Em matemática , e mais precisamente em álgebra geral , uma lei composição interna sobre um conjunto S é dito ser conmutativo quando, para todos os x e y em S ,
.Os exemplos mais simples de leis comutativas são, sem dúvida, a adição e a multiplicação de números naturais . A adição e multiplicação de números reais e complexos , adição de vetores , interseção e união de conjuntos também são leis comutativas.
Por outro lado, subtração , divisão , multiplicação de matrizes , composição de mapas e multiplicação de quatérnios são leis não comutativas.
Alguns escritos antigos usam implicitamente as propriedades da comutatividade. Os egípcios usavam a comutatividade da multiplicação para simplificar os cálculos dos produtos. Euclides , em seus Elementos , também assumiu a comutatividade da multiplicação. A definição formal de comutativa surgiram no final do XVIII th e início do XIX ° século, quando os matemáticos começaram a construir uma teoria de funções. Hoje, a propriedade da comutatividade é considerada uma propriedade básica, usada na maioria dos ramos da matemática.
A primeira aparição do termo “comutativo” remonta a um artigo nos Annales de Gergonne escrito por François-Joseph Servois em 1814, onde estudou as propriedades das funções que comutam entre eles (por composição ). O termo lei comutativa (em inglês) apareceu então em 1838 da pena de Duncan Farquharson Gregory , em um artigo intitulado “Sobre a natureza real da álgebra simbólica” publicado em 1840 no Transactions of the Royal Society of Edinburgh .
As seguintes estruturas têm o ponto comum de serem descritas pelos dados de uma ou mais leis internas cuja comutatividade é exigida:
Seja S um conjunto dotado de uma lei de composição interna . Dois elementos de x e y de S são referidos como sendo permutáveis quando:
.Nós também dizer que x e y trajeto .
Assim, é comutativo se e somente se quaisquer dois elementos de S são sempre permutáveis.