Espaço hemimétrico

Em matemática , as noções de espaço hemimétrico e função hemimétrica são a generalização daquelas de espaço pseudométrico e desvio, por não impor que a função seja simétrica.

Definição

Uma hemimétrica (ou função hemimétrica) em um conjunto é uma função $E$

{\ displaystyle \ mathrm {d}: E \ times E \ to \ mathbb {R} _ {+}}

tal que para tudo , ${\ displaystyle x, y, z \ in E}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} (x, x) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ mathrm {d} (x, z) \ leq \ mathrm {d} (x, y) + \ mathrm {d} (y, z)}$ ( desigualdade triangular ).

Um espaço hemimétrico é um conjunto fornecido com uma hemimétrica . ${\ displaystyle (E, \ mathrm {d})}$ $E$ ${\ mathrm d}$

Exemplos

Este é o caso para distâncias em uma rede que compreende segmentos unilaterais e, geralmente, em qualquer gráfico direcionado .

Casos especiais

Uma hemimétrica simétrica é uma lacuna , que define um espaço pseudométrico .
Um hemimétrico que distingue dois pontos (ou seja, que verifica a propriedade de separação) é um quasimétrico , que define um espaço quasimétrico .
Um hemimétrico que satisfaça ambas as propriedades é uma distância , que define um espaço métrico . Endurecendo a desigualdade triangular, obtemos até um espaço ultramétrico , usado em particular na classificação automática .

Um hemimétrico induz uma topologia em . Uma base aberta desta topologia é dada pelo conjunto: $E$

{\ displaystyle \ {B_ {r} \ left (x \ right): x \ in E, r> 0 \},}

onde está a bola de raio aberta centrada em . ${\ displaystyle B_ {r} \ left (x \ right) = \ {y \ in E: \ mathrm {d} (x, y) <r \}}$ $r$ $x$

Referências

( fr ) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Espaço hemimétrico " ( ver a lista de autores ) .