Ponto aderente

Em matemática e mais precisamente em topologia , um ponto aderente a uma parte A de um espaço topológico E é um elemento da adesão de A , ou seja, um ponto x de E tal que qualquer vizinhança de x encontra A (ou seja, não é disjuntos de A ) ou: todos aberto contendo X encontra um . Todos os pontos de A são aderentes a A ; Outros pontos de E pode também, conforme o caso pode ser aderente à A .

A noção de ponto aderente a um conjunto A não é intrínseca, no sentido de que depende do espaço topológico do qual A é visto como um subconjunto.

Um ponto E é não aderente a uma se e só se for dentro para E \ A . Tal ponto é no exterior do referido Uma .

Exemplos

Em ℝ, 1 é aderente ao intervalo] 0, 1 [.
Mais geralmente, em ℝ, os limites superior e inferior de um conjunto limitado não vazio são aderentes a este conjunto.
O limite de uma sequência ou de uma função obedece ao conjunto de valores assumidos por esta função .

Propriedades

Cada elemento de A é aderente à A .
Se a topologia de E é discreto , apenas os pontos de A são inscritos em um .
Se a topologia de E é grosseiro e se A não está vazia, em qualquer ponto E é um membro de uma .

Ponto limite, ponto isolado, parte discreta

Dizemos que um ponto x de E é um ponto limite de A se qualquer vizinhança de x contém pelo menos um elemento de A diferente de x . Em outras palavras, x é um ponto limite de A se x for aderente a A \ { x } .

De acordo com os autores (ver próxima seção), o conjunto derivado de A , denotado A ' , denota:

seja o conjunto de pontos limites de A ;
ou seja, o conjunto de pontos de acumulação de A ;
ou ambos quando são idênticos.

Um ponto de adesão A que não está em A é automaticamente um ponto limite de A , portanto:

{\ bar A} = A \ xícara A '

e A é fechado se e somente se contiver todos os seus pontos de extremidade.

Em um espaço T 1 , A ' é fechado:

(A ')' \ subconjunto A '.

Um ponto A não é um ponto limite de A é chamado ponto isolado de um .

Uma parte da qual todos os pontos são isolados é chamada de parte discreta . De fato, a topologia induzida em A pela topologia de E é discreta se e somente se algum ponto de A for isolado.

Ponto de acumulação

Conforme indicado no glossário de topologia , não há consenso no mundo francófono sobre a diferença entre “ponto limite” e “ponto de acumulação”. Atualmente existem duas escolas.

Para a primeira escola, representada por Choquet , Schwartz e Willard e adotada no artigo detalhado, as expressões “ponto de acumulação” e “ponto limite” são sinônimos. Se A faz parte de um espaço topológico, um ponto de acumulação ou ponto limite de A é um ponto x cuja vizinhança contém um ponto de A distinto de x . Em outras palavras, um ponto x é um ponto de acumulação de A se e somente se for aderente a A \ {x} .

Para a segunda escola, representada por Steen e Seebach e adotada neste artigo, “ponto de acumulação” designa uma propriedade que é mais forte do que “ponto limite”. Dizemos que um ponto x de E é um ponto de acumulação de A se cada bairro de x contém um número infinito de pontos de Uma . Qualquer ponto de acumulação de A em E é, portanto, um ponto limite de A , mas o inverso só é verdadeiro se E for um espaço T 1 ou a fortiori se for separado (espaço T 2 ), em particular s 'é metrizável . Mas em qualquer espaço topológico, A pode ter pontos limites que não são pontos de acumulação. Por exemplo, se E é um conjunto finito não vazio dotado com a topologia grosseiro e se A é uma parte não vazio estrita de E , qualquer ponto de E \ A é um ponto limite de A mas Um não tem um ponto de acumulação em E .

Caracterização sequencial

Se um ponto x de E é o limite de uma sequência de elementos de uma , em seguida, x é um membro de uma . O inverso é verdadeiro se E é metrizável (ou mais geralmente se x admite um sistema fundamental de vizinhanças contáveis ). Em tal espaço, portanto, temos o mesmo: x é um ponto limite de A se e somente se for um limite de uma sequência de elementos de A distintos de x .

Além disso, em um espaço T1 , vamos lembrar que “ponto limite” é sinônimo de “ponto de acumulação” e notar que, além disso, um ponto é limite de uma série de elementos de A distintos de si mesmo se e somente se limite de uma sequência injetivo de elementos a . Em um espaço métrico temos: um ponto E é ponto de acumulação de A se e somente se é limite injective de uma sequência de elementos A .

Em espaços mais gerais, as suítes não funcionam mais; é preferível usar filtros ou sequências generalizadas .

Notas e referências

Jacques Dixmier , General Topology , PUF , p. 19.
Jean Dieudonné , Elements of analysis , vol. 1, Paris, Gauthier-Villars ,1965( OCLC 7471923 ) , p. 38.
Gustave Choquet, Curso de Análise , vol. 2: Topologie , Paris, Masson , 2 nd ed. revisited, 2 e cartaz 1973 ( 1 st ed. 1964) ( OCLC 802147174 ) , p. 14.
Laurent Schwartz, Análise: topologia geral e análise funcional , vol. 1, Paris, Hermann , 2 nd ed. e revisto, reprint 1993 ( 1 st ed. 1970) ( OCLC 797583398 ).
(en) Stephen Willard, Topologia Geral , Leitura, Mass. Addison-Wesley ,1970( 1 st ed. 1968) ( OCLC 633848112 )- reimpresso por Dover , Mineola, New York em 2004 [ leia online ] .
(em) Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach , Jr., Contra-exemplos em topologia , New York, Springer , 2 th ed. 1978 ( 1 st ed. 1970) ( OCLC 3649846 )- reimpresso por Dover , Mineola, New York em 1995 ( ISBN 978-0-486-68735-3 ) .