Escada de cantor

A função Cantor , ou a escada diabo é o gráfico de uma função $f$ continua a aumentar em $[0, 1]$ , tal que $f (0) = 0$ e $F (1) = 1$ , o qual é diferenciável quase em toda a parte , o derivado de estar quase em todos os lugares zero. No entanto, esta é uma função contínua , mas não absolutamente contínua .

Alguns lembretes de análise básica

Seja $f$ uma função contínua ao longo de um intervalo $I$ ⊂ with, com a derivada $f '$ . Se $f '$ for zero sobre $I$ , então $f$ é constante . Esta é uma consequência imediata do teorema do incremento finito .

A escada de Cantor mostra que a conclusão está errada se apenas assumirmos que $f '$ desaparece em quase todos os lugares.

No entanto, temos os seguintes resultados:

se $f$ é contínua e sua derivada existe e desaparece sobre o complemento de um conjunto contável , então $f$ é constante (de acordo com o lema de Cousin ou a desigualdade de incrementos finitos );
se $f$ é Lipschitziano (ou mais geralmente: absolutamente contínuo ) e se sua derivada existe e desaparece quase em todos os lugares, então $f$ é constante (cf. § “Função Lipschitziana com derivada zero em quase todos os lugares” do artigo sobre o lema de Cousin).

Construção

Acompanhamos passo a passo a construção do conjunto Cantor K 3 .

Tomamos $f 0 ( x ) = x$ . A função $f 1$ é a função contínua afim por partes que é igual a 0 em 0, 1 em 1 e $1 / 2$ em $[1 / 3, 2 / 3]$ .

Vamos da mesma forma de $f n$ para $f n +1$ substituindo $f n$ , em cada intervalo $[ u , v ]$ onde não é constante, pela função contínua afim por pedaços que é válida no terço central do intervalo $[$ $u$ $,$ $v$ $]$ . ${\ displaystyle {\ frac {f_ {n} (u) + f_ {n} (v)} {2}}}$

Em seguida, verificamos isso para tudo , o que mostra que a série de funções converge uniformemente e, portanto, que a sequência $f$ $n$ converge uniformemente. A função limite $f$ é contínua, monotônica e temos $f$ $(0) = 0$ e $f$ $(1) = 1$ conforme declarado. Além disso, $f$ tem uma derivada zero no complemento do conjunto de Cantor K 3 , uma vez que esse complemento é uma união de intervalos nos quais $f$ , por construção, é constante (daí o nome de escada!) ${\ displaystyle x, \ vert f_ {n + 1} (x) -f_ {n} (x) \ vert \ leq 2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} (f_ {n + 1} -f_ {n})}$

O que esse exemplo nos ensina?

É verdade (cf. “Generalização do primeiro teorema fundamental de análise ”) que se $f$ é uma função mensurável limitada em ℝ, a função é quase em todos os lugares diferenciável e de derivada $f$ . Mas é errado que qualquer função diferenciável em quase todos os lugares seja igual à integral de sua derivada, mesmo se esta última for integrável . É isso que a escada de Cantor nos ensina. Para obter resultados satisfatórios nesta questão, é necessário introduzir a noção de continuidade absoluta (cf. “ Segundo teorema fundamental da análise ”). ${\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t}$
A escada de Cantor é um exemplo de função contínua cuja derivada existe quase em toda parte, mas não coincide com a derivada no sentido de distribuições . Este fenômeno bem conhecido no caso de funções descontínuas (funções indicadoras, por exemplo) é menos intuitivo no caso contínuo.
A escada de Cantor é a função de distribuição de uma variável real aleatória de lei difusa , a lei de Cantor , que não é densidade e que é até estranha à medida de Lebesgue . Também neste caso este é um exemplo (contra) interessante . Podemos simplesmente mostrar uma variável real aleatória X tomada aleatoriamente entre 0 e 1, cuja função de distribuição é a escada de Cantor: é suficiente desenhar aleatoriamente os dígitos sucessivos (0, 1 ou 2) da expansão de base três de X em um forma especial, nomeadamente por sorteios independentes equiprováveis restritos a 0 ou 2, excluindo-se o número 1.

Notas e referências

Ao contrário do que se acreditava, demonstre Harnack ver (em) Thomas Hawkins , Teoria da Integração de Lebesgue : Suas Origens e Desenvolvimento , AMS ,2001, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1970) ( lido online ) , "Desenvolvimento do da Cantor teoria dos conjuntos e sua aplicação à teoria da integração " , p. 71-79e p. 60 , e Axel Harnack, " Fourier Series Theory ", Bulletin of Mathematical and Astronomical Sciences , vol. 6, n o 1,1882, p. 242-260 ( ler online ), Teorema III p. 247 .

Veja também

Link externo

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Bibliografia

G. Cantor, “ Sobre o Poder de Conjuntos Perfeitos de Pontos ”, Acta Math. , vol. 4,1884, p. 381-392 ( DOI 10.1007 / BF02418423 )
(de) Ludwig Scheeffer (de) , “ Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven ” , Acta Math. , vol. 5,1884, p. 49-82 ( DOI 10.1007 / BF02421552 )