Axioma de paralelos

O axioma de Euclides , também disse quinto postulado de Euclides , é devido à inteligente grego Euclides ( IV ª  século  aC. ). É um axioma relacionado à geometria do plano .

A necessidade desse axioma tem sido a questão mais incômoda da história da geometria , e levou mais de dois milênios de debate contínuo para que a comunidade científica reconhecesse a impossibilidade de reduzi-la ao status de um mero teorema .

Declaração inicial

A declaração original é expressa no Livro I dos Elementos de Euclides da seguinte forma:

“Se uma linha que cai sobre duas linhas torna os ângulos internos do mesmo lado menores que dois direitos , essas linhas, estendidas ao infinito , se encontrarão no lado em que os ângulos são menores que dois direitos. "(Veja a figura).

Na linguagem moderna, isso poderia dar:

"Se uma linha cruza duas outras linhas determinando dois ângulos internos cuja soma é diferente de dois ângulos retos, então as duas linhas se cruzam no semiplano para o qual a soma é menor que dois ângulos retos".

História: teorema ou axioma

Euclides

Euclides apresentou essa propriedade como um axioma: seu quinto postulado .

É bastante provável que ele mesmo duvidava se sua afirmação era demonstrável ou não. As razões para pensar assim são tanto a escolha da propriedade, cuja afirmação é antes a de um "teorema improvável", quanto o fato de Euclides estabelecer as primeiras 28 proposições de seus Elementos sem recorrer a seu famoso axioma, tal as 'ele queria convidar seus leitores a prescindir disso e, assim, encorajá-los a demonstrá-lo .

Testes de demonstração e propostas equivalentes

Na verdade, por mais de dois milênios, muitos agrimensores pensaram que essa propriedade deveria seguir logicamente outros postulados. Eles, portanto, tentaram provar o axioma de Euclides. Entre os mais ilustres desses cientistas, podemos citar:

Arquimedes ( III ª  século  aC. ) Posidonios ( II E / I r  século  aC. ) Ptolomeu ( II th  século ) Próclus ( V th  século ) Thabit ibn Qurra ( IX th  século ) Al-Abbas ibn Said Al-Jawhari ( IX th  século ) Alhazen ( X th  século / XI th  século ) Omar Khayyam ( XI th  século ) Nasir al-Din al-Tusi ( XII th  século )

Vitellion ( XIII th  século ) Gersônides ( XIV th  século ) Giovanni Alfonso Borelli ( XVII th  século ) Vitale Giordano ( XVII th  século ) John Wallis ( XVII th  século ) Giovanni Girolamo Saccheri ( XVIII th  século ) Johann Heinrich Lambert ( XVIII th  século ) Adrien-Marie Legendre ( XVIII th  século / XIX th  século )

Como a demonstração do axioma exigiria trazê-lo de volta ao óbvio, outras afirmações mais ou menos equivalentes ao postulado de Euclides resultaram do melhor dessas tentativas de demonstração. As variantes conhecidas são bastante numerosas. Os mais famosos são provavelmente:

• “Através de um determinado ponto, podemos levar um e apenas um paralelo a uma determinada linha”. Esta forma do axioma de Euclides deve-se ao antigo matemático Proclus . É conhecido como postulado dos paralelos e como postulado da Playfair no mundo anglo-saxão.
• “Existem quadriláteros com quatro ângulos retos. "
• “Existem triângulos onde a soma dos ângulos é igual a dois direitos. "( Legendre )
• “Existem triângulos semelhantes de todos os tamanhos. "( John Wallis )
• “Por três pontos não alinhados de um plano, podemos sempre conduzir um círculo e apenas um. "( Farkas Bolyai )
• ...

Essas proposições são consideradas "aproximadamente equivalentes" ao axioma dos paralelos. Por equivalentes, deve-se entender que por meio de convenções de vocabulário adaptadas, esses axiomas, verdadeiros na geometria euclidiana , não são verdadeiros nem na geometria hiperbólica , nem na geometria elíptica .

Por exemplo, os dois axiomas a seguir não são equivalentes ao axioma de Euclides:

• “Se duas linhas não paralelas são estendidas ao infinito, elas divergem indefinidamente. "
• “Existem linhas paralelas. "

Na verdade, esses axiomas verdadeiros na geometria euclidiana também são verdadeiros na geometria hiperbólica. Portanto, eles não nos permitem demonstrar o axioma de Euclides. No entanto, eles estão relacionados ao axioma de Euclides, pois são falsos na geometria esférica.

Geometrias não euclidianas

No XIX th  século, com a pesquisa Lobachevsky , Bolyai , Gauss , Riemann , Beltrami , Klein e Poincaré , pode-se encontrar outras geometrias possíveis e não contraditórios manter os axiomas da geometria euclidiana , exceto quinto postulado; essas novas geometrias são chamadas de não euclidianas . A história dessa descoberta é um episódio fascinante na história da geometria  ; é retomado em linhas gerais no artigo “  Geometria não euclidiana  ”.

Existem duas maneiras diferentes de praticar geometria sem o axioma dos paralelos.

No primeiro, a soma dos ângulos de um triângulo é maior que 180 °: é chamada de geometria elíptica (da qual a geometria esférica é modelo ); na outra, é inferior a 180 °: é a geometria hiperbólica ou geometria de Lobachevsky. Por exemplo, modificando o quinto axioma da seguinte forma: "Por um ponto fora de uma linha, podemos fazer uma infinidade de linhas paralelas a esta linha, e todas diferentes", obtemos a geometria hiperbólica.

Em geometrias não euclidianas, o teorema de Pitágoras não é mais aplicável.

Resistores

O postulado de Euclides está ligado a uma certa percepção imediata do espaço. Renunciar provavelmente não é tão óbvio ... Em Les Fous littéraires , André Blavier cita 13 obras publicadas entre 1862 e 1932, escritas por aqueles que o autor chama pelo termo mais geral de “quadrateurs” que pensam demonstrar o postulado de Euclides.

Notas

1. καί έάν είς δύο εύθείας εύθεία έμπίπτουσα τας εντος καί επί τά αύτά μέρη γωνίας δύο όρτων έλάσσονας ποιη έκβαλλομένας τάς δύο εύθείας έπ απειρον συμπίπτειν, ct μέρη έισίν έφ αί των δύο όρτων έλάσσονες .
2. A tradução pode ser vista, por exemplo, aqui: Youcef Guergour, "  O quinto postulado dos paralelos em al-Mu'taman Ibn Hud, rei de Saragoça  ", Llull, Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas , voar.  32, n o  69,2009
3. "Euclides poderia ter dispensado isso para mostrar suas primeiras 28 proposições e só o usa para demonstrar a 29ª porque ele não consegue demonstrá-lo com as outras quatro." » , Hervé Zwirn, Os limites do conhecimento , Éditions Odile Jacob , col.  "Ciências",23 de setembro de 2000, 381  p. ( ISBN  2738108849 e 978-2738108845 )
4. Rosenfeld e Youshkevitch 1997 , p.  136
5. Rosenfeld e Youshkevitch 1997 , p.  137
6. Youcef Guergour, "  O quinto postulado dos paralelos em al-Mu'taman Ibn Hud, rei de Zaragoza  ", Llull, Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas , vol.  32, n o  69,2009.
7. Rosenfeld e Youshkevitch 1997 , p.  138
8. Rosenfeld e Youshkevitch 1997 , p.  139
9. Rosenfeld e Youshkevitch 1997 , p.  140-141.
10. Rosenfeld e Youshkevitch 1997 , p.  142
11. rigor, a formulação de Euclides de seu axioma é feita de modo que exclui a geometria hiperbólica, mas não a geometria elíptica, para a qual a questão do lado onde as linhas se encontram não tem sentido, uma vez que se encontram em ambos os lados. A singularidade do ponto de encontro de duas linhas é óbvia para Euclides. A formulação de Euclides torna os axiomas da geometria euclidiana assimétricos de certa forma. O uso do axioma dos paralelos é, neste sentido, mais adequado ao axioma geral da geometria. Foi ela quem foi usada por Hilbert.
12. Não é totalmente correto que possamos derivar geometrias não euclidianas dos outros quatro axiomas de Euclides além do quinto. Isso seria verdade se a axiomática de Euclides não tivesse falhas. Mas este não é o caso, apesar de seu rigor, pelos critérios de sua época e de muitas épocas subsequentes. Felix Klein , David Hilbert e outros propuseram axiomas que são mais satisfatórios para os critérios modernos.
13. Pode-se desenvolver geometrias que diferem da de Euclides por muitas outras coisas que a 5 ª  axioma; em seu livro Science and the Hypothesis , Poincaré dedica um capítulo a ela. Obviamente, essas geometrias também não são euclidianas. No entanto, o termo "  geometria não euclidiana  " é dedicado a geometrias que diferem de Euclides apenas pela ausência do postulado dos paralelos e pelas suposições sobre o tamanho do ângulo indefinido no quadrilátero de Sacchieri.
14. A. Blavier, Les Fous littéraires , publicado em 1982, republicado em 2000 Paris, Éditions des Cendres ( ISBN  2-86742-094-6 ) , p.  471 .

Veja também

Bibliografia

• Christian Houzel , "História da teoria dos paralelos" , em Roshdi Rashed , Mathematics and Philosophy: from Antiquity to the Classical Age , CNRS,1991( ISBN  2222044960 ) , p.  163-179
• Khalil Jaouiche, A teoria dos paralelos no país do Islã: contribuição para a pré-história das geometrias não euclidianas , Paris, Vrin,1986, 266  p. ( ISBN  2-7116-0920-0 , apresentação online )
• Jean-Claude Pont, A aventura dos paralelos: história da geometria não euclidiana, precursores e retardados , Lang,1986( ISBN  3-261-03591-9 )
• (pt) Boris Abramovich Rosenfeld ( tradução  do russo), cap.  2 “The Theory of Parallels” , em Uma história da geometria não-euclidiana: evolução do conceito de um espaço geométrico , New York, Springer,1988( DOI  10.1007 / 978-1-4419-8680-1 ) , p.  35-109
• Boris A. Rosenfeld e Adolf P. Youshkevitch , “Geometria” , em História das Ciências Árabes  : Matemática e Física , t.  2, Limiar,1997

Artigos relacionados

• Axiomas de Hilbert  : comparação entre os axiomas de Euclides e os axiomas de Hilbert
• Axiom Playfair  (en)
• Geometria absoluta

links externos

[ppt] Jacques Verdier, As demonstrações do axioma de Euclides, a teoria dos paralelos , Besançon, 2007