Módulo de um número complexo
Em matemática , o módulo de um número complexo é o número real positivo que mede seu "tamanho" e generaliza o valor absoluto de um número real . Esta noção é particularmente útil para definir uma distância no plano complexo .
O módulo de um número complexo z é denotado por | z |. Se o complexo z é expresso em sua forma algébrica, a + i b , onde i é a unidade imaginária , a é a parte real de z e b sua parte imaginária , este módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados de a e b :
|z|=no2+b2.{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}
O termo módulo foi introduzido por Jean-Robert Argand , expondo uma forma de representar quantidades imaginárias por meio de construções geométricas.
Exemplos
- O módulo de 0 é 0. O módulo de um número complexo diferente de zero é diferente de zero.
- O módulo de um real é seu valor absoluto.
- O módulo de 1 + i é √ 2 .
-
12+eu32{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
tem para o módulo 1.
Propriedades
Para todos os reais e os respectivos valores absolutos e e para todos os complexos números de z , z 1 , Z 2 , ..., z n :
no{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
|no|{\ displaystyle | a |}
|b|{\ displaystyle | b |}![| b |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881f49e94388a46a05d329251551ce20baf4f05d)
- |no|≤no2+b2=|no+eub|e|b|≤no2+b2=|no+eub|{\ displaystyle | a | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b | \ quad {\ text {and}} \ quad | b | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b |}
![| a | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b | \ quad {\ text {e}} \ quad | b | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a621c6cdfb6872dacc9aacd82347f0c33252c81)
- |z|≥0{\ displaystyle | z | \ geq 0}
![| z | \ geq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6506224a1dd2262556a29a789033f192f9d3bfef)
- |z|=0⇔z=0{\ displaystyle | z | = 0 \ Leftrightarrow z = 0}
![| z | = 0 \ Leftrightarrow z = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728b1a6c5297e0ef8ccd81914c9fd409e3d1792e)
- |z1z2|=|z1||z2|{\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} || z_ {2} |}
![{\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} || z_ {2} |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b02d1ad12d0d8c33da0f3d0412b065de200adb7)
- |z1z2|=|z1||z2|E sez2≠0{\ displaystyle \ left | {z_ {1} \ over {z_ {2}}} \ right | = {| z_ {1} | \ over {| z_ {2} |}} \ quad {\ text {si}} \ quad z_ {2} \ neq 0}
![\ left | {z_ {1} \ over {z_ {2}}} \ right | = {| z_ {1} | \ over {| z_ {2} |}} \ quad {\ text {si}} \ quad z_ {2} \ neq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d208b76f1908e76cfb86a4301cabe2c6c967b756)
-
|z¯|=|z|=|-z¯|=|-z|{\ displaystyle | {\ overline {z}} | = | z | = | - {\ overline {z}} | = | -z |}
, onde denota o conjugado do número complexoz¯{\ displaystyle {\ overline {z}}}
z{\ displaystyle z}
- zz¯=|z|2{\ displaystyle z {\ overline {z}} = | z | ^ {2}}
![z {\ overline {z}} = | z | ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636b3450f9b9ff3da4fae9a11142929b1a91a083)
-
|z1+z2|≤|z1|+|z2|{\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} |}
( desigualdade triangular , que se generaliza em )|z1+z2+⋯+znão|≤|z1|+|z2|+⋯+|znão|{\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} + \ cdots + z_ {n} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} | + \ cdots + | z_ {n} |}![| z_ {1} + z_ {2} + \ cdots + z_ {n} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} | + \ cdots + | z_ {n} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf2b5d07e857513ed2bec88c8af80c1b6e7d596)
-
|z1+z2|≥| |z1|-|z2| |{\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ geq | ~ | z_ {1} | - | z_ {2} | ~ |}
(deduzido da desigualdade triangular)
- Caso de igualdade na desigualdade triangular: se e somente se , ou mesmo se e somente se existe um real positivo como ou .|z1+z2|=|z1|+|z2| {\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | = | z_ {1} | + | z_ {2} | ~}
z1¯z2∈R+{\ displaystyle {\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ in \ mathbb {R} _ {+}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
z2=λz1 {\ displaystyle z_ {2} = \ lambda z_ {1} ~}
z1=λz2 {\ displaystyle z_ {1} = \ lambda z_ {2} ~}![z_ {1} = \ lambda z_ {2} ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03108a7c20f3acdd49545b3c59ff6e5b9b842fa2)
Interpretação geométrica
Se interpretarmos z como um ponto no plano, isto é, se considerarmos sua imagem , então | z | é a distância de (a imagem de) z à origem.
É útil interpretar a expressão | x - y | como a distância entre as imagens (de) dois complexos números x e y no plano complexo.
Do ponto de vista algébrico, o módulo é um valor absoluto , o que dá ao conjunto de números complexos a estrutura de um campo valorado .
É em particular uma norma , de modo que o plano complexo é um espaço vetorial normado (de dimensão 2). Segue-se que é um espaço métrico (portanto, um espaço topológico ). Na verdade, o aplicativo: , é uma distância .
VS×VS→R+{\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}
(z1,z2)↦|z1-z2|{\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto | z_ {1} -z_ {2} |}![(z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto | z_ {1} -z_ {2} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb9a30f43c9bac64aa65a6c1c9c5f69aa3f9acb)
Números complexos de módulo 1
A aplicação de in é um morfismo de grupo . Seu núcleo não é outro senão o conjunto de números complexos de módulo 1, que é, portanto, um subgrupo de . É chamado de grupo de unidades de .
z↦|z|{\ displaystyle z \ mapsto | z |}
(VS∗,×){\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ times)}
(R∗,×){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {*}, \ times)}
você{\ displaystyle \ mathbb {U}}
(VS∗,×){\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ times)}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
O mapa é um morfismo de grupos de em . Este morfismo é periódico e denotamos seu período. Esta definição do número π é devida ao coletivo Nicolas Bourbaki .
x↦exp(eux){\ displaystyle x \ mapsto \ exp ({\ rm {i}} x)}
(R,+){\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}
(você,×){\ displaystyle (\ mathbb {U}, \ times)}
2π{\ displaystyle 2 \ pi}![2 \ ft](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06)
Notas e referências
-
Jean-Robert Argand, Reflexão sobre a nova teoria dos imaginários, seguida da demonstração de um teorema analítico , Annales de Gergonne , tomo 5, p. 197-209, Anexo do Ensaio sobre uma maneira de representar quantidades imaginárias por construções geométricas , Gauthier-Villars, Paris (1874), p. 122 .
-
Conforme explicado neste vídeo: “ Módulo de um determinado número complexo ” ( Arquivo • Wikiwix • Archive.is • Google • O que fazer? ) , On Video-Maths .
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