Na topologia algébrica , a homologia singular é uma construção que permite associar um espaço topológico X a uma sequência homológica de grupos ou módulos abelianos livres . Esta associação é um invariante topológico incompleto, ou seja, se dois espaços são homeomórficos então eles têm os mesmos grupos de homologia singular em cada grau, mas o inverso é falso.
O teorema de Stokes aplicado a formas fechadas fornece integrais zero. No entanto, é baseado em uma suposição crucial de compactação. Na presença de orifícios no manifold subjacente, pode-se construir formas fechadas com integrais de aresta diferentes de zero. Por exemplo,
1-forma definida em ℝ 2 \ {(0, 0)}. Vamos verificar seu fechamento:
No entanto, sua circulação ao longo do círculo unitário é diferente de zero:
Na verdade, é o buraco na origem que impede a aplicação do teorema de Stokes. Se desenharmos o círculo em outra parte do plano, de modo que ele não rode mais a origem, a circulação de ω será cancelada. Os contornos de integração fechados e as formas diferenciais fechadas tornam assim possível medir as características topológicas da variedade subjacente.
No entanto, os contornos de integração têm uma estrutura algébrica de um grupo abeliano . Podemos adicionar dois contornos; isso significa que vamos integrar as formas em cada uma e adicionar os resultados. Por outro lado, queremos declarar nulos os contornos que integram em 0 todas as formas fechadas; pelo teorema de Stokes, esses são todos contornos que encerram um compacto. Esses contornos chamados arestas formam um subgrupo , pelo qual se pode quociente para obter a informação topológica buscada: as diferentes formas de integração das formas diferenciais fechadas.
A homologia singular abstrai esta medida algébrica das propriedades topológicas de um espaço, rompendo com as noções analíticas de variedade diferencial, forma integral e diferencial.
Antes de definir a homologia singular de um espaço topológico X , é necessário introduzir algumas definições.
Chamamos um simplex padrão Δ n de dimensão n o envelope convexo em ℝ n dos pontos e 0 , e 1 , ..., e n , onde e 0 = (0, ..., 0) e e i = (0, ..., 0, 1, 0,…, 0), sendo o 1 colocado na i- ésima posição.
Um simplex singular de dimensão N de X é um mapeamento contínuo de Δ n em X . Assim, um 0-simplex é identificado com um ponto X . Um 1-simplex é um caminho que conecta dois pontos (possivelmente confuso). Um 2-simplex é um triângulo preenchido com X (ou melhor, uma aplicação do triângulo Δ 2 em X ).
Consideramos então as somas formais de n -simplexos, ou seja, os mapas com suporte finito, definidos no conjunto de n -simplexos de X e com valores inteiros. Eles são chamados de n - strings . Por exemplo, uma string 0 é escrita na forma ∑ n P P onde n P é um número inteiro relativo para qualquer ponto P de X , a soma sendo finita. O conjunto M n de n- chains constitui um grupo abeliano livre (ou um módulo livre se nos colocarmos em um anel diferente ).
Por convenção, M - 1 = 0 .
Denotamos por ∂ 0 o mapa (nulo) de M 0 em M –1 .
Se σ é um simplex de X de dimensão n > 0, a i -ésima face orientada σ i de σ é a restrição do mapa ao simplex padrão de dimensão n - 1, envelope convexo dos pontos e 0 , ..., e i - 1 , e i + 1 ,…, e n . A aresta ∂σ de σ é por definição igual a
A aplicação da borda é estendida por linearidade às correntes. Obtemos então um morfismo ∂ n de M n em M n - 1 . A borda de uma cadeia compartilha analogias com a noção de um limite de uma parte, mas a última é uma parte de X, enquanto a borda é um objeto puramente algébrico, no qual podemos realizar operações.
Por exemplo, a aresta de um ponto de conexão 1 simplex P ao ponto Q é a cadeia 0 Q - P. A aresta de um simplex 2 com vértices P, Q, R é 1 cadeia (QR) - (PR) + (PQ), ao notar (QR) o caminho que liga Q a R, ficando restrito ao primeiro lado de Δ 2 . Observe que, se tomarmos a aresta de (QR) - (PR) + (PQ), obteremos R - Q - R + P + Q - P = 0.
De forma mais geral, é mostrado que a composição sucessiva de duas aplicações de borda é zero. Em outras palavras, ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0. Dizemos que a sequência de grupos ou módulos M n , fornecida com a borda do mapa, forma um complexo de cadeias .
Em geral, o complexo construído é "muito grande" e incalculável na prática. Por exemplo, o primeiro grupo de grau zero, é o grupo formal são, com coeficientes inteiros pontos relativos da área de estudo: é um grupo Abeliano livre de posto o cardinal dos X .
Como ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0, temos Im (∂ n + 1 ) ⊂ Ker (∂ n ) . Os elementos de Im (∂ n + 1 ) são chamados de arestas ; esses são os canais que são imagens de outro canal pelo aplicativo a bordo. Os elementos de Ker (∂ n ) são chamados de ciclos ; essas são as cadeias cuja borda é zero. Cada borda é um ciclo.
O grupo quociente ou quociente módulo Ker (∂ n ) / Im (∂ n + 1 ) é o n -simo grupo H N de homologia singular do espaço topológico X . É um invariante topológico. Assim, associamos a qualquer espaço topológico uma sequência de grupos abelianos.
Por exemplo, para dois pontos P e Q, o ciclo P - Q será considerado zero no grupo de homologia zero H 0 se for uma aresta. Simplesmente é o bordo de um caminho de P para Q. Isto é o caso, se P e Q estão no mesmo componente ligado por arcos de X .
O cálculo eficaz dos grupos de homologia H 0 , H 1 , H 2 , ... é geralmente difícil. Damos aqui os resultados mais clássicos. Uma versão simplificada da homologia singular, a homologia simplicial permite calcular os grupos de homologia de espaços topológicos que admitem uma triangulação .
A tabela a seguir fornece os grupos de homologia para alguns espaços topológicos usuais, com coeficientes, inteiros, inteiros módulo 2 ou reais.
Nome do espaço topológico | Grupos de homologia com coeficientes inteiros | Módulo 2 grupos de homologia de coeficientes inteiros | Grupos de homologia com coeficientes reais |
---|---|---|---|
Espaço euclidiano R n | H * ( R n , Z ) = 0 | H * ( R n , Z 2 ) = 0 | H * ( R n , R ) = 0 |
Esfera S n | H * ( S n , Z ) = Z [0] + Z [n] | H * ( S n , Z 2 ) = Z 2 [0] + Z 2 [n] | H * ( S n , R ) = R [0] + R [n] |
Espaço projetivo P n ( R ) | H _p ( P n R , Z ) = Z , se p = 0 ou p = n impar; Z / 2 Z se 0 <p <n + 1, 0 caso contrário | H * ( P n R , Z 2 ) = Z 2 [0] + Z 2 [1] + ... + Z 2 [n] |
Se ( X k ) é a família de componentes conectados por arcos de X então, para todo q , H q ( X ) é a soma direta de H q ( X k ). Portanto, é suficiente procurar os grupos de homologia de espaços conectados por arcos .
No caso particular de um espaço não vazio X conectado por arcos, o grupo de homologia zero H 0 ( X ) é canonicamente isomórfico a ℤ (ou a A se considerarmos os módulos em um anel A ).
DemonstraçãoA forma linear ε em Ker (∂ 0 ) = M 0 que em qualquer ponto de X associa 1 é sobrejetiva (porque X não é vazio) e desaparece sobre Im (∂ 1 ). Por outro lado, qualquer elemento c = ∑ n P P de seu kernel é uma aresta porque fixando um ponto Q de X e escolhendo, para todo P , um caminho σ P de Q para P , encontramos ∂ 1 (∑ n P σ P ) = ∑ n P ( P - Q ) = c - ε ( c ) Q = c . Concluímos com o teorema da fatoração .
No caso geral, H 0 ( X ) é o grupo Abeliano livre (ou módulo livre) no conjunto de arcos pelos componentes X conectados .
Seja X um espaço conectado por arcos. Um ciclo de 1 de X é uma cadeia de 1 com borda zero. Intuitivamente, podemos vê-lo como um caminho que se fecha, ou uma renda . A propósito, uma aresta 1 é a aresta de uma cadeia 2. Se esta aresta se divide em dois ciclos, esses dois ciclos serão considerados iguais no grupo de homologia H 1 ( X ), sendo este último o quociente do conjunto de ciclos pelo conjunto de arestas. Além disso, entende-se que é possível deformar continuamente um dos ciclos no outro, passando pela superfície da qual constituem as arestas. Então, reconhecemos a noção de homotopia . Portanto, não é surpreendente que haja uma relação entre o primeiro grupo de homotopia ou grupo fundamental de Poincaré π 1 ( X ) e o primeiro grupo de homologia H 1 . O teorema de Hurewicz afirma que a aplicação, a uma classe de homotopia de guinada associa a classe de homologia da cadeia 1 correspondente a esta guinada, é um morfismo sobrejetivo π 1 ( X ) em H 1 ( X ), cujo núcleo é o subgrupo dos comutadores de π 1 ( X ). Segue-se que H 1 ( X ) é o abelianizado de π 1 ( X ), ou seja, isomórfico a π 1 ( X ) após ter tornado comutativa a lei de composição do grupo. Por exemplo, o grupo fundamental de um espaço X em forma de 8 é o grupo livre gerado por dois elementos. Seu grupo de homologia H 1 é o grupo abeliano livre gerado por dois elementos.
Duas áreas com o mesmo tipo de homotopia (quanto mais dois espaços homeomórficos) são quase isomórficos, portanto, têm os mesmos grupos de homologia, mas o inverso não é verdadeiro: por exemplo, se G é um grupo perfeito não trivial , homologia do espaço de Eilenberg-MacLane K ( G , 1) é o mesmo do ponto, mas não seu grupo fundamental.
O n- ésimo número de Betti b n no espaço X é a classificação (en) de seu n- ésimo grupo de homologia H n . (Quando este grupo é do tipo finito , é o número de geradores do grupo abeliano livre obtido pelo quociente de H n por seu subgrupo de torção , formado por seus elementos de ordem finita.)
Em seguida, definimos a característica de Euler de X como sendo igual a:
se essa soma faz sentido.
No caso de um espaço X construído a partir de um 0 pontos, ligado por um 1 caminhos, ligados por um 2 caras, etc. (consulte " Homologia celular " e " Complexo CW " para uma descrição mais completa), mostramos que:
Por fim, mencionemos que os métodos inspirados na homologia singular são aplicados na geometria algébrica , no âmbito das teorias homotópicas dos diagramas ( fr ) . Eles visam definir uma cohomologia motívica e têm repercussões espetaculares na aritmética .