Isometria afim

Uma isometria afim é uma transformação bijetiva de um espaço afim euclidiano em outro que é um mapa afim e uma isometria (ou seja, uma bijeção que conserva distâncias ).

Se essa isometria também mantém a orientação , dizemos que é um deslocamento . Se inverter a orientação, é um antideslocamento .

Os deslocamentos são compostos de translações e rotações . Os reflexos são antidépostos.

Isometrias planas notáveis

Denotamos pelo plano ( isto é , mais precisamente, um plano real afim euclidiano). As seguintes aplicações são isometrias de  : P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}

• Dado um vetor, a aplicação que, em qualquer ponto , associa o ponto tal que  : é a translação do vetor . Sua recíproca é a tradução vetorial . Não tem ponto fixo , exceto se , nesse caso, é identidade .você→{\ displaystyle {\ vec {u}}}NO{\ displaystyle A}NO′{\ displaystyle A '}NONO′→=você→{\ displaystyle {\ vec {AA '}} = {\ vec {u}}}você→{\ displaystyle {\ vec {u}}}-você→{\ displaystyle - {\ vec {u}}}você→=0→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {0}}}
• Dado um ponto de e um ângulo orientado , a aplicação que fixa e, em um ponto distinto de , associa o único ponto tal que e  : é a rotação plana do centro e do ângulo . Sua recíproca é a rotação do centro e do ângulo .NO{\ displaystyle A}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}} θ{\ displaystyle \ theta}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NO{\ displaystyle A}B′{\ displaystyle B '}NOB=NOB′{\ displaystyle AB = AB '}(NOB→,NOB′→^)=θ{\ displaystyle ({\ widehat {{\ vec {AB}}, {\ vec {AB '}}}}) = \ theta}NO{\ displaystyle A}θ{\ displaystyle \ theta}NO{\ displaystyle A}-θ{\ displaystyle - \ theta}
• Dada uma linha reta o mapa que, em qualquer ponto , associa o ponto tal que , onde está a projeção ortogonal de sobre  : é a simetria axial em relação a . Podemos defini-lo de forma diferente: se então e se então é tal que é a bissetriz perpendicular de . As simetrias são involutivas .Δ{\ displaystyle \ Delta}NO{\ displaystyle A}NO′{\ displaystyle A '}NONO′→=2NOH→{\ displaystyle {\ vec {AA '}} = 2 {\ vec {AH}}}H{\ displaystyle H}NO{\ displaystyle A}Δ{\ displaystyle \ Delta}Δ{\ displaystyle \ Delta}NO∈Δ{\ displaystyle A \ in \ Delta}NO′=NO{\ displaystyle A '= A}NO∉Δ{\ displaystyle A \ notin \ Delta}NO′{\ displaystyle A '}Δ{\ displaystyle \ Delta}[NONO′]{\ displaystyle [AA ']}

Classificação de isometrias planas tendo um ponto fixo

• Uma isometria do plano com três pontos fixos não alinhados é a identidade.
• Uma isometria do plano diferente da identidade com pelo menos dois pontos fixos A e B é a reflexão da linha (AB).
• Uma isometria do plano com um único ponto fixo A é uma rotação do centro A.

Demonstração

• Deixe ser uma isometria plana diferente da identidade. Deixe ser um ponto do avião e tal . Um ponto fixo de verificação está, portanto, na bissetriz perpendicular de : os pontos fixos estão, portanto, alinhados. Por contraposição, se possui três pontos fixos não alinhados, é identidade.f{\ displaystyle f}M{\ displaystyle M}M′=f(M){\ displaystyle M '= f (M)}M′≠M{\ displaystyle M '\ neq M}NO{\ displaystyle A}f{\ displaystyle f}MNO=M′NO{\ displaystyle MA = M'A}[MM′]{\ displaystyle [MM ']}f{\ displaystyle f}
• Let Ser uma isometria avião que não seja a identidade com pelo menos dois pontos fixos e e a reflexão com relação à linha . Que um ponto não pertença . Então se verifica sua imagem por e portanto pertence à intersecção de dois círculos com respectivos centros e . Esta intersecção tem no máximo dois pontos e é diferente de (caso contrário teria três pontos fixos não alinhados e seria a identidade, que é excluída por hipótese) portanto e são os dois respectivos pontos de intersecção destes círculos (lembre-se que dois círculos centros separados têm no máximo dois pontos em comum). Como e , e estão na bissetriz perpendicular de ; por definição, portanto, temos . Como e , tem três pontos fixos não alinhados (a saber , e ), portanto . Temos, portanto , ou seja, (porque os reflexos são involutivos. É, portanto, o reflexo em relação à linha .f{\ displaystyle f}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}s{\ displaystyle s}(NOB){\ displaystyle (AB)}VS{\ displaystyle C}(NOB){\ displaystyle (AB)}VS′{\ displaystyle C '}f{\ displaystyle f}VSNO=VS′NO{\ displaystyle CA = C'A}VSB=VS′B{\ displaystyle CB = C'B}VS′{\ displaystyle C '}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS′{\ displaystyle C '}VS{\ displaystyle C}f{\ displaystyle f}VS{\ displaystyle C}VS′{\ displaystyle C '}VSNO=VS′NO{\ displaystyle CA = C'A}VSB=VS′B{\ displaystyle CB = C'B}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}[VSVS′]{\ displaystyle [CC ']}s(VS′)=VS{\ displaystyle s (C ') = C}s(NO)=NO{\ displaystyle s (A) = A}s(B)=B{\ displaystyle s (B) = B}s∘f{\ displaystyle s \ circ f}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}s∘f=eud{\ displaystyle s \ circ f = Id}f=s-1{\ displaystyle f = s ^ {- 1}}f=s{\ displaystyle f = s}f{\ displaystyle f}(NOB){\ displaystyle (AB)}
• Se tem um único ponto fixo : um ponto distinto de e . Temos então . Seja a bissetriz perpendicular de e a reflexão em relação à linha . Por um lado , portanto e ; por outro lado ,. A aplicação, portanto, tem pelo menos dois pontos fixos: e . é, portanto, identidade ou um reflexo. Não se pode ter , porque senão teria uma infinidade de pontos fixos (todos os pontos de ). é, portanto, um reflexo em relação a uma linha que passa por (carro ). Portanto, temos ef é, portanto, uma rotação porque é composta de duas reflexões de eixos secantes.f{\ displaystyle f}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NO{\ displaystyle A}B′=f(B){\ displaystyle B '= f (B)}B′≠B{\ displaystyle B '\ neq B}Δ{\ displaystyle \ Delta}[BB′]{\ displaystyle [BB ']}s{\ displaystyle s}Δ{\ displaystyle \ Delta}BNO=B′NO{\ displaystyle BA = B'A}NO∈Δ{\ displaystyle A \ in \ Delta}s(NO)=NO{\ displaystyle s (A) = A}s(B′)=B{\ displaystyle s (B ') = B}s∘f{\ displaystyle s \ circ f}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}s∘f{\ displaystyle s \ circ f}s∘f=eud{\ displaystyle s \ circ f = Id}f=s-1{\ displaystyle f = s ^ {- 1}}Δ{\ displaystyle \ Delta}s∘f{\ displaystyle s \ circ f}s′{\ displaystyle s '}NO{\ displaystyle A}s(f(NO))=NO{\ displaystyle s (f (A)) = A}f=s∘s′{\ displaystyle f = s \ circ s '}

Em qualquer dimensão

Uma aplicação de um espaço euclidiano dentro de si mesmo, que preserva distâncias, necessariamente preserva o alinhamento. De acordo com o teorema fundamental da geometria afim , é, portanto, um mapa afim , e seu mapa linear associado mantém a norma, portanto, é um automorfismo ortogonal . Por outro lado, qualquer mapa afim cujo mapa linear associado é um automorfismo ortogonal é uma isometria afim.

Os automorfismos ortogonais são caracterizados pelo fato de que sua matriz em uma base ortonormal é uma matriz ortogonal .

Entre as isometrias afins distinguem-se, assim como entre os automorfismos ortogonais, os deslocamentos (isometrias afins diretas), que preservam a orientação, e os anti - posicionamentos (isometrias afins indiretas), que a revertem. O determinante da matriz mencionada é respectivamente +1 ou -1. Antisplacements também são chamados antirotations ou roto-inversões .

Exemplos. As traduções são deslocamentos sem ponto fixo . Na dimensão 2 ou 3, uma rotação afim é um deslocamento com pelo menos um ponto fixo. No plano, os anti-posicionamentos são os reflexos e os reflexos de deslizamento .

Para estudar isometrias afins em qualquer dimensão, estamos interessados ​​no automorfismo ortogonal associado definido como segue: se é uma isometria afim de , então seu automorfismo ortogonal associado é ϕ{\ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

ϕ:E→EMNÃO→↦f(M)f(NÃO)→.{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ phi &: & E & \ rightarrow & E \\ && {\ overrightarrow {MN}} & \ mapsto & {\ overrightarrow {f (M) f (N)} }. \ end {array}}}

Portanto, o estudo dos pontos fixos de e permite concluir sobre a natureza de . f{\ displaystyle f}ϕ{\ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle f}

• Se admite pontos fixos então:f{\ displaystyle f}

se, por exemplo, for uma rotação vetorial, então, na dimensão 2 ou 3, será uma rotação.ϕ{\ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle f} em particular, se for a identidade do vetor, então será a identidade.ϕ{\ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle f}

• Se não admite pontos fixos então se decompõe de maneira única como composto por uma isometria afim com pontos fixos (voltamos portanto ao caso anterior) e uma translação de vetores na direção dos pontos fixos da isometria anterior. Em particular, na dimensão 3, se é uma rotação vetorial, então é um aperto .f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}ϕ{\ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle f}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">