Em matemática , o grupo spinor de grau n , denotado Spin ( n ), é uma cobertura dupla particular do grupo especial ortogonal real SO ( n , ℝ). Isso quer dizer que existe uma sequência exata de grupos de Lie
Podemos também definir os grupos de espinores de uma forma quadrática não degenerada em um campo comutativo.
Para n > 2, Spin ( n ) é simplesmente conectado e coincide com a cobertura universal de SO ( n , ℝ). Como um grupo de Lie, Spin ( n ) compartilha sua dimensão n ( n –1) / 2 e sua álgebra de Lie com o grupo ortogonal especial.
Spin ( n ) pode ser construído como um subgrupo dos elementos invertíveis da álgebra de Clifford Cℓ ( n ).
Nesta parte, assumimos que V é de dimensão finita e sua forma bilinear não singular. (Se K for de característica 2, isso implica que a dimensão de V é par).
O grupo de Pin (en) Pino V ( K ) é o subgrupo do grupo Clifford Γ de elementos da norma de spin 1, e da mesma forma o grupo de Spin Spin V ( K ) é o subgrupo d elementos do invariante de Dickson 0 no Pino V ( K ). Quando a característica não é 2, esses são os elementos do determinante 1. O grupo de Spin geralmente tem um índice 2 no grupo de Pino.
Lembre-se, da parte anterior, que há um homomorfismo do grupo Clifford no grupo ortogonal. Definimos o grupo ortogonal especial como sendo a imagem de Γ 0 . Se K não é da característica 2, este é simplesmente o grupo de elementos do grupo ortogonal do determinante 1. Se K é da característica 2, então todos os elementos do grupo ortogonal são do determinante 1, e o grupo ortogonal especial é o Elemento invariante de Dickson definido como 0.
Existe um homomorfismo do grupo Pin para o grupo ortogonal. A imagem consiste nos elementos da norma de spin 1 ∈ K * / ( K *) 2 . O núcleo é composto por elementos 1 e -1, e é da ordem de 2 a menos que K é de característica 2. Do mesmo modo, existe uma homomorphism a partir do grupo da rotação para o painel ortogonal de V .
No caso atual, quando V é um espaço definido positivo ou negativo nos reais, o grupo de spin se aplica ao grupo especial ortogonal, e é simplesmente conectado quando V é de dimensão pelo menos igual a 3. Atenção: Este n 'não é verdadeiro, em geral: Se V é ℝ p, q para p e q ambos, pelo menos, igual a dois, em seguida, o grupo de centrifugação é simplesmente não ligado e não se aplica ao grupo especial ortogonal. Nesse caso, o grupo algébrico Spin p , q é simplesmente conectado como um grupo algébrico, embora seu grupo de pontos de valor real Spin p , q (ℝ) não seja simplesmente conectado.
Suponha que p + q = 2 n seja par. Então, a álgebra de Clifford Cℓ p, q (ℂ) é uma álgebra matricial e, portanto, tem uma representação complexa de dimensão 2 n . Restringindo ao grupo Pin p , q (ℝ) obtemos uma representação complexa do grupo Pin de mesma dimensão, chamada de representação de spin . Se restringirmos isso ao grupo de spin Spin p , q (ℝ), então ele se divide em uma soma de duas representações de meio spin (ou representações de Weyl ) de dimensão 2 n –1 .
Se p + q = 2 n +1 for ímpar, então a álgebra de Clifford Cℓ p, q (ℂ) é uma soma de duas álgebras de matriz, cada uma delas tem uma representação de dimensão 2 n , e essas são também representações de Pin grupo Pin p , q (ℝ). Na restrição ao grupo de spin Spin p , q (ℝ), estes se tornam isomórficos, então o grupo de spin tem uma representação de spin complexa de dimensão 2 n .
Mais geralmente, grupos de spin e grupos de pinos em qualquer campo têm representações semelhantes, cuja estrutura exata depende da estrutura das álgebras de Clifford correspondentes : sempre que uma álgebras de Clifford tem um fator que é uma álgebra de matriz em alguma álgebra de divisão, obtemos uma representação correspondente dos grupos de spin e pin nesta álgebra de divisão.
Às vezes é possível estender a noção de representações do grupo spinor ao quadro das variedades , ou seja, “espaços curvos”. Algumas variedades podem ser dotadas de uma estrutura espinora na qual o grupo espinor desempenha o papel de grupo estrutural da geometria, e as representações de spin e meio spin são generalizadas na forma de feixes . Mesmo na ausência de uma verdadeira estrutura de spinor, é possível generalizar a noção de álgebra de Clifford e de representações dessa álgebra: é o conceito de feixe de Clifford que desempenha esse papel; atua em feixes de espinor quando eles existem ou mais geralmente em feixes de módulo de Clifford.
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