Fibra principal
Em topologia , informalmente, um pacote principal sobre um espaço topológico X é um espaço localmente semelhante a um produto de X por um grupo topológico . Em particular, um pacote principal é um pacote de espaço , mas é muito mais. É fornecido com um grupo , o grupo estrutural , que descreve a maneira como as trivializações locais se encaixam. A teoria dos feixes principais cobre a teoria dos feixes vetoriais , suas orientações , suas estruturas Riemannianas , suas estruturas simpléticas ... Os feixes principais são particularmente importantes no estudo de classes características em topologia algébrica .
Definição formal
Seja G um grupo topológico que atua contínua e livremente à direita em um espaço topológico F e X em um espaço topológico.
Um feixe M sobre X de fibra F e grupo estrutural G são os dados de um espaço topológico M e de um mapa sobrejetivo contínuo , denominado projeção , tal como:
Para cada ponto x de X há uma vizinhança aberta U x de x em X e um homeomorfismo , chamada banalização locais mais U . Para dois pontos x e y , existe um mapa contínuo , chamado de uma função de transição , de tal modo que, para qualquer m em , temos:
Dependendo do contexto, a definição pode ser mais restritiva no que diz respeito às estruturas. Em particular, em geometria diferencial , pedimos que os espaços X e M sejam variedades , o grupo G um grupo de Lie e o mapa e a ação diferenciáveis . Mas, essencialmente, a definição é a mesma.
Um feixe de fibras com grupo estrutural G e fibra F é obtido como segue. Considere uma família ( U i ) de aberturas de X e mapas que satisfaçam:
- para todo i , o mapa f ii é a identidade;
- para todo i , j , f ij −1 = f ji ;
- para todos os i , j e k , f ij f jk = f ik ( condição de ciclo ).
Um feixe principal G é um feixe em X , do grupo estrutural G , e de fibra G , onde a ação de G sobre G é o mapa de multiplicação à direita. De forma equivalente, um feixe L -Principal é um espaço topológico M que é actuado de forma contínua e livremente para o grupo topológico direito L , base o quociente X = H / L . Esta caracterização é válida em geometria diferencial sob a suposição de que o quociente é uma variedade.
O conjunto de marcos
A classificação dos principais feixes com grupo estrutura GL n ℝ em X é equivalente à classificação de vector de feixes real posto n em X .
Formulários:
- Na topologia algébrica , o pacote de referência desempenha um papel central, em particular, no que diz respeito às classes de características.
- Em geometria diferencial, se é comum manipular conexões Koszul , ter uma formulação geométrica é agradável. As conexões de Ehresmann são realizadas no pacote de quadros.
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
- (pt) Jürgen Jost , Compact Riemannian Surfaces [ detalhe das edições ]
- (pt) Glen E. Bredon (pt) , Topologia e Geometria [ detalhe da edição ]