Função de distribuição

Na teoria da probabilidade , a função de distribuição , ou função de distribuição cumulativa , de uma variável real aleatória $X$ é a função $F X$ que, com qualquer real $x$ , associa a probabilidade de obter um valor menor ou igual:

{\ displaystyle F_ {X} (x) = \ mathbb {P} (X \ leq x)}

Esta função é característica da lei da probabilidade da variável aleatória . Permite calcular a probabilidade de cada intervalo semiaberto à esquerda] a, b] onde a <b, por

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in] a, b]) = \ mathbb {P} (a <X \ leq b) = F_ {X} (b) -F_ {X} (a)}

A função de distribuição de uma medida de probabilidade definida na tribo Boreliana é a função $F$ que para quaisquer reais $x$ associados ${\ mathbb P}$ ${\ mathcal B} (\ mathbb {R})$

F (x) = {\ mathbb P} (] - \ infty, x]).

Primeiras propriedades

A função de distribuição de uma variável aleatória real é sempre crescente, contínua à direita, com um limite zero em e um limite igual a 1 in . $- \ infty$ $+ \ infty$

Por outro lado, qualquer função definida e que satisfaça essas quatro propriedades é a função de distribuição de uma variável aleatória. $\ mathbb {R}$

Exemplos de cálculos de função de distribuição

Variáveis de densidade

O CDF $F X$ de uma variável aleatória $X$ de densidade de probabilidade $f X$ é uma primitiva (de um modo algo libertado, ver abaixo) de este densidade $f X$ . Mais precisamente, $F X$ é definido, para qualquer número real $x$ , por:

F_ {X} (x) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{x}} f_ {X} (t) \, {\ mathrm d} t.

No entanto, não é, em geral, um primitivo no sentido estrito do termo: só se pode afirmar:

que uma função de distribuição $F X$ é diferenciável em quase toda parte (para a medida de Lebesgue );
se a variável $X$ é a densidade, então o derivado de $F X$ é quase em toda a parte (por medida de Lebesgue ) igual a $F X$ .

Mas há muitos "contra-exemplos": a função de distribuição da lei uniforme sobre um intervalo, ou a da lei exponencial , não são diferenciáveis em tudo e, portanto, não são, em sentido estrito, primitivas de densidades de probabilidade. $\ mathbb {R},$

Note-se que, ao contrário das variáveis discretas, variáveis densidade $X$ cheques para qualquer número real $tem$ : consequentemente, a função de distribuição da densidade variável é contínua em todos os pontos. Na verdade, uma variável aleatória real $X$ tem uma densidade de probabilidade se e somente se sua função de distribuição for absolutamente contínua ao longo de cada intervalo limitado. ${\ mathbb P} (X = a) = 0$

Variáveis discretas

Uma variável aleatória $X$ é dita discreta se seu suporte $S$ é finito ou contável , ou, de forma equivalente, se existe um conjunto finito ou contável $A$ tal como:

{\ mathbb P} (X \ in A) = 1.

A lei de $X$ é determinada de forma inequívoca pelos dados de $( p s ) s \in S$ ou de $( p s ) s \in A$ , onde

p_ {s} = {\ mathbb P} (X = s).

Se, por exemplo, $X$ é uma variável aleatória real , nós

F_ {X} (x) = \ sum _ {{s \ in S}} p_ {s} 1 _ {{[s, + \ infty [}} (x).

onde $1 E$ é a função indicadora do conjunto E.

Para as variáveis aleatórias discretas mais comuns (por exemplo, as distribuições uniformes , binomiais e de Poisson ) $S$ é um conjunto bem ordenado : podemos então numerar seus elementos de forma crescente, pe $s 1 \leq s 2 \leq s 3 \leq ...$ e numere as probabilidades $p s de$ acordo, pe definindo $p i = p s i , i \geq 1$ . Temos então, se $x \in [ s i , s i + 1 [$ ,

F_ {X} (x) = \ sum _ {{1 \ leq j \ leq i}} p_ {j}.

Ou, de forma mais geral:

{\ begin {alinhados} F_ {X} (x) & = \ sum _ {{i \ geq 1}} \ q_ {i} \ 1 _ {{[s_ {i}, s _ {{i + 1} } [}} (x), \\ q_ {i} & = \ sum _ {{1 \ leq j \ leq i}} p_ {j}. \ end {alinhado}}

A função de distribuição é então uma função constante por intervalos e sua representação gráfica é escalonada . Os saltos de um degrau para outro da escada estão localizados na abcissa $s i$ , e a amplitude do salto de abscissa $s$ é $p s = F X ( s ) - F X ( s - )$ . Em particular, a função de distribuição de uma variável discreta $X$ é descontínua exatamente em pontos $s$ como Veja a seção Propriedades da função de distribuição para uma demonstração. ${\ mathbb P} (X = s)> 0.$

Caso especial: função de distribuição contínua puramente singular

A escada Cantor $F$ é um exemplo de uma função de distribuição contínua, mas a derivada dela é quase zero em todos os lugares. Assim, as fórmulas anteriores não são mais verdadeiras para a escada Cantor: por exemplo, para $x > 0$ , não temos

{\ displaystyle F (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} F ^ {\ prime} (t) \, \ mathrm {d} t}

porque $F$ assume valores estritamente positivos em $] 0, + \infty [$ , enquanto a integral que constitui o lado direito é identicamente zero. Na verdade, o todo

{\ displaystyle \ {t \ in \ mathbb {R} \ mid F ^ {\ prime} (t) \ neq 0 \}}

é da medida Lebesgue zero. Além disso, a lei da probabilidade associada à escada de Cantor é difusa (sem átomo), uma vez que $F$ é uma função contínua on . A escada de Cantor é de fato um exemplo de uma função de distribuição contínua, mas que não é absolutamente contínua ao longo de cada intervalo: então dizemos que é puramente contínua singular. $\ mathbb {R}$

Propriedades da função de distribuição

Propriedades características

Teorema - A função de distribuição de uma variável aleatória $X$ tem as seguintes propriedades características:

$F X$ está aumentando ;
Está em toda parte contínua à direita;
$\ lim _ {{x \ to - \ infty}} F_ {X} (x) = 0$ ;
$\ lim _ {{x \ to + \ infty}} F_ {X} (x) = 1.$

Demonstração

O ponto 1 segue da propriedade de crescimento das medidas de probabilidade

\ {x \ leq y \} \ Rightarrow \ {] - \ infty, x] \ \ subset \] - \ infty, y] \} \ Rightarrow \ {{\ mathbb P} _ {{X}} (] - \ infty, x]) \ leq {\ mathbb P} _ {{X}} (] - \ infty, y]) \}.

Como $F X$ é uma função monotônica , o ponto 2 reduz para mostrar que

\ lim _ {n} F _ {{X}} \ left (x + {\ tfrac 1n} \ right) = F _ {{X}} (x),

ou equivalente,

\ lim _ {n} {\ mathbb P} _ {{X}} \ left (\ left] - \ infty, x + {\ tfrac 1n} \ right] \ right) = {\ mathbb P} _ {X} \ left (\ left] - \ infty, x \ right] \ right).

Mas os Borelianos $] -\infty, x + 1 / não [$ formam uma sequência decrescente, e

\ bigcap _ {{n \ geq 1}} \ left] - \ infty, x + {\ tfrac 1n} \ right] \ = \ \ left] - \ infty, x \ right],

portanto, o ponto 2 é uma consequência dos axiomas das probabilidades . Como $F X$ é monótono, o ponto 3 pode ser reduzido para mostrar que

\ lim _ {n} F_ {X} (- n) = 0.

Isso é novamente uma consequência dos axiomas de probabilidades , uma vez que

\ bigcap _ {{n \ geq 1}} \ left] - \ infty, -n \ right] \ = \ \ emptyset.

O ponto 4 decorre, da mesma forma, de

\ bigcup _ {{n \ geq 1}} \ left] - \ infty, n \ right] \ = \ \ mathbb {R}.

Como dissemos, os pontos 1 a 4 são característicos da função de distribuição de uma variável real aleatória $X$ : dada uma função real da variável real, denotada por $F$ , satisfazendo os pontos 1 a 4, podemos construir concretamente uma variável real aleatória $X$ tendo $F$ para a função de distribuição, veja abaixo o teorema da recíproca . Observe que a construção usando o teorema inverso é usada concretamente para produzir, em um computador, amostras de tamanho arbitrário com uma lei de probabilidade arbitrária, que é o ingrediente básico dos métodos de Monte-Carlo .

Observação

Podemos, portanto, definir a noção de função de distribuição sem introduzir a de uma variável aleatória: ela só precisa satisfazer os pontos 1 a 4 acima. Se adicionarmos a isso a noção de função aritmética , chegaremos rapidamente à teoria probabilística dos números .

Outras propriedades

Por causa dos pontos 1, 3 e 4, $F X$ é limitado, mais precisamente

\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ \ 0 \ leq F_ {X} (x) \ leq 1.

Como qualquer função monotônica limitada, $F X$ admite em qualquer ponto $x$ um limite esquerdo $F X ( x - )$ , limite esquerdo igual ou não a $F X ( x )$ dependendo se $F X$ é contínuo em x ou não. $F X$ é uma função càdlàg .

O conhecimento da função de distribuição permite que a probabilidade de qualquer intervalo seja calculada

${\ mathbb P} (X \ in] - \ infty; x]) \, = \, {\ mathbb P} (X \ leq x) \, = \, F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in] x; + \ infty [) \, = \, {\ mathbb P} (X> x) \, = \, 1-F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in] x; y]) \, = \, {\ mathbb P} (x <X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) -F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in] - \ infty; x [) \, = \, {\ mathbb P} (X <x) \, = \, F_ {X} (x _ {-}),$
${\ mathbb P} (X \ in] x; y [) \, = \, {\ mathbb P} (x <X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {-}) - F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in [x; y [) \, = \, {\ mathbb P} (x \ leq X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {-}) - F_ {X} (x _ {-}),$
${\ mathbb P} (X \ in [x; y]) \, = \, {\ mathbb P} (x \ leq X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) -F_ {X } (x _ {-}),$

${\ mathbb P} (X = x) = F_ {X} (x) -F_ {X} (x _ {-}) \,$

Demonstração

$\ {\ mathbb P} (X \ in] - \ infty; x]) \, = \, {\ mathbb P} (X \ leq x) \, = \, F_ {X} (x),$ é a definição de uma função de distribuição.
obtemos mudando para o complementar, $\ {\ mathbb P} (X \ in] x; + \ infty [) \, = \, {\ mathbb P} (X> x) \, = \, 1-F_ {X} (x)$
pois usamos para $A$ $=] -\infty;$ $x$ $]$ e $B$ $=] -\infty;$ $y$ $]$ , ${\ mathbb P} (X \ in] x; y]) \, = \, {\ mathbb P} (x <X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) -F_ {X} (x),$ $\ {A \ subconjunto B \} \ \ Rightarrow \ \ {{\ mathbb P} (B \ setminus A) = {\ mathbb P} (B) -P (A) \},$
A relação é a mais delicada e envolve uma consequência dos axiomas das probabilidades sobre a probabilidade de união de uma série crescente de conjuntos. Consideramos uma sequência $($ $x$ $n$ $)$ de reais crescentes , convergindo para $x$ . O intervalo $] -\infty;$ $x$ $[$ é então a união contável da sequência crescente de intervalos $] -\infty;$ $x$ $n$ $]$ . A probabilidade do intervalo $] -\infty;$ $x$ $[$ é, portanto, o limite das probabilidades dos intervalos $] -\infty;$ $x$ $n$ $]$ , ou seja, o limite da sequência $F$ $X$ $($ $x$ $n$ $)$ . Por propriedade de funções crescentes, este limite existe e é $igual$ a $F$ $X$ $($ $x$ $-$ $)$ . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in] - \ infty; x [) \, = \, \ mathbb {P} (X <x) \, = \, F_ {X} (x _ {-} ),}$

As últimas 5 propriedades derivam de para diferentes escolhas de $A$ e $B$ : $\ {A \ subset B \} \ \ Rightarrow \ \ {{\ mathbb P} (B \ setminus A) = {\ mathbb P} (B) - {\ mathbb P} (A) \},$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in] x; y [) \, = \, \ mathbb {P} (x <X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {-} ) -F_ {X} (x), \ {\ textrm {para}} \ A =] - \ infty; x], \ quad \ B =] - \ infty; y [,}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in [x; y [) \, = \, \ mathbb {P} (x \ leq X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {- }) -F_ {X} (x _ {-}), \ {\ textrm {para}} \ A =] - \ infty; x [, \ quad \ B =] - \ infty; y [,}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in [x; y]) \, = \, \ mathbb {P} (x \ leq X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) - F_ {X} (x _ {-}), \ {\ textrm {pour}} \ A =] - \ infty; x [, \ quad \ B =] - \ infty; y],}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} (X = x) = F_ {X} (x) -F_ {X} (x _ {-}), \ {\ textrm {para}} \ A =] - \ infty; x [, \ quad \ B =] - \ infty; x].}$

Chamamos átomo da variável aleatória $X$ qualquer real $a$ para o qual . Portanto, em virtude da última propriedade da lista acima, ${\ mathbb P} (X = a)> 0$

Propriedade - Os átomos da variável aleatória $X$ são exatamente os pontos de descontinuidade da função de distribuição.

A função de distribuição de uma variável aleatória $X$ é, portanto, contínua se e somente se $X$ não tiver átomos, ou seja, se e somente se

\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ {\ mathbb P} [X = x] = 0.

Dizemos então que a lei de $X$ é difusa , ou sem átomo , e, por extensão, que a própria variável aleatória $X$ é difusa ou sem átomo . Em particular, variáveis aleatórias reais com densidade de probabilidade são difusas. Existem, no entanto, variáveis aleatórias difusas que não têm densidade de probabilidade, por exemplo, com a variável aleatória cuja função de distribuição é a escada de Cantor .

Observe que o conjunto de pontos de descontinuidade de $F X$ é finito ou contável , como é o caso para qualquer função monotônica limitada:

Consequência - O conjunto $S$ de átomos da variável aleatória $X$ é finito ou contável .

Caracterização da lei pela função de distribuição

Teorema - A lei da probabilidade de uma variável aleatória real é caracterizada por sua função de distribuição.

Ou ainda: se duas variáveis aleatórias reais têm a mesma função de distribuição, então elas têm a mesma lei (e vice-versa).

Demonstração

Sob a hipótese $F X = F Y$ , podemos provar de forma elementar que tão logo $A$ seja um boreliano "simples" (por exemplo, se $A$ for um intervalo). Por outro lado, a prova geral (para qualquer Boreliano $A$ ) é um caso particular do lema da unicidade das probabilidades , em si um corolário do lema de classe monotônico , aplicado à classe ${\ mathbb P} (X \ em A) = {\ mathbb P} (Y \ em A),$

{\ mathcal C} = \ left \ {(- \ infty, x] \ | \ x \ in \ mathbb {R} \ right \}.

É necessário verificar que

a classe é estável por interseção finita, ${\ mathcal C}$
a tribo gerada por contém (e de fato é igual a) a tribo Boreliana . ${\ mathcal C}$

O lema da unicidade das probabilidades, então, nos permite concluir.

Vamos verificar 1. Seja $I$ um subconjunto finito de . É $lá$ o elemento mínimo de $I$ . Então $\ mathbb {R}$

\ bigcap _ {{x \ in I}} (- \ infty, x] \, = \, (- \ infty, y] \ \ in \ {\ mathcal C}.

Vamos verificar 2. A tribo gerada por é anotada . A tribo Borelian é notada , com freqüência. Observação ${\ mathcal C}$ $\ sigma ({\ mathcal C})$ ${\ mathcal B} (\ mathbb {R})$

{\ mathcal D} = \ left \ {(x, + \ infty) \ | \ x \ in \ mathbb {R} \ right \}.

Temos em virtude da estabilidade das tribos passando para as complementares, portanto por definição de uma tribo gerada . Podemos intercambiar e no que precede, portanto, pela dupla inclusão, ${\ mathcal D} \ subset \ sigma ({\ mathcal C}),$ $\ sigma ({\ mathcal D}) \ subset \ sigma ({\ mathcal C}),$ ${\ mathcal C}$ ${\ mathcal D}$

\ sigma ({\ mathcal C}) = \ sigma ({\ mathcal D}).

Como faz parte do conjunto de aberturas, deduzimos que ${\ mathcal D}$

\ sigma ({\ mathcal C}) = \ sigma ({\ mathcal D}) \ \ subset \ {\ mathcal B} (\ mathbb {R}).

Mas devemos acima de tudo demonstrar a inclusão na direção oposta, e, para isso, demonstrar que tudo que se abre de está em (assim é uma tribo contendo todas as aberturas de , enquanto que é a menor tribo contendo todas as aberturas de ). Um argumento rápido é que $\ mathbb {R}$ $\ sigma ({\ mathcal C})$ $\ sigma ({\ mathcal C})$ $\ mathbb {R}$ ${\ mathcal B} (\ mathbb {R})$ $\ mathbb {R}$

tudo aberto é uma união contável de intervalos abertos, e que $\ mathbb {R}$
intervalos abertos estão em . $\ sigma ({\ mathcal C})$

O primeiro ponto resulta do fato de que

uma abertura é uma união disjunta de seus componentes conectados (isso é verdadeiro para qualquer parte de ), ${\ mathcal O}$ $\ mathbb {R}$
as partes conectadas de (e em particular os componentes conectados acima) são exatamente os intervalos de $\ mathbb {R},$ $\ mathbb {R},$
como está conectado localmente, os componentes conectados de um aberto são abertos automaticamente. $\ mathbb {R}$
cada componente conectado $Um$ do nosso aberta , você pode escolher um número racional $q$ $A$ . A $q$ $A$ são distintos, pois os componentes são disjuntos. Assim, $A$ $\to$ $q$ $A$ é uma bijeção entre a família de componentes conectados de e uma parte de A família de componentes conectados de é, portanto, finita ou contável. ${\ mathcal O}$ ${\ mathcal O}$ $\ mathbb {Q}.$ ${\ mathcal O}$

O segundo ponto é que

$\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ qquad (x, + \ infty) \ \ in \ \ sigma ({\ mathcal C}),$ como vimos acima;
$\ forall y \ in \ mathbb {R}, \ qquad (- \ infty, y) \ = \ \ bigcup _ {{n \ geq 1}} \ \ left (- \ infty, y - {\ tfrac 1n} \ direita] \ \ in \ \ sigma ({\ mathcal C})$ ;
$\ forall x <y \, \ in \ \ mathbb {R}, \ qquad (x, y) \ = \ (- \ infty, y) \, \ cap \, (x, + \ infty) \ \ in \ \ sigma ({\ mathcal C}).$

CQFD

Em outras palavras, se duas variáveis aleatórias reais, $X$ e $Y$ , satisfazem

\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ qquad {\ mathbb P} (X \ leq x) = {\ mathbb P} (Y \ leq x),

em seguida, eles também verificam que, para qualquer boreliano $A$ ,

{\ mathbb P} (X \ em A) = {\ mathbb P} (Y \ em A).

Além disso, eles verificam que para qualquer função mensurável $φ$ ,

{\ mathbb E} [\ varphi (X)] = {\ mathbb E} [\ varphi (Y)],

assim que um dos dois termos de igualdade tiver um significado.

Teorema recíproco

Vamos $F ser$ uma função de em satisfazer as 4 propriedades características. Denote por $G$ a função definida para $ω$ $\in] 0;$ $1 [$ por $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

G (\ omega) = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ right \}.

Então $G$ é uma variável real aleatória definida no espaço probabilizado onde e onde denota a restrição da medida de Lebesgue sobre . O teorema afirma que: $\ left (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P} \ right)$ $\ left (\ Omega, {\ mathcal A} \ right) = \ left (] 0,1 [, {\ mathcal B} (] 0,1 [) \ right)$ ${\ mathbb P}$ ${\ mathcal B} (] 0,1 [)$ $\ mathbb {R}$

Teorema - No espaço , a função de distribuição $G$ é $F$ . $\ left (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P} \ right)$

Assim, qualquer função $F$ do em que satisfaçam os quatro propriedades características é uma função da distribuição de uma variável aleatória verdadeiro (de $L$ , por exemplo), ou ainda de uma medida de probabilidade em (da lei de $L$ , por exemplo). $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$ $\ left (\ mathbb {R}, {\ mathcal B} (\ mathbb {R}) \ right)$

Demonstração

Para $ω \in Ω =] 0; 1 [$ , nota

A _ {\ omega} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ right \}.

Então $G ( ω ) = inf A ω$ . Por causa do ponto 4, e por causa do ponto 3, $A$ $ω$ é limitado abaixo, então $G$ é bem definido. $A _ {{\ omega}} \ neq \ emptyset$

Vamos começar com um caso simples de treinamento:

F

está aumentando estritamente de forma contínua

Se $F$ é contínuo estritamente aumentando , então $F$ é uma bijeção de em $] 0;$ $1 [$ , e $G$ é o recíproco de $F$ (podemos ser convencidos disso traçando $A$ $ω$ usando o gráfico de $F$ ). Como tal, $G$ é contínuo e estritamente crescente acima de $] 0;$ $1 [$ , e em particular $G$ é mensurável (é portanto uma var). Nos tambem temos $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

\ left \ {G (\ omega) \ leq x \ right \} \ Leftrightarrow \ left \ {\ omega \ leq F (x) \ right \},

portanto

{\ begin {alinhado} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ | \ G (\ omega) \ leq x \ right \} & = \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ | \ \ omega \ leq F (x) \ right \} \\ & =] 0, F (x)]. \ End {alinhado}}

Então

{\ mathbb P} \ left (G \ leq x \ right) = {\ mathbb P} (] 0, F (x)]) = F (x).

Caso Geral

No caso geral, também temos

\ left \ {G (\ omega) \ leq x \ right \} \ Leftrightarrow \ left \ {\ omega \ leq F (x) \ right \},

e, portanto, concluímos exatamente da mesma maneira que antes, mas a demonstração da equivalência acima é menos direta. Primeiro, para $ω \leq ω '$ , $A ω' \subset A ω$ e, portanto, $G ( ω ) \leq G ( ω ' )$ . Como $G$ é monotônico, segue-se que $G$ é mensurável.

Temos, por definição de $A ω$ e $G ( ω )$ ,

\ left \ {\ omega \ leq F (x) \ right \} \ Rightarrow \ left \ {x \ in A _ {{\ omega}} \ right \} \ Rightarrow \ left \ {G (\ omega) \ leq x \ right \}.

O inverso vem do fato de que ${ G ( ω ) \in A ω }$ , ou seja, ${ ω \leq F ( G ( ω ))}$ , que, com ${ G ( ω ) \leq x }$ implica, pelo crescimento de $F$ , ${ F ( G ( ω )) \leq F ( x )}$ e, finalmente, ${ ω \leq F ( x )}$ . Suponha de fato que $G ( ω ) \notin A ω$ , e considere uma sequência estritamente decrescente $( x n ) n \neq 0$ de elementos de $A ω$ tal que

\ lim _ {n} x_ {n} \ = \ \ inf A _ {\ omega} \ \ left (= \ G (\ omega) \ right).

Por continuidade à direita de $F$ ,

\ lim _ {n} F (x_ {n}) = F (G (\ omega)),

mas também, por definição de $A ω$ ,

\ lim _ {n} F (x_ {n}) \ geq \ omega,

o que leva a $G ( ω ) \in A ω$ , portanto, uma contradição (prova amplamente retirada de Sidney Resnick, A Probability Path ).

Observações.

Quando $F$ é uma bijeção bicontínua de um intervalo $I$ em $] 0; 1 [$ (ou seja, $F$ é estritamente crescente e contínuo), $G$ é simplesmente o recíproco de $F$ (ou seja, $G \circ F = Id I$ e $F \circ G = Id ] 0; 1 [$ ). Por esta razão, $G$ é às vezes chamado de reciprocidade generalizada de $F$ .
$G$ também é chamada de função quantil .
O interesse prático desse teorema é desenvolvido no artigo Método da transformada inversa , bem como na seção seguinte.

Consequências do teorema inverso

Simulação de variáveis aleatórias reais de distribuição arbitrária

U

denota uma variável aleatória real uniforme em

[0; 1]

, em seguida,

X = L ( L )

tem a função de distribuição

F

Assim, em qualquer linguagem de programação que tenha um gerador de números aleatórios, pode-se simular uma sequência de comprimento arbitrário de vars independentes da mesma função de distribuição $F$ , desde que $G$ seja conhecido: basta então chamar este gerador repetidamente e aplicar o $G$ função para os números produzidos por essas chamadas repetidas.

Exemplos

	densidade de probabilidade	função de distribuição	recíproco (generalizado)	codificado
Lei de Cauchy	${\ frac 1 {\ pi (1 + x ^ {2})}}$	$F (x) = {\ frac 1 {\ pi}} \ left ({\ frac {\ pi} 2} + \ arctan (x) \ right)$	$G (\ omega) = \ tan \ left (\ pi (\ omega - {\ frac 12}) \ right)$	$x \ leftarrow \ tan \ left (\ pi ({\ mathrm {rand ()}} - {\ frac 12}) \ right)$
Lei exponencial	$\ lambda \, e ^ {{- \ lambda x}} \ 1 _ {{x \ geq 0}}$	$F (x) = \ left (1-e ^ {{- \ lambda x}} \ right) \ 1 _ {{x \ geq 0}}$	$G (\ omega) = - {\ frac 1 {\ lambda}} \ \ ln (1- \ omega)$	$x \ leftarrow \ - {\ frac 1 {\ lambda}} \ \ ln ({\ mathrm {rand ()}})$
Lei uniforme em $[ a , b ]$	${\ frac {1} {ba}} \ 1 _ {{[a, b]}} (x)$	$F (x) = {\ frac {xa} {ba}} \ 1 _ {{[a, b]}} (x) \ + \ 1 _ {{] b, + \ infty [}} (x)$	$G (\ omega) = a + \ omega (ba)$	$x \ leftarrow a + (ba) {\ mathrm {rand ()}}$
Lei de bernoulli		$F (x) = (1-p) \ 1 _ {{[0,1 [}} (x) \ + \ 1 _ {{{[1, + \ infty [}} (x)$	$G (\ omega) = \ lfloor p + \ omega \ rfloor$	$x \ leftarrow \ lfloor p + \ {\ mathrm {rand ()}} \ rfloor$
Lei uniforme em ${1,2, ..., n }$		${\ displaystyle F (x) = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {n}} \ 1 _ {[0, n]} (x) \ + \ 1 _ {] n, + \ infty [} ( x)}$	$G (\ omega) = \ lceil n \ omega \ rceil$	$x \ leftarrow \ lceil n \ {\ mathrm {rand ()}} \ rceil$
Distribuição normal , distribuição binomial	como não existe uma fórmula suficientemente explícita para a função de distribuição, e menos ainda de uma fórmula explícita para o inverso da última, o teorema fica inoperante.

Você encontrará tudo sobre a arte de gerar variáveis aleatórias de leis arbitrárias, por exemplo, usando variáveis uniformes , em Non-Uniform Random Variate Generation , publicado pela Springer, disponível na web.

Outras consequências do teorema inverso

O inverso generalizado de $F$ é um exemplo de var cuja função de distribuição é $F$ , mas é um exemplo principal. Seus usos são numerosos, variando de propriedades da ordem estocástica a propriedades da distância de Wasserstein (em) , incluindo o teorema de representação de Skorokhod , consulte a próxima seção.

Convergência na lei e função de distribuição

Considere uma sequência de variáveis aleatórias $( X n ) n \geq 0$ (resp. Uma variável aleatória $X$ ) definida em espaços probabilizados (resp. ) Possivelmente diferentes, mas todas com valores no mesmo espaço métrico $($ $S$ $,$ $d$ $)$ . Dizemos que $($ $X$ $n$ $)$ $n$ $\geq 0$ converge na lei para $X$ se, para qualquer função contínua limitada de $($ $S$ $,$ $d$ $)$ em , $\ left (\ Omega _ {n}, {\ mathcal A} _ {n}, {\ mathbb P} _ {n} \ right)$ $\ left (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P} \ right)$ $\ mathbb {R}$

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ mathbb E} \ left [f (X_ {n}) \ right] = {\ mathbb E} \ left [f (X) \ right].

Nós temos o seguinte teorema:

Teorema - No caso de variáveis aleatórias verdadeiro ( ) incluem $($ $M$ $n$ $)$ $n$ $\geq 0$ $,$ $F$ distribuições funções $($ $X$ $n$ $)$ $n$ $\geq 0$ e $X$ . Há, então, equivalência entre as três proposições abaixo: $S = \ mathbb {R}$

$( X n ) n \geq 0$ converge na lei para $X$ ,
para qualquer verdadeira $x$ em que $F$ é contínua , , $\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} (x) = F (x)$
existe um espaço probabilizado , e, definidas neste espaço, variáveis aleatórias reais ( X ' n ) n ≥ 0 e X' tais que, simultaneamente, (Ω^,NO^,P^){\ displaystyle \ left ({\ widehat {\ Omega}}, {\ widehat {\ mathcal {A}}}, {\ widehat {\ mathbb {P}}} \ right)} $\ left (\ widehat {\ Omega}, \ widehat {{\ mathcal A}}, \ widehat {{{\ mathbb P}} \ right)$
1. $X '$ tem a mesma lei de $X$ ,
2. para cada $n$ , $X n '$ tem a mesma lei que $X n$ ,
3. $( X ' n ) n \geq 0$ quase certamente converge para $X'$ .

A implicação 1.⇒3. permanece verdadeiro quando as variáveis aleatórias reais são substituídas por variáveis aleatórias com valores em um espaço de Lusin $( S , d )$ , ou seja, um espaço metrizável bastante geral ( e são exemplos disso). A implicação 1.⇒3. então leva o nome de teorema da representação de Skorokhod . $S = \ mathbb {R} ^ {d}$ $S = {\ mathcal C} ([0,1], \ mathbb {R})$

Demonstração

Uma estrutura possível para a prova é 3.⇒1.⇒2.⇒3.

3. implica 1.

Este é o mais fácil. Deve ser demonstrado que

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ mathbb E} \ left [f (X_ {n}) \ right] = {\ mathbb E} \ left [f (X) \ right],

ou equivalente,

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ mathbb E} \ left [f (X_ {n} ^ {\ prime}) \ right] = {\ mathbb E} \ left [f (X ^ {\ prime}) \ right].

Mas a continuidade de $f$ garante que $f ( X n ')$ converge quase com certeza para $f ( X ')$ . Além disso, $| f |$ sendo limitado, temos que

\ left | f (X_ {n} ^ {\ prime}) \ right | \ \ leq \ Vert f \ Vert _ {{\ infty}}

para todos $n$ . O teorema da convergência dominada de Lebesgue pode ser aplicado aqui e fornece a conclusão desejada.

1. implica 2.

Usamos a família de funções contínuas limitadas definidas pelo gráfico ao lado. Eles verificam, para qualquer variável real aleatória $Y$ , $\ left (\ varphi _ {{a, b}} \ right) _ {{(a, b) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, \ a <b}}$

{\ mathbb P} \ left (Y \ leq a \ right) \ leq {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{a, b}} (Y) \ right] \ leq {\ mathbb P} \ left (Y \ leq b \ right),

e especialmente

{\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x- \ varepsilon, x}} (X_ {n}) \ right] \ leq F_ {n} (x) \ leq {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x, x + \ varepsilon}} (X_ {n}) \ right].

Notamos então que, para todo $ε > 0$ ,

{\ begin {alinhados} \ limsup _ {n} F_ {n} (x) & \ leq \ lim _ {n} {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x, x + \ varejpsilon}} ( X_ {n}) \ right] \\ & = {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x, x + \ varepsilon}} (X) \ right] \ leq {\ mathbb P} \ left (X \ leq x + \ varepsilon \ right) = F (x + \ varepsilon), \ end {alinhado}}

{\ begin {alinhado} \ liminf _ {n} F_ {n} (x) & \ geq \ lim _ {n} {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x- \ varejpsilon, x}} ( X_ {n}) \ right] \\ & = {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x- \ varejpsilon, x}} (X) \ right] \ geq {\ mathbb P} \ left (X \ leq x- \ varepsilon \ right) = F (x- \ varepsilon). \ end {alinhado}}

Fazendo $ε$ tender para 0, obtemos

F (x _ {{-}}) \ leq \ liminf _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} (x) \ leq \ limsup _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} ( x) \ leq F (x).

Assim, assim que $x$ for um ponto de continuidade de $F$ ,

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} (x) = F (x), \ qquad {\ textrm {CQFD.}}

2. implica 3.

Nota $( L n ) n \geq 0 , L$ , generalizada recíproco $( M n ) n \geq 0 , F$ . Para o trigêmeo , escolha e tome para a tribo de Borelians e a medida de Lebesgue correspondente (ou seja, restrito a $(0; 1)$ ). A escolha de $X '$ $n$ $=$ $G$ $n$ $,$ $X'$ $=$ $G$ satisfaz 3.1. e para 3.2. em virtude do teorema inverso . Além disso, como um resultado de 2, $($ $L$ $n$ $)$ $n$ $= 0$ converge quase certamente para $L$ . $\ left (\ widehat {\ Omega}, \ widehat {{\ mathcal A}}, \ widehat {{{\ mathbb P}} \ right)$ $\ widehat {\ Omega} = (0,1)$ $\ left (\ widehat {{\ mathcal A}}, \ widehat {{\ mathbb P}} \ right)$

Notas e referências

A versão pdf (gratuita e autorizada) de (en) Luc Devroye , Non-Uniform Random Variate Generation , New York, Springer-Verlag ,1986, 1 r ed. ( leia online ) está disponível, bem como um relato humorístico das brigas de Luc Devroye com seu editor.
[1]

Função de distribuição

Primeiras propriedades

Exemplos de cálculos de função de distribuição

Variáveis de densidade

Variáveis discretas

Caso especial: função de distribuição contínua puramente singular

Propriedades da função de distribuição

Propriedades características

Observação

Outras propriedades

Caracterização da lei pela função de distribuição

Teorema recíproco

Consequências do teorema inverso

Simulação de variáveis aleatórias reais de distribuição arbitrária

Exemplos

Outras consequências do teorema inverso

Convergência na lei e função de distribuição

Notas e referências

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