Anticomutatividade
Em matemática , anticomutatividade é a propriedade que caracteriza as operações para as quais a inversão de dois argumentos transforma o resultado em seu oposto . Por exemplo, uma operação binária ✻ é anticomutativa se
.
Esta propriedade entra em jogo na álgebra , geometria , análise e, conseqüentemente, na física .
Definição
Dado um número natural n , uma operação n - ária é considerada anticommutativa se a inversão de dois argumentos transformar o resultado em seu oposto.
Mais formalmente, um mapa do conjunto de todas as n- duplas de elementos de um conjunto A em um grupo G é considerado anticommutativo se para qualquer permutação σ do conjunto {1, 2, ..., n } , nós em:
,
onde sgn ( σ ) denota a assinatura de σ .
Esta fórmula deve ser interpretada da seguinte forma:
- se duas n -uples são deduzidas uma da outra por uma permutação ímpar, então suas imagens são simétricas entre si no grupo G ;
- se duas n tuplas são deduzidas uma da outra por uma permutação, então elas têm a mesma imagem.
A fórmula, portanto, envolve um abuso de notação, uma vez que, a priori , o conjunto de chegada G é apenas um grupo, no qual “–1” e a multiplicação não têm significado preciso. No grupo G , observado aqui aditivamente, (–1) g representa o simétrico (ou oposto ) - g de um elemento g .
O caso n = 2 é particularmente importante. Uma operação binária é anti-comutação se
,
o que significa que x 1 ✻ x 2 é o elemento inversa de x 2 ✻ x 1 no grupo L .
Exemplos
- São anti-comutação:
- a subtração ;
- o produto vetorial ;
- o gancho de mentira .
- Uma aplicação multilinear anti- comutação é considerada anti- simétrica .
Propriedade
Se o grupo G é tal que
,
ou seja, se o elemento neutro for o único elemento igual ao seu simétrico, então:
- para qualquer operação binária anticomutativa ✻ e qualquer elemento x 1 , temos:
- mais geralmente, para qualquer operação anticomutativa n- ar ary, a imagem de qualquer n- uplet compreendendo uma repetição ( ou seja, tal que para pelo menos dois índices distintos i e j ) é igual ao elemento neutro:
![{\ displaystyle [\ exists i \ neq j \ quad x_ {i} = x_ {j}] \ Rightarrow x_ {1} * x_ {2} * \ dots * x_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bce260788ff4cea0f26029df49516ff1000eb2)
Esta propriedade é mais conhecida no caso particular de um mapa n- linear antissimétrico ( E e F sendo espaços vetoriais no mesmo campo K ): se a característica de K é diferente de 2, então o único vetor de F igual ao seu oposto é o vetor zero, então f é alternativo .
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
N. Bourbaki , Elements of mathematics , Algebra, cap. 1-3 , Berlim, Springer Verlag ,2006, 2 nd ed. , 636 p. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , aviso BnF n o FRBNF40227395 ), veja o cap. 3: " tensor álgebra , álgebra exterior , álgebra simétrica ."
Link externo
(pt) AT Gainov , "Anti-commutative algebra" , em Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online )