Em matemática , o teorema de Gelfond-Schneider , demonstrado de forma independente e quase simultânea em 1934 por Aleksandr Gelfond e Theodor Schneider , é afirmado da seguinte forma:
Teorema - Se α é um número algébrico diferente de 0 e 1 e se β é um número algébrico irracional, então α β é transcendente .
“O” número α β deve ser tomado aqui no sentido: exp (β log (α)) , onde log (α) é qualquer determinação do logaritmo complexo de α .
O teorema de Gelfond-Schneider resolve o sétimo problema de Hilbert e permite construir vários exemplos de números transcendentes.
A aplicação direta do teorema fornece números transcendentes como 2 √ 2 (a constante de Gelfond-Schneider ), √ 2 √ 2 ou mesmo e πγ para qualquer número algébrico real diferente de zero γ (definindo α = e iπ = –1 e β = –iγ ), por exemplo e π = (–1) –i ( constante de Gelfond ) ou e –π / 2 = i i .
Mas por contraposição , também deduzimos:
Se β é um número irracional tal que existe um número algébrico α diferente de 0 e 1 para o qual α β é algébrico, então β é transcendente.
Assim, o irracional ln 3 / ln 2 é transcendente (usando α = 2 ).