E8 (matemática)

Em matemática , é o maior grupo de Lie complexo de tipo excepcional. Sua álgebra de Lie é anotada . $E_ {8}$ ${\ mathfrak {e}} _ {8}$

E 8 é de classe 8 e de dimensão 248. Ele está simplesmente conectado e seu centro é trivial.

A estrutura E 8 foi descoberta em 1887 pelo matemático norueguês Sophus Lie para estudar a simetria e até agora ninguém pensava que isso pudesse ser entendido como objeto matemático, considera Jeffrey Adams (in) , líder da equipe Atlas of Lie grupos e representações (en) que traz juntos 18 matemáticos e programadores em todo o mundo, incluindo Fokko du Cloux e Marc van Leeuwen (en) .

Formas reais

Além do grupo de Lie complexo , de dimensão complexa 248 (portanto de dimensão real 496), existem três formas reais deste grupo, todas de dimensão real 248. As mais simples são as formas compacta (en) e expandida (en) . (máximo não compacto ou dividido em inglês) e há um terceiro, anotado . $E_ {8}$ $E _ {{8 (-248)}}$ $E _ {{8 (8)}}$ $E _ {{8 (-24)}}$

Construções

Podemos construir a forma compacta do grupo E 8 como o grupo de automorfismos da álgebra de mentira correspondente. Esta álgebra tem como subálgebra de dimensão 120 e podemos usar isso para decompor a representação adjunta como ${\ mathfrak {e}} _ {8}$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

{\ mathfrak {e}} _ {8} = {\ mathfrak {so}} (16) \ oplus \ textstyle {S} _ {{16}} ^ {+}

onde é uma das duas representações espinoriais, de Majorana-Weyl tipo do grupo de qual é o álgebra de Lie. $S _ {{16}} ^ {+}$ $\ operatorname {Spin} (16)$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

Se chamarmos um conjunto de geradores para e os 128 componentes de, então podemos escrever explicitamente as relações definindo como $J _ {{ij}}$ ${\ mathfrak {so}} (16)$ $Q_ {a}$ $S _ {{16}} ^ {+}$ ${\ mathfrak {e}} _ {8}$

\ left [J _ {{ij}}, J _ {{k \ ell}} \ right] = \ delta _ {{jk}} J _ {{i \ ell}} - \ delta _ {{j \ ell }} J_ {{ik}} - \ delta _ {{ik}} J _ {{j \ ell}} + \ delta _ {{i \ ell}} J _ {{jk}} \,

assim como

\ left [J _ {{ij}}, Q_ {a} \ right] = {\ frac 14} \ left (\ gamma _ {i} \ gamma _ {j} - \ gamma _ {j} \ gamma _ { i} \ right) _ {{ab}} Q_ {b} \,

que corresponde à ação natural de no spinor . O comutador restante (que é de fato um comutador e não um anticomutador) é definido entre os componentes do espinor como $\ operatorname {so} (16)$ $S _ {{16}} ^ {+}$

\ left [Q_ {a}, Q_ {b} \ right] = \ gamma _ {{ac}} ^ {{[i}} \ gamma _ {{cb}} ^ {{j]}} J _ {{ ij}} \,

A partir dessas definições, podemos verificar que a identidade de Jacobi está satisfeita.

Geometria

A forma compacta real de E 8 pode ser vista como o grupo isométrico de uma variedade Riemanniana de dimensão 128 chamada de plano projetivo octooctoniônico . Este nome vem do fato de que pode ser construído usando uma álgebra que é construída como um produto tensorial das octonions com elas mesmas. Esse tipo de construção é analisado em detalhes por Hans Freudenthal e Jacques Tits em sua construção conhecida como o quadrado mágico ( fr ) .

Na física

No contexto de grandes teorias de unificação em física de partículas , o grupo E 8 é às vezes considerado um grupo de calibre candidato, uma vez que naturalmente contém uma série de outros grupos de unificação frequentemente considerados grandes. Podemos ver isso sob a sucessão de inclusões

E_ {8} \ leftarrow \ operatorname {SO} (10) \ leftarrow \ operatorname {SU} (5) \ leftarrow \ operatorname {SU} (3) \ times \ operatorname {SU} (2) \ times \ operatorname {U } (1) \,

Além disso, o grupo E 8 aparece com frequência na teoria das cordas e na supergravidade . Na teoria das cordas heteróticas, uma formulação faz com que apareça (na forma compacta) como um grupo de calibre . Além disso, quando a supergravidade máxima é compactada em um toro de dimensão 8, então a teoria resultante na dimensão três tem uma simetria global E 8 (ou seja, a forma desdobrada, ou maximamente não compacta). Posteriormente, foi sugerido uma versão discreta, denotado , que seria grupo uma simetria, denominado no presente contexto L-dualidade (br) , a teoria M . $\ textstyle {E_ {8}} \ times \ textstyle {E_ {8}}$ $E_ {8} (\ mathbb {Z})$

Em novembro de 2007, um físico americano, Antony Garrett Lisi , depositou no site de pré-impressões científicas arXiv um artigo muito discutido sobre uma teoria unificadora de forças baseada no grupo E 8 : “ Uma Teoria Excepcionalmente Simples de Tudo ”.

Álgebra

Diagrama Dynkin

Sistema radicular

Na base formada pelas raízes simples , o sistema radicular de E 8 é formado por um lado a partir de todas as permutações de ${\ mathfrak {so}} (16)$

\ left (\ pm 1, \ pm 1,0,0,0,0,0,0 \ right) \,

que constitui o sistema de raízes de e tem elementos (é necessário somar os 8 geradores de Cartan para obter 120 que é a dimensão de ). ${\ mathfrak {so}} (16)$ $4 \ times {\ begin {pmatrix} 8 \\ 2 \ end {pmatrix}} = 112$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

Além disso, devemos adicionar a isso os 128 pesos da representação do spinor de . Sempre na mesma base, estes são representados pelos vetores $S _ {{16}} ^ {+}$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

\ left (\ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12} , \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12} \ right) \,

de forma que a soma de todas as coordenadas seja par. Eles estão em número . ${\ frac 12} \ vezes 2 ^ {8} = 128$

Assim, obtemos raízes, todas de multiplicidade 1. Por abuso de linguagem, às vezes também consideramos o vetor nulo como uma raiz associada à subálgebra de Cartan (en) . Como E 8 é de classe 8, a raiz zero é então de multiplicidade 8. Assim, finalmente descrevemos bem os 248 geradores de álgebra . $112 + 128 = 240$ ${\ mathfrak {e}} _ {8}$

Matriz cartan

{\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 \ \ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 e 0 e 0 e 2 \ end {pmatrix}}

Representações

${\ mathfrak {e}} _ {8}$ difere de outras álgebras de Lie de dimensão finita pelo fato de que sua menor representação não trivial é a representação adjunta .

A representação fundamental de E 8 é de dimensão 248.

Decodificação Grupo E 8

Em 19 de março de 2007, o Instituto Americano de Matemática ( AIM) anunciou que pesquisadores americanos e europeus e após quatro anos de esforço e mais de um século após sua descoberta conseguiram decodificar o E 8 , um dos maiores e mais complexos matemáticos estruturas. O núcleo duro do grupo de pesquisadores é formado por sete matemáticos, cinco americanos e dois franceses: Jeffrey Adams da Universidade de Maryland , Dan Barbasch da Universidade Cornell , John Stembridge (en) da Universidade de Michigan , Peter Trapa do Universidade de Utah , Marc van Leeuwen da Universidade de Poitiers , David Vogan (de) do Instituto de Tecnologia de Massachusetts e Fokko du Cloux da Universidade de Lyon .

De acordo com Peter Sarnak , professor de matemática da Universidade de Princeton e presidente do comitê científico da AIM, a decodificação desse grupo pode abrir a porta para novas inovações no campo da programação de computadores.

“Este avanço é importante não apenas para o avanço do conhecimento matemático básico, mas também para facilitar os cálculos do computador para resolver problemas complexos, [...]. A decodificação dessa estrutura chamada E 8 também poderia muito bem ter aplicações em matemática e física que não descobriremos por vários anos. "

- Peter Sarnak, Le Monde , 19 de março de 2007

Entre os objetos subjacentes aos grupos de Lie estão todos os tipos de figuras geométricas, como esferas , cones , cilindros no espaço tridimensional. Mas as coisas ficam difíceis quando estudamos esses objetos em espaços dimensionais mais elevados. "Compreender e classificar estruturas tem sido fundamental para compreender fenômenos em muitas áreas da matemática, incluindo álgebra , geometria , teoria dos números , bem como física e química " , comenta Peter Sarnak, professor de matemática da Universidade de Princeton e presidente do Comitê Científico da AIM . $E_ {8}$

Esses cálculos exigiam novas técnicas matemáticas e capacidades computacionais de computadores que não existiam há alguns anos, dizem os pesquisadores. A operação durou 77 horas e exigiu um supercomputador com 200 GB de RAM , e produziu um resultado em torno de 60 GB, cujo tamanho pode ser comparado a 60 vezes o do genoma humano. Portanto, a equipe estava esperando para encontrar um supercomputador capaz de realizar os cálculos quando Noam Elkies , um matemático da Universidade de Harvard, descobriu uma maneira de dividir o projeto em partes mais simples. Cada elemento produz um subconjunto do resultado e juntá-los fornece a solução completa para o problema. No verão de 2006, três membros da equipe, incluindo Fokko du Cloux, dividiram o programa em várias partes. Os cálculos foram realizados em uma máquina da Universidade de Washington .

A ordem de magnitude e a natureza do cálculo devem ser comparadas ao projeto de sequenciamento do genoma humano, indica o comunicado de imprensa divulgado pelo AIM. Enquanto todas as informações do genoma representam um volume de 1 GB, o resultado do E 8 é cerca de 60 vezes maior com dados altamente compactados. Escrito no papel, esse resultado cobriria um espaço equivalente ao tamanho de Manhattan .

Alguns números sobre o cálculo de E 8

Algumas ideias sobre o tamanho do resultado final:

O resultado do cálculo E 8 é uma matriz de 453.060 linhas e colunas.
A matriz tem 205.263.363.600 elementos,
Se cada elemento desta matriz fosse escrito em uma área de 2,5 cm 2 , a matriz teria a dimensão de um quadrado com um lado maior que 10 km .

Número de polinômios distintos: 1.181.642.979,
número de coeficientes em polinômios distintos: 13 721 641 221,
maior coeficiente: 11.808.808,
polinômio com o maior coeficiente: 152 q 22 + 3472 q 21 + 38 791 q 20 + 293 021 q 19 + 1370 892 q 18 + 4067 059 q 17 + 7 964 012 q 16 + 11 159 003 q 15 + 11 808 808 q 14 + 9 859 915 q 13 + 6 778 956 q 12 + 3 964 369 q 11 + 2 015 441 q 10 + 906 567 q 9 + 363 611 q 8 + 129 820 q 7 + 41 239 q 6 + 11 426 q 5 + 2 677 q 4 + 492 q 3 + 61 q 2 + 3 q,
valor deste polinômio para q = 1: 60 779 787,
polinômio com o maior valor (quando q = 1) descoberto até agora (maio de 2007) : 1.583 q 22 + 18.668 q 21 + 127.878 q 20 + 604.872 q 19 + 2.040.844 q 18 + 4.880 797 q 17 + 8 470 080 q 16 + 11 143 777 q 15 + 11 467 297 q 14 + 9 503 114 q 13 + 6 554 446 q 12 + 3 862 269 q 11 + 1 979 443 q 10 + 896 537 q 9 + 361 489 q 8 + 129 510 q 7 + 41 211 q 6 + 11 425 q 5 + 2 677 q 4 + 492 q 3 + 61 q 2 + 3 q,
valor para este polinômio para q = 1: 62 098 473.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " E8 (matemática) " ( ver a lista de autores ) .

(in) Matemáticos Mapa E8 no site do AIM

links externos

Grupo de Lie E8: uma chave para a teoria das supercordas? em futura-sciences.com
Uma solução matemática com dimensões desproporcionais em techno-science.net