Homologia celular

Na matemática e mais precisamente na topologia algébrica , a homologia celular é uma teoria da homologia dos complexos CW . Ele coincide com sua homologia singular e fornece um meio de cálculo.

Definição

Se X é um CW-complexo de n- esqueleto X n , os módulos de homologia célula são definidos como os homologia grupos da célula complexo cadeia

\ ldots \ para H _ {{n + 1}} (X _ {{n + 1}}, X_ {n}) \ para H_ {n} (X_ {n}, X _ {{n-1}} ) \ para H _ {{n-1}} (X _ {{n-1}}, X _ {{n-2}}) \ para \ ldots

O grupo

H_ {n} (X_ {n}, X _ {{n-1}})

é o grupo abeliano livre cujos geradores são n -cellules de X . Para tal célula- n ou a aplicação de colagem e considerar as aplicações feitas $e_ {n} ^ {{\ alpha}}$ $\ chi _ {n} ^ {\ alpha}: \ partial e_ {n} ^ {\ alpha} \ simeq S ^ {{n-1}} \ to X _ {{n-1}}$

\ chi _ {n} ^ {{\ alpha \ beta}}: S ^ {{n-1}} \ para X _ {{n-1}} \ para X _ {{n-1}} / (X _ {{n-1}} \ setminus e _ {{n-1}} ^ {\ beta}) \ simeq S ^ {{n-1}}

onde é uma ( n - 1) -célula de X e o segundo mapa é o mapa de quociente que consiste em identificar em um ponto. $e _ {{n-1}} ^ {\ beta}$ $X _ {{n-1}} \ setminus e _ {{n-1}} ^ {{\ beta}}$

O aplicativo a bordo

d_ {n}: H_ {n} (X_ {n}, X _ {{n-1}}) \ a H _ {{n-1}} (X _ {{n-1}}, X _ { {n-2}})

é então dado pela fórmula

d_ {n} (e_ {n} ^ {\ alpha}) = \ sum _ {\ beta} \ deg (\ chi _ {n} ^ {{\ alpha \ beta}}) e _ {{n-1} } ^ {\ beta}

onde é o grau de e a soma é tomada por todas as ( n - 1) -células de X , consideradas como geradoras de . $\ deg (\ chi _ {n} ^ {{\ alpha \ beta}})$ $\ chi _ {n} ^ {{\ alpha \ beta}}$ $H _ {{n-1}} (X _ {{n-1}}, X _ {{n-2}})$

Outras propriedades

Vemos, a partir do complexo de cadeias celulares, que o n- esqueleto determina toda a homologia de dimensão inferior:

\ forall k <n, \ quad H_ {k} (X) \ simeq H_ {k} (X_ {n}).

Uma consequência importante do ponto de vista celular é que se um complexo CW não possui células de dimensões consecutivas, então todos os seus módulos de homologia estão livres . Por exemplo, o complexo espaço projetivo ℂℙ n tem uma estrutura celular com uma célula em cada dimensão par, então

\ forall k \ in [0, n], \ quad H _ {{2k}} ({\ mathbb {CP}} ^ {n}; \ mathbb {Z}) \ simeq \ mathbb {Z} ~ {\ text {e}} ~ H _ {{2k + 1}} ({\ mathbb {CP}} ^ {n}) = 0.

Generalização

A sequência espectral Atiyah-Hirzebruch (en) é o método analógico de cálculo da homologia (ou cohomologia) de um complexo CW, uma teoria para homologia generalizada (co-) arbitrária.

Característica de Euler

A característica de Euler de um complexo CW X de dimensão n é definida por

\ chi (X) = \ sum _ {{j = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}

onde c j é o número de j -cellules de X .

É um invariante de homotopia . Na verdade, pode ser expresso em termos dos números de Betti de X :

{\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ operatorname {rank} H_ {j} (X)}

. Demonstração

${\ displaystyle H _ {*} (X)}$ é a homologia de um complexo de grupos abelianos

{\ displaystyle 0 \ xrightarrow {d_ {n + 1}} \ mathbb {Z} ^ {c_ {n}} \ xrightarrow {d_ {n}} \ mathbb {Z} ^ {c_ {n-1}} \ para \ dots \ to \ mathbb {Z} ^ {c_ {1}} \ xrightarrow {d_ {1}} \ mathbb {Z} ^ {c_ {0}} \ xrightarrow {d_ {0}} 0}

quer dizer que , ou portanto ${\ displaystyle H_ {j} (X) = \ ker d_ {j} / \ operatorname {im} d_ {j + 1}}$ ${\ displaystyle c_ {j} = \ operatorname {rang} \ operatorname {im} d_ {j} + \ operatorname {rang} \ ker d_ {j}}$

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ operatorname {rang} H_ {j} (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ left (\ operatorname {rang} \ ker d_ {j} - \ operatorname {rang} \ operatorname {im} d_ {j + 1} \ right) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}}$ .

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Homologia celular " ( ver a lista de autores ) .

(in) Allen Hatcher , Algebraic Topology , New York, UPC ,2001, xii + 544 pág. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , leia online ), Th. 2,35.
Hatcher 2001 , p. 146-147, Prova de 2,44.

Bibliografia

(pt) Albrecht Dold , Lectures on Algebraic Topology , Springer ,1995, 2 nd ed. , 379 p. ( ISBN 978-3-540-58660-9 , leia online )