Garrafa de Klein

Em matemática , a garrafa de Klein (pronuncia-se kla.in ) é uma área fechada, sem fronteiras e não direcional , ou seja, uma superfície para a qual não é possível definir um "doméstico" e um "exterior". A garrafa de Klein foi descrita pela primeira vez em 1882 pelo matemático alemão Felix Klein . Seu nome possivelmente deriva de uma confusão ou jogo de palavras entre os termos Klein Fläche ("superfície de Klein") e Klein Flasche ("garrafa de Klein").

A garrafa de Klein está intimamente relacionada à tira de Möbius e às imersões do plano projetivo real , como a superfície do menino . É um dos exemplos mais simples de variedade abstrata, porque é uma superfície que não pode ser representada adequadamente no espaço tridimensional. Matematicamente, diz-se que inclui uma imersão da classe C ∞ no espaço ℝ 3 tridimensional, mas não tem nenhum embedding continuamente.

Construção

A garrafa de Klein só é possível representar no espaço ℝ 3 (espaço tridimensional) se aceitarmos que ela se cruza ; além disso, nenhuma percepção que se possa ver da garrafa de Klein é "exata". Em ℝ 4 , por outro lado é possível realizá-la sem autointerseção (matematicamente, dizemos que ela possui um embedding (imersão injetiva ) de classe C ∞ em ℝ 4 ).

Aqui está uma linha do tempo em ℝ 3 . Do quadrado inicial, cole as duas bordas vermelhas juntas, na direção das setas. A figura resultante é um cilindro, cujas duas arestas queremos identificar usando as setas azuis. Para respeitar a direção dessas setas, é necessário virar um dos círculos antes de colá-lo de volta no outro e, para isso, operar uma autointerseção.

Se os dois segmentos azuis fossem orientados da mesma maneira, a colagem dos segmentos opostos daria um toro . Se, ao contrário, os dois segmentos vermelhos fossem orientados na direção oposta como os dois segmentos azuis, a colagem dos segmentos opostos daria um plano projetivo .

Método de construção alternativo

A garrafa de Klein também pode ser obtida colando duas fitas Möbius ao longo de suas bordas. De forma equivalente, a garrafa de Klein é a soma conectada de dois planos projetivos .

Damos a nós mesmos duas cópias desse quadrado e obtemos duas cópias da fita de Möbius, desta vez identificando primeiro de acordo com as setas azuis. Cada uma dessas fitas tem então apenas uma borda: os lados verticais vermelhos que foram conectados após a identificação anterior; Colar novamente as duas fitas ao longo de suas bordas pode então ser considerado como equivalente a colar novamente a borda direita do segundo quadrado à borda esquerda do primeiro e vice-versa. Podemos ver facilmente que então encontramos o cilindro, mas com a identificação das bordas azuis já realizada, ou seja, a garrafa de Klein.

Talvez seja mais fácil ver que uma garrafa de Klein cortada ao meio verticalmente fornece de fato duas fitas Möbius.

Visualização

É possível compreender a estrutura da garrafa de Klein a partir da representação fornecida neste artigo, e ao custo de menos esforço intelectual do que se possa imaginar.

Imagine um indivíduo vivendo em um mundo plano e bidimensional. Em seguida, tentamos explicar ao indivíduo o que é um nó. Para fazer isso, desenhamos um nó no plano: ele vê apenas uma curva que se auto-intersecciona. Ele é então explicado que não são pontos de intersecção que ele vê, mas que a curva passa "acima" e "abaixo". Nosso indivíduo fica surpreso: vivendo em um mundo plano, ele não entende o que está em cima ou embaixo. Falta uma dimensão (o topo e o fundo) para poder visualizar o nó.

Encontramos o mesmo problema quando tentamos visualizar a garrafa de Klein, pois estamos vendo uma superfície que se auto-intersecciona. No entanto, se raciocinarmos com uma quarta dimensão, basta imaginar que neste lugar a garrafa passa “acima” e “abaixo” no sentido desta quarta dimensão e, portanto, não se autointercepta.

Podemos de certa forma considerar que a garrafa de Klein é uma superfície que faz um "nó". Como superfície (objeto bidimensional), são necessárias 4 dimensões para dar o nó, assim como para uma curva (objeto unidimensional) são necessárias 3 dimensões para amarrar o nó.

Parametrização

A parametrização da imersão em três dimensões da garrafa de Klein vista anteriormente é obtida da seguinte forma: é um parâmetro que acompanha o corpo da garrafa enquanto ela evolui ao longo de sua seção. $você$ $v$

${\ begin {array} {rcl} x & = & {\ frac {{\ sqrt {2}} \ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ direita) \ cos \ esquerda (v \ direita) \ esquerda (\ cos \ esquerda (u \ direita) \ esquerda (3 \ cos ^ {{2 }} \ left (u \ right) -1 \ right) -2 \ cos \ left (2u \ right) \ right)} {80 \ pi ^ {{3}} {\ sqrt {8 \ cos ^ {{2 }} \ left (2u \ right) - \ cos \ left (2u \ right) \ left (24 \ cos ^ {{3}} \ left (u \ right) -8 \ cos \ left (u \ right) + 15 \ direita) +6 \ cos ^ {{4}} \ esquerda (u \ direita) \ esquerda (1-3 \ sin ^ {{2}} \ esquerda (u \ direita) \ direita) +17}}} } - {\ frac {3 \ cos \ left (u \ right) -3} {4}} \\ y & = & - {\ frac {\ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ right) \ sin v} {60 \ pi ^ {{3}}}} \\ z & = & - {\ frac {{\ sqrt {2}} \ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ right) \ sin u \, \ cos v} {15 \ pi ^ {{3}} {\ sqrt {8 \ cos ^ {{2}} \ left (2u \ right) - \ cos \ left (2u \ right) \ left (24 \ cos ^ {{3}} \ left (u \ right) -8 \ cos \ left (u \ right) +15 \ right) +6 \ cos ^ {{4 }} \ left (u \ right) \ left (1-3 \ sin ^ {{2}} u \ right) +17}}}} + {\ frac {\ sin \ left (u \ right) \ cos ^ {{2}} \ left (u \ right) + \ sin u} {4}} - {\ frac {\ sin u \, \ cos u} {2}} \ end {array}}$

${\ text {com}} \ quad 0 \ leq u <2 \ pi \ quad {\ text {e}} \ quad 0 \ leq v <2 \ pi.$

Uma parametrização mais simples é obtida da seguinte maneira, dando uma imersão em "8" da garrafa de Klein. Consiste em fazer uma curva em forma de 8 em um plano vertical e fazer com que ela dê uma volta completa em torno do eixo Oz enquanto o próprio 8 dá uma volta em U. Esta construção é comparável à da tira de Möbius , onde o segmento giratório é substituído pelo 8. A garrafa de Klein é então formada a partir de um cilindro cuja base tem a forma de 8, sendo as duas bases opostas coladas. sua orientação.

{\ begin {array} {rcl} x & = & \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ direita) \ cos u \\ y & = & \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ sin u \ \ z & = & \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin v + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ end {array}}

Nesta imersão, a autointerseção é um círculo inscrito no plano Oxy. A constante positiva é o raio deste círculo. O parâmetro fornece o ângulo no plano Oxy e é um parâmetro que define a seção da figura na forma de 8. $r$ $você$ $v$

Propriedades

A garrafa de Klein é a soma conectada de dois planos projetivos reais .
Cortando-o em dois em relação ao seu plano de simetria, obtemos duas vezes uma tira de Möbius .
Sua característica Euler-Poincaré é zero.
Seus números de Betti diferentes de zero são b 0 = 1 e b 1 = 1.
Seu número cromático é 6.
Seu grupo fundamental (que pode ser calculado considerando-o como um complexo CW , ou como um quociente do plano ou do toro , ou como o espaço total de uma fibração em círculos no círculo) é o produto semi-direto de ℤ por si só dado pela apresentação〈a , b | aba −1 b〉.
De acordo com o teorema de Hurewicz , seu primeiro grupo de homologia é o abelianizado . É, portanto, o produto direto ℤ × ℤ 2 .
O frasco de Klein possui um revestimento orientável com duas camadas, difeomórfico ao toro.

Na cultura popular e na arte

A garrafa de Klein é tema de um capítulo ( XII ) em La Potière jalouse de Claude Lévi-Strauss (edição Plon de 1985): interpretações psicanalíticas e campo semântico dos orifícios corporais.
Um dos lemas dos shadoks ( “se não há solução, não há problema” ) inclui uma garrafa de Klein em sua ilustração, simboliza um problema que não pode ser resolvido.
No cartoon Futurama , uma marca de cerveja, " Klein's Beer ", é vendida em garrafas Klein.
No videogame NetHack , tentar derramar uma poção em si mesmo produz a seguinte mensagem: “ Isso é uma garrafa de poção, não uma garrafa de Klein! " ( " É uma garrafa de poção, não uma garrafa de Klein! " )
No jogo Magic: The Gathering , uma carta é chamada de “ Elkin Bottle ” (Ice Age, 1995) em homenagem a Richard Garfield , inventor do jogo e matemático de sua profissão. Os designers mudaram o nome, "Elkin" sendo um anagrama de "Klein".
No museu Quai Branly , a imagem da garrafa de Klein foi explicitamente mencionada em um painel para explicar a visão da sexualidade nas chamadas civilizações primitivas. O homem perfeito é visto como um indivíduo cujas partes reprodutivas se fundem com o interior da boca, de modo que esse homem não tem nem dentro nem fora. Para apoiar a palestra, o visitante pôde perceber a presença da garrafa de vidro de Klein (ver foto ao lado). Este sinal não é mais visível no museu no momento.
No romance Le Sixième Sommeil de Bernard Werber , a garrafa de Klein é uma das formas de o herói Jacques Klein entrar em uma nova dimensão do sono.
Em 2014, o artista Gary Hill produziu Klein Bottle com a Imagem de sua autoria (segundo Robert Morris ) composta por uma garrafa de Klein transparente colocada sobre uma base na qual é projetado um vídeo referente ao título.
Na instalação Bonbons très bon de 1993, o artista francês Fabrice Hybert incorporou uma garrafa de vidro Klein, parte da qual assume o formato de um estômago.
Na sexta parte do mangá JoJo's Bizarre Adventure , Stone Ocean , o antagonista Enrico Pucci se refere à garrafa de Klein e à fita Möbius .
Nomeado uma vez por Ritsuko Akagi, o chefe científico da NERV, no episódio 20 de Neon Genesis Evangelion "Forma do coração, espelho do povo".

Notas e referências

Ian Stewart , 17 equações que mudaram o mundo , Edições Robert Laffont ,Janeiro de 2014, 416 p. ( ISBN 978-2-221-13334-7 e 2-221-13334-X , leitura online ) , p. 135.
(in) Francis Bonahon , Low-Dimensional Geometry: From Euclidean surface to Hyperbolic Knots , Providence, RI, AMS Bookstoreagosto de 2009, 384 p. ( ISBN 978-0-8218-4816-6 , apresentação online ) , p. 95.
(em) " Klein'sche Flasche " em vismath.eu (acessado em 12 de setembro de 2015 ) .
(en) Allen Hatcher , Topologia Algébrica , CUP ,2001( ISBN 978-0-521-79540-1 , leia online ).
Site da Magiccorporation .
(em) " Garrafa de Klein com a imagem de sua própria fabricação (após Robert Morris) " , em portlandartmuseum.us (acessado em 20 de dezembro de 2017 )
" Very good candies (Fabrice Hyber) - atlasmuseum " , em publicartmuseum.net (acessado em 20 de dezembro de 2017 )

Veja também

links externos

Equações de Klein e representações de garrafas
www.klein-bottle-film.com : 2010 Klein Bottle Animation : Uma viagem de carro virtual pela Klein Bottle e uma descrição original de Felix Klein - uma animação feita na Freie Universität Berlin.
Garrafa de Klein no glossário do site Publimath
Vídeo no youtube