Cantor Ensemble
Em matemática , todo o Cantor (ou conjunto triádico de Cantor , ou pó de Cantor ) é um notável all-in - a linha real construída pelo matemático alemão Georg Cantor .
É um subconjunto fechado do intervalo de unidade [0, 1] , com interior vazio. Serve de exemplo para mostrar que existem conjuntos infinitos incontáveis, mas desprezíveis no sentido da medida de Lebesgue . É também o primeiro exemplo de fractal (embora o termo não tenha aparecido até um século depois) e tem uma dimensão não inteira .
Por fim, admite-se uma interpretação sob o ângulo do desenvolvimento dos reais na base 3. Por esse motivo, freqüentemente se observa K 3 .
Nós o construímos iterativamente a partir do segmento [0, 1] removendo o terço central; em seguida, a operação é repetida nos dois segmentos restantes e assim por diante. Podemos ver as seis primeiras iterações do processo no diagrama a seguir:
Construção
Construção iterativa
Denotamos pelo operador "remover o terço central":
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}
T:eu→eu0∪eu1 [no,b]↦[no,no+b-no3]∪[b-b-no3,b].{\ displaystyle {\ begin {array} {cccl} {\ mathcal {T}}: & I & \ rightarrow & I_ {0} \ cup I_ {1} \ \\ & \ [a, b] & \ mapsto & \ displaystyle \ left [a, a + {\ frac {ba} {3}} \ right] \ cup \ left [b - {\ frac {ba} {3}}, b \ right] \ end {array}} .}Denotamos e definimos por indução uma sequência de partes de [0, 1] pela relação:
NO0=[0,1]{\ displaystyle A_ {0} = [0,1]}
∀não∈NÃO, NOnão+1=T(NOnão).{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ A_ {n + 1} = {\ mathcal {T}} (A_ {n}).}Nós temos :
NO1=[0,13]∪[23,1];{\ displaystyle A_ {1} = \ left [0, {\ frac {1} {3}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {3}}, 1 \ right];}
NO2=[0,19]∪[29,13]∪[23,79]∪[89,1];{\ displaystyle A_ {2} = \ left [0, {\ frac {1} {9}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {9}}, {\ frac {1} {3 }} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {3}}, {\ frac {7} {9}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {8} {9}}, 1 \ direita];}
NO3=[0,127]∪[227,19]∪[29,727]∪[827,13]∪[23,1927]∪[2027,79]∪[89,2527]∪[2627,1].{\ displaystyle A_ {3} = \ left [0, {\ frac {1} {27}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {27}}, {\ frac {1} {9 }} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {9}}, {\ frac {7} {27}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {8} {27}}, {\ frac {1} {3}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {3}}, {\ frac {19} {27}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {20} {27}}, {\ frac {7} {9}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {8} {9}}, {\ frac {25} {27}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {26} {27}}, 1 \ right].}
Então o conjunto Cantor é o "limite" de quando tende a :
K3{\ displaystyle K_ {3}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}não{\ displaystyle n}+∞{\ displaystyle + \ infty}
K3=⋂não∈NÃONOnão.{\ displaystyle K_ {3} = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}.}
Escrita na base 3
Também podemos definir o conjunto Cantor por meio da escrita de base 3 . Na verdade, qualquer real pode ser escrito:
x∈[0,1]{\ displaystyle x \ in [0,1]}
x=∑não=1∞xnão3não;{\ displaystyle x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x_ {n}} {3 ^ {n}}};}com . Nós então escrevemos
xnão∈{0,1,2}{\ displaystyle x_ {n} \ in \ {0,1,2 \}}
x=0,x1x2x3x4x5...{\ displaystyle x = 0, x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} x_ {5} \ ldots}Esta escrita é única, exceto que você pode substituir por (e por ) no final de uma escrita. Se escolhermos fazer essa transformação, podemos definir por:
1.000.000...{\ displaystyle 1000000 \ ldots}0222222...{\ displaystyle 0222222 \ ldots}2.000.000...{\ displaystyle 2000000 \ ldots}1222222...{\ displaystyle 1222222 \ ldots}K3{\ displaystyle K_ {3}}
O conjunto Cantor é formado pelos reais de [0, 1] tendo uma escrita de base 3 contendo apenas 0s e 2s.
Ou mais formalmente:
K3={∑não=1∞xnão3não |∀eu∈NÃO∗,xeu∈{0,2}}.{\ displaystyle K_ {3} = \ left \ {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x_ {n}} {3 ^ {n}}} \ | \ forall i \ in \ mathbb {N} ^ {*}, x_ {i} \ in \ {0,2 \} \ right \}.}
Por exemplo o 1/3 real está neste conjunto, já que admite as duas escritas 0,1000… e 0,02222… na base 3. O 2/3 real também (0,2000… ou 0,12222…). Podemos notar que entre os números que admitem uma expansão adequada e uma expansão imprópria, não há nenhum cujas duas escrituras atestem a propriedade solicitada.
Propriedades
Medido
O conjunto Cantor é de medida zero, ou seja, insignificante no sentido da medida de Lebesgue .
Na verdade, observando a medida de Lebesgue em , temos:
ℓ{\ displaystyle \ ell}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
-
ℓ([0,1])=1{\ displaystyle \ ell \ left ([0,1] \ right) = 1} ;
- Para uma reunião de intervalos: ;NOnão{\ displaystyle A_ {n}}ℓ(T(NOnão))=ℓ(NOnão+1)=23ℓ(NOnão){\ displaystyle \ ell \ left ({\ mathcal {T}} (A_ {n}) \ right) = \ ell (A_ {n + 1}) = {\ frac {2} {3}} \ ell (A_ {não})}
onde está o operador “ablação do terço central” (ver primeiro parágrafo ).
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}
Deduzimos isso para as etapas da construção iterativa acima:
∀não∈NÃO, ℓ(NOnão)=(23)não.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ \ ell \ left (A_ {n} \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {n}.}E como o conjunto Cantor está incluído em todos : .
NOnão{\ displaystyle A_ {n}}ℓ(K)=0{\ displaystyle \ ell \ left (K \ right) = 0}
O conjunto Cantor é, portanto, "pequeno" no sentido da medida de Lebesgue .
Não contabilização
No entanto, o conjunto Cantor não é contável . Mais precisamente, ele tem o poder do contínuo , ou seja, que é equipotente a , o conjunto de peças do conjunto de inteiros naturais (ou , além disso equipotentes para , não é contável, de acordo com o teorema de Cantor ).
P(NÃO){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}P(NÃO){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Pode-se de fato, graças à escrita na base 3 acima , definir uma bijeção de em , por associação com qualquer parte do real , onde denota a função característica da parte .
P(NÃO){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}K3{\ displaystyle K_ {3}}NO{\ displaystyle A}NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}∑k=0∞2×1NO(k)3k+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ vezes 1_ {A} (k)} {3 ^ {k + 1}}}}1NO{\ displaystyle 1_ {A}}NO{\ displaystyle A}
Assim, o conjunto de Cantor é "grande" no sentido da teoria dos conjuntos .
Demonstração
Ou P um ponto , e de uma esfera aberta (intervalo aberto) centrado em P . Esta abertura contém necessariamente um real cuja expansão na base 3 contém o número 1, que não é um elemento de . Então P não está dentro . Além disso, neste mesmo intervalo, sempre existe um real cuja expansão na base 3 se escreve apenas com 0 ou 2. Logo, P não é um ponto isolado.
K3{\ displaystyle K_ {3}}K3{\ displaystyle K_ {3}}K3{\ displaystyle K_ {3}}
- Um espaço topológico X é homeomórfico ao espaço Cantor se e somente se X for um compacto perfeito com uma base aberto-fechado contável.
- Qualquer espaço métrico compacto é a imagem do Cantor definida por um mapa contínuo. Esta propriedade tem repercussões importantes na análise funcional . Além disso, qualquer espaço métrico compacto completamente descontínuo perfeito é homeomórfico ao conjunto Cantor; os subespaços do plano ou do espaço usual com essa propriedade são freqüentemente chamados de poeira de Cantor .
Auto-similaridade
A imagem do Cantor definida pela homotetia h com centro 0 e proporção 1/3 é ela própria uma parte do conjunto Cantor. Mais precisamente
K3=h(K3)∪(h(K3)+23).{\ displaystyle K_ {3} = h \ left (K_ {3} \ right) \ cup \ left (h \ left (K_ {3} \ right) + {\ frac {2} {3}} \ right). }Assim, é a reunião disjunta de duas partes que lhe são homotéticas. É uma manifestação do que se denomina auto-similaridade , que é uma das propriedades básicas dos fractais .
K3{\ displaystyle K_ {3}}
Dimensão
Como consequência do acima, podemos calcular a dimensão de Minkowski ; é log 3 (2) = log b (2) / log b (3) ≈ 0,631, onde b é qualquer base. É um número irracional e até mesmo transcendente . Às vezes falamos de uma dimensão fracionária porque não é um número inteiro, mesmo que não seja mais um número racional .
Este valor de log 3 (2) também é a dimensão de Hausdorff do conjunto.
Variantes
Deixe s ser um número estritamente entre 0 e 1. Se, em vez de dividir cada intervalo em três e removendo o intervalo central, que remover a n passo -ésimo um intervalo de comprimento no centro de cada intervalo de geração acima, nós obtenha um conjunto Cantor cuja medida de Lebesgue é 1 - s . Isso permite que você obtenha uma medição compacta interna vazia tão perto de 1 quanto você deseja. O caso s = 1 retorna o conjunto usual de Cantor. Um processo comparável é usado em toda a Smith-Volterra-Cantor .
s/3não{\ displaystyle s / 3 ^ {n}}
Outra versão do conjunto Cantor é a praça Cantor . É construído com o mesmo princípio geral, mas baseado em um quadrado: consideramos um quadrado que cortamos em 9 quadrados do mesmo tamanho e excluímos todos os quadrados que não estão em um canto do quadrado inicial. O conjunto é construído iterativamente, repetindo esta ação nos novos quadrados. Nada mais é do que o produto cartesiano de um conjunto Cantor por si só (não deve ser confundido com o tapete Sierpiński ).
K3×K3{\ displaystyle K_ {3} \ vezes K_ {3}}
A mesma construção na dimensão 3 leva ao cubo de Cantor , igual ao produto cartesiano (não se confundir com a esponja de Menger ).
K3×K3×K3{\ displaystyle K_ {3} \ vezes K_ {3} \ vezes K_ {3}}
Notas e referências
-
G. Cantor, “ Sobre o poder de conjuntos perfeitos de pontos ” , Acta Math. , vol. 4,1884, p. 381-392 ( DOI 10.1007 / BF02418423 ).
-
Este também é um limite real para a topologia de distância de Hausdorff .
-
Cf. teorema 52 da dissertação de L3 de L. Iôôs e S. Peronno, “Autosimilaridade, conjunto triádico de Cantor e dimensão de Hausdorff” , Universidade de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines , 2007.
-
(em) S. Willard, Topologia Geral , Addison-Wesley, Reading, MA, 1970 th. 30-7.
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
-
(pt) Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer e James A. Yorke (pt) , Chaos: An Introduction to Dynamical Systems , Nova York, Springer,1996, 603 p. ( ISBN 0-387-94677-2 , leitura online ) , cap. 4.1 (“Conjuntos Cantor”) , p. 150-152- Este manual introdutório aos sistemas dinâmicos destina-se a alunos do primeiro ciclo e início do segundo ciclo da universidade (p. Ix).
- (en) Julian F. Fleron, " Uma Nota sobre a História do Conjunto Cantor e da Função Cantor " , Mathematics Magazine ,Abril de 1994( leia online )
-
(pt) George Pedrick , A First Course in Analysis , Springer,1994, 279 p. ( ISBN 0-387-94108-8 , leia online ) , p. 29, Exercício 6
- (pt) Charles Chapman Pugh , Real Mathematical Analysis , New York, Springer ,2002, 437 p. ( ISBN 0-387-95297-7 , leitura online ) , p. 95-98
-
(pt) Murray H. Protter e Charles B. Morrey, Jr., Um Primeiro Curso em Análise Real , Springer,1977, 507 p. ( ISBN 978-1-4615-9992-0 , leitura online ) , p. 494-495, Problema 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">