Equações de Bloch

Em física e química, especialmente em ressonância magnética nuclear (NMR) , em imagem por ressonância magnética (MRI) e em ressonância paramagnética eletrônica (EPR) , as equações de Bloch são um conjunto de equações macroscópicas usadas para calcular l ' magnetização nuclear M = ( M x , M y , M z ) em função do tempo quando os tempos de relaxação T 1 e T 2 estão presentes. As equações de Bloch são às vezes chamadas de equações de movimento de magnetização nuclear. Essas equações foram introduzidas por Félix Bloch em 1946 e são análogas às equações de Maxwell-Bloch que descrevem o efeito de um campo eletromagnético em um sistema de dois níveis e os relaxamentos que podem ser observados lá.

Essas equações não são microscópicas : não descrevem a equação do movimento de momentos magnéticos individuais. Eles são governados e descritos pelas leis da mecânica quântica . As equações de Bloch são macroscópicas : elas descrevem as equações de movimento da magnetização nuclear macroscópica que podem ser obtidas adicionando todos os momentos magnéticos nucleares da amostra.

Equações de Bloch em um referencial fixo

Seja M (t) = (M x (t), M y (t), M z (t)) , a magnetização nuclear. As equações de Bloch são então escritas:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x} - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y} - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z} - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

onde γ é a razão giromagnética e B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) é o campo magnético imposto aos núcleos atômicos. O componente z do campo magnético B consiste em dois termos:

o primeiro, B 0 , correspondendo a um campo constante ao longo do tempo;
o segundo, ΔB z (t) , pode ser dependente do tempo. Está presente na ressonância magnética e auxilia na decodificação espacial do sinal de NMR.

M (t) × B (t) é o produto vetorial desses dois vetores. M 0 é o estado de equilíbrio da magnetização nuclear, ele é orientado na direção z.

Conteúdo físico

Quando T 1 e T 2 tendem ao infinito, ou seja, quando não há relaxamento, as equações se reduzem a:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z}}

ou em notação vetorial:

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M} (t)} {dt}} = \ gamma \ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)}

Esta é a equação da precessão de Larmor da magnetização nuclear M em um campo magnético externo B .

As equações de Bloch são então as equações de Larmor às quais adicionamos os seguintes termos de relaxamento:

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {M_ {x}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {y}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \ right)}

A relaxação transversal é descrita pelo tempo característico T 2 e de forma semelhante o relaxamento longitudinal pelo tempo t 1 .

Esses termos traduzem interações com o ambiente externo, relaxamento longitudinal ( T 1 ) ou relaxamento spin-reticulado é o resultado de trocas entre os spins e o ambiente circundante para transferir o excesso de energia fornecido pelo campo magnético e, portanto, retornar ao equilíbrio termodinâmico. Transversal relaxamento ( T 2 ), ou mesmo spin-spin de relaxamento corresponde à mudança de fase gradual de todos os giros do material proveniente de inomogeneidades locais do campo magnético. Essas heterogeneidades implicam em pequenas diferenças na freqüência de Larmor. Na verdade, na ausência de relaxamento, os momentos estão em precessão coerente em torno do campo magnético e ocorre então uma magnetização transversal. Como a magnetização é a soma de todos os momentos magnéticos, sua descoerência progressiva resulta em um valor médio da componente transversal que tende a se cancelar.

Formas alternativas das equações de Bloch

A expansão do produto vetorial nas equações de Bloch leva a:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {y} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {y } (t) \ direita) - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {z} (t) B_ {x} (t) -M_ {x} (t) B_ {z } (t) \ direita) - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {x} (t) B_ {y} (t) -M_ {y} (t) B_ {x } (t) \ direita) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

Veremos mais tarde que esta fórmula é simplificada colocando:

{\ displaystyle M_ {xy} = M_ {x} + iM_ {y}}

{\ displaystyle B_ {xy} = B_ {x} + iB_ {y}}

onde i é a unidade imaginária.

Nós obtemos :

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ direita) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M_ {xy} (t) {\ overline {B_ {xy} (t)}} - {\ overline {M_ {xy} (t)}} B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ { 1}}}}

Tal como :

{\ displaystyle {\ overline {M_ {xy}}} = M_ {x} -iM_ {y}}

{\ displaystyle {\ overline {B_ {xy}}} = B_ {x} -iB_ {y}}

Essas quantidades são os números complexos conjugados de M xy e B xy . As partes reais e imaginárias de M xy correspondem a M x e M y respectivamente. M xy é algumas vezes referido como magnetização nuclear transversal .

Forma matricial das equações de Bloch

As equações de Bloch podem ser retrabalhadas usando uma definição equivalente do produto vetorial a ser escrito em notação de matriz:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {z} & - \ gamma B_ {y} \\ - \ gamma B_ {z } & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {x} \\\ gamma B_ {y} & - \ gamma B_ {x} & - {\ frac {1} {T_ { 1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}

Equações de Bloch no referencial rotativo

Em uma moldura rotativa, é mais fácil de entender o comportamento da magnetização nuclear M .

Solução das equações de Bloch com T 1 , T 2 → ∞

Suponha que :

em t = 0, a magnetização nuclear transversal M xy (0) sofre um campo magnético constante B ( t ) = (0, 0, B 0 );
B 0 é positivo;
não há relaxamento longitudinal ou transversal desde que T 1 e T 2 tende para o infinito.

As equações de Bloch então se tornam:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma M_ {xy} (t) B_ {0}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = 0}

Estas são duas equações diferenciais lineares desacopladas . Suas soluções são:

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {0} t}}

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} = {\ text {const}} \,}

Assim, a magnetização transversal, M xy gira em torno do eixo z com a frequência angular ω 0 = γ B 0 no sentido horário (esta é a razão para o sinal negativo no expoente). A magnetização longitudinal M z permanece constante ao longo do tempo. É também por isso que a magnetização transversal aparece para um observador no referencial terrestre (visto por um observador estacionário ).

M xy ( t ) pode ser decomposto nas quantidades observáveis M x ( t ) e M y (t) :

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {z0} t} = M_ {xy} (0) \ left [\ cos (\ omega _ {0 } t) -i \ sin (\ omega _ {0} t) \ right]}

Nós temos :

{\ displaystyle M_ {x} (t) = {\ text {Re}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = M_ {xy} (0) \ cos (\ omega _ {0} t) }

{\ displaystyle M_ {y} (t) = {\ text {Im}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = - M_ {xy} (0) \ sin (\ omega _ {0} t )}

onde Re ( z ) e Im ( z ) são funções que fornecem respectivamente a parte real e imaginária do número complexo z. Neste cálculo, foi assumido que M xy (0) é um número real.

Transformação em um quadro rotativo de referência

Esta é a conclusão da parte anterior: em um campo magnético constante B 0 ao longo do eixo z , a magnetização transversal M xy gira em torno desse eixo no sentido horário com a frequência angular ω 0 . Se o observador girasse em torno do mesmo eixo na mesma direção e com frequência angular Ω, M xy pareceria a ele girando com frequência angular ω 0 - Ω. Mais particularmente, se o observador girasse em torno do mesmo eixo no sentido horário com a frequência angular ω 0 , a magnetização transversal M xy parecer-lhe-ia estacionária.

Isso pode ser expresso matematicamente da seguinte forma:

(x, y, z) é o sistema de coordenadas cartesianas terrestre definido como um quadro de referência;
(x ′, y ′, z ′) = (x ′, y ′, z) é um sistema de coordenadas cartesianas que gira em torno do eixo z do referencial terrestre com a frequência angular Ω. É denominado quadro de referência rotativo . Variáveis físicas neste repositório são denotadas por um apóstrofo.

Claramente :

{\ displaystyle M_ {z} '(t) = M_ {z} (t) \,}

Para M xy ′ ( t ) a transformação é escrita:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \,}

Equação do movimento da magnetização no referencial rotativo

A equação do movimento de M xy ′ ( t ) em um campo B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) é:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM '_ {xy} (t)} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy}' (t) - i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy} '(t) + i \ gamma B_ {xy}' (t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy} '( t)} {T_ {2}}} \\\ fim {alinhado}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy} (t)}} - {\ overline {M '_ {xy} (t)}} B' _ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) - M_ {0}} {T_ {1}}}}

Demonstração

Obtemos a equação de evolução simplesmente derivando a quantidade M ' xy em relação ao tempo :

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = {\ frac {d \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right)} { dt}} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t)}

Ao injetar a equação de Bloch:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) B_ {z} ( t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}} \ right] e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} B_ {z} (t ) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t}} {T_ {2}}} \ right] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) B_ {z} '(t) - M_ {z} '(t) B_ {xy}' (t) \ direita) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2} }} \\\ end {alinhado}}}

A hipótese da parte anterior era que: B z ′ ( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t ). Podemos, portanto, continuar escrevendo:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) (B_ {0} + \ Delta B_ {z} (t)) - M_ {z} (t) B_ {xy} '(t) \ direita) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} ' (t)} {T_ {2}}} \\ & = - i \ gamma B_ {0} M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' ( t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ { 2}}} \\ & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' (t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}} \\\ end {alinhado}}}

O mesmo vale para a equação de M z .

Explicação dos termos à direita desta equação:

i (Ω - ω 0 ) M xy ′ ( t ) segue o termo de Larmor no referencial rotativo com a frequência angular Ω. É cancelado em particular quando Ω = ω 0 ;
o termo -i γ Δ B z ( t ) M xy ′ ( t ) descreve o efeito da não homogeneidade do campo magnético na magnetização nuclear transversal. É também o termo que corresponde aos usos de RMN durante uma ressonância magnética: é produzido pelas bobinas de gradiente de campo magnético;
i γ Δ B xy ′ ( t ) M z ( t ) descreve o efeito do campo de radiofrequência na magnetização nuclear (o fator Δ B xy ′ ( t ) mais particularmente);
- M xy ′ ( t ) / T 2 descreve a perda de coerência da magnetização transversal.

Equações independentes do tempo no quadro de referência rotativo

Se o campo externo tiver o formato:

{\ displaystyle B_ {x} (t) = B_ {1} \ cos \ omega t}

{\ displaystyle B_ {y} (t) = - B_ {1} \ sin \ omega t}

{\ displaystyle B_ {z} (t) = B_ {0}}

Podemos então definir:

{\ displaystyle \ epsilon = \ gamma B_ {1}}

e ,

{\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {0}}

As equações são então escritas simplesmente em notação matricial:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ begin {array} {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end { array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ Delta & 0 \\ - \ Delta & - {\ frac {1 } {T_ {2}}} & \ epsilon \\ 0 & - \ epsilon & - {\ frac {1} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array } {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \ \ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}

Demonstração

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} B_ {xy} '(t) & = B_ {1} (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t) e ^ {i \ Omega t} = B_ {1} e ^ {i (\ Omega - \ omega) t} \\ {\ frac {dM '_ {z}} {dt}} & = i {\ frac {\ gamma} {2}} B_ {1} (M_ {xy } 'e ^ {i (\ omega - \ Omega) t} - {\ overline {M_ {xy}'}} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t}) - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ & = - \ gamma B_ {1} M '_ {y} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} - {\ frac { M_ {z} -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ {\ frac {dM '_ {xy}} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {xy} + i \ gamma B_ {1} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} M_ {z} - {\ frac {M '_ {xy}} {T_ {2}}} \ \\ end {alinhado}}}

Como e podemos separar a equação de movimento de M ' xy em duas equações, uma para a parte real e outra para a parte imaginária que identificamos em ambos os lados da igualdade. Isto dá : ${\ displaystyle M '_ {x} = {\ text {Re}} (M' _ {xy})}$ ${\ displaystyle M '_ {y} = {\ text {Im}} (M' _ {xy})}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM '_ {x}} {dt}} & = (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {y} + \ gamma B_ {1} \ sin ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac {M '_ {x}} {T_ {2}}} \\ {\ frac {dM' _ {y}} {dt }} & = - (\ Omega - \ omega _ {0}) M '_ {x} + \ gamma B_ {1} \ cos ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac { M '_ {y}} {T_ {2}}} \\\ end {alinhado}}}

Com a condição , encontramos a formulação anunciada de tal forma que não há mais nenhuma dependência explícita com respeito ao tempo. ${\ displaystyle \ Omega = \ omega}$

Soluções simples das equações de Bloch

Relaxamento da magnetização nuclear transversal M xy

Assumindo que :

a magnetização nuclear é exposta a um campo magnético externo constante na direção z: B z ′ (t) = B z (t) = B 0 . Assim, ω 0 = γB 0 e ΔB z (t) = 0 ' ;
não há campo de radiofrequência, então temos B xy ' = 0;
a rotação do referencial rotativo está na frequência angular Ω = ω 0 .

No sistema de referência rotativo, a equação do movimento para a magnetização nuclear transversal, M xy '(t) é reduzida a:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}}}

É uma equação diferencial ordinária linear e sua solução é:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy}' (0) e ^ {- t / T_ {2}}}

onde M xy ' (0) é a magnetização nuclear transversal no referencial rotativo no tempo t = 0 . Constitui a condição inicial da equação diferencial.

Deve-se notar que quando a rotação do referencial rotativo está exatamente na freqüência de Larmor ω 0 , o vetor de magnetização nuclear transversal M xy (t) é estacionário.

Relaxamento da magnetização nuclear longitudinal M z

Assumindo que :

a magnetização nuclear é exposta a um campo magnético externo constante na direção z: B z ′ (t) = B z (t) = B 0 . Assim, ω 0 = γB 0 e ΔB z (t) = 0 ' ;
não há campo de radiofrequência, então temos B xy '= 0 ;
a rotação do sistema rotativo está na frequência angular Ω = ω 0 .

No referencial rotativo, a equação de movimento para a magnetização nuclear longitudinal M z (t) é simplificada para:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

É uma equação diferencial ordinária linear e sua solução é:

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} - [M_ {0} -M_ {z} (0)] e ^ {- t / T_ {1}}}

onde M z (0) é a magnetização nuclear longitudinal no referencial rotativo no tempo t = 0. Esta é a condição inicial para a equação diferencial.

Pulsos de 90 ° e 180 ° no campo de radiofrequência

Comumente, pulsos a 90 ° e 180 ° no campo de radiofrequência são usados em NMR. O efeito desses pulsos na magnetização é mostrado na imagem a seguir:

As premissas anteriores são modificadas pela adição de um campo de radiofrequência B 1 , como:

em t = 0, um pulso de radiofrequência de amplitude e frequência constantes ω 0 é aplicado. Temos B ' xy (t) = B' xy constante e τ a duração desse pulso;
T 1 e T 2 → ∞. Na prática, isso significa que τ é pequeno em comparação com T 1 e T 2 .

Então, para 0 ≤ t ≤ τ:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = i \ gamma B_ {xy}' M_ {z} (t) \ end {alinhado}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy}}} - {\ overline {M '_ {xy}}} (t) B' _ {xy} \ right)}

Com o tempo, a magnetização tende a retornar ao estado de equilíbrio. Os diferentes componentes se comportam da seguinte forma:

Veja também

A difusão MRI usa uma generalização das equações de Bloch: as equações de Bloch-Torrey , que incluem termos adicionados devido à transferência da magnetização por difusão.

Bibliografia

Trabalho

Charles Kittel , Introdução à Física do Estado Sólido , cap. 13 , John Wiley & Sons, 8 th ed. , 2004 ( ISBN 978-0-471-41526-8 ) .
Claude Le Sech e Christian Ngô, Nuclear Physics: From quarks to applications , Dunod, Paris, 2010 ( ISBN 978-2-10-055331-0 ) .
Jean-Philippe Grivet, Métodos numéricos aplicados para cientistas e engenheiros , cap. 13 , Resolvendo as equações de Bloch , EDP Sciences, col. “Ciências Grenoble”, 2 nd ed. ,Abril de 2013( ISBN 9782759808298 ) .

links externos

Simulação de Bloch animado do Centro Dinamarquês de Pesquisa de Ressonância Magnética

Referências

F. Bloch , Nuclear Induction , Physical Review , 70, 4604-73, 1946
Jacques Pescia, " O relaxamento dos spins eletrônicos com a rede (teoria elementar e métodos de medição do tempo T1) ", Journal de Physique ,Novembro a dezembro de 1966, p. 782-800 ( ler online )
" Princípio de NMR: fenômenos de relaxamento " (acessado em 25 de abril de 2018 )
(in) " equações de Bloch " em Perguntas e Respostas em MRI (acessada 1 st maio 2018 )
" Curso de Ressonância Magnética Nuclear ENS Lyon " , em ens-lyon.fr ,1 r agosto 2014(acessado em 30 de abril de 2018 )
HC Torrey , “ Bloch Equations with Diffusion Terms ”, Physical Review , vol. 104, n o 3, 1956, p. 563-565 ( DOI 10.1103 / PhysRev.104.563 , Bibcode 1956PhRv..104..563T )