teoria e aplicações [ detalhe das edições ]
Walter Rudin , Análise funcional [ detalhe das edições ]
(en) Nelson Dunford e Jacob T. Schwartz (en) , Linear Operators, Part I General Theory , Wiley-Interscience, 1988