Constante de Gelfond

Em matemática , constante do Gelfond é o transcendente número real $e$ $π$ , ou seja, $e$ ao poder $π$ .

Sua transcendência foi demonstrada em 1929 por Alexandre Gelfond . Este é um caso especial de seu teorema de 1934. De fato, os números $-1$ (diferente de 0 e 1) e $- i$ (não racionais ) são algébricos , ou

{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {\ pi} = ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi}) ^ {- {\ rm {i}}} = ( -1) ^ {- {\ rm {i}}}}

(De fato, $e π = e iπ \times (-i)$ e $e iπ = -1$ ).

Essa constante foi mencionada no sétimo problema de Hilbert . Uma constante relacionada é a constante de Gelfond-Schneider , 2 √ 2 .

Valor numérico

Na forma decimal, a constante é igual a

{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {\ pi} \ aproximadamente 23,140692632.}

Seu valor numérico pode ser encontrado com iteração

{\ displaystyle k_ {n} = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-k_ {n-1} ^ {2}}}} {1 + {\ sqrt {1-k_ {n-1}}} }}}

ou ${\ displaystyle k_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}.}$

Após N iterações, a aproximação é dada por

{\ displaystyle \ left ({\ frac {k_ {N}} {4}} \ right) ^ {\ frac {-1} {2 ^ {N}}}.}

Expansão decimal notável

O número

{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {\ pi} - \ pi = 19,99909998 \ ldots}

é um número quase inteiro .

Veja também

Link externo

(pt) Eric W. Weisstein , “ Gelfond's Constant ” , no MathWorld

Bibliografia

(pt) Samuel W. Gilbert, The Riemann Hypothesis and the Roots of the Riemann Zeta Function , BookSurge ,2009, 140 p. ( ISBN 978-1-4392-1638-5 , leitura online ) , p. 93

Crédito do autor

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Constante de Gelfond " ( ver a lista de autores ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">