Equações de operadores de telégrafo
As equações do telégrafo são um sistema de duas equações diferenciais parciais que descrevem a evolução da tensão e da corrente em uma linha de força em função da distância e do tempo.
Oliver Heaviside projetou o modelo de linhas de força na década de 1880 que leva a essas equações. Ela se aplica a qualquer linha elétrica e para qualquer frequência e abrange os fenômenos de transmissão e reflexão sobre uma linha de transmissão , se ele é usado para o telégrafo , o telefone ou qualquer outro uso, bem como para as linhas de distribuição da rede elétrica .
Equações
Formulação básica
Uma porção infinitesimal de uma linha elétrica pode ser representada por um quadrupolo onde:
- a resistência linear (por unidade de comprimento) do condutor é representada por uma resistência em série (expressa em ohms por unidade de comprimento);R{\ displaystyle R}
![R](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
- a indutância por unidade de comprimento é representada por uma bobina ( henrys por unidade de comprimento);eu{\ displaystyle L}
![eu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)
- a capacitância linear entre os dois condutores é representada por um capacitor shunt C ( farads por unidade de comprimento);VS{\ displaystyle C}
![VS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
- a condutância linear do meio dielétrico separando os dois condutores ( siemens por unidade de comprimento). O diagrama elétrico do modelo representa esta condutância por um valor de resistência paralela de ohms.G{\ displaystyle G}
1/G{\ displaystyle 1 / G}![{\ displaystyle 1 / G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f35458f37b087cd3c1f7340da90785cbe3448c)
A resistência e a condutância aumentam com a frequência e a indutância varia menos, devido ao efeito pele e, nas linhas bifilares , ao efeito de proximidade.
Dadas a tensão e a corrente em um ponto a uma distância do início da linha por vez , podemos escrever duas equações diferenciais parciais :
você(x,t){\ displaystyle U (x, t)}
eu(x,t){\ displaystyle I (x, t)}
x{\ displaystyle x}
t{\ displaystyle t}![t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
∂você∂x(x,t)=-eu∂eu∂t(x,t)-Reu(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ parcial U} {\ parcial x}} (x, t) = - L {\ frac {\ parcial I} {\ parcial t}} (x, t) -RI (x, t )}
∂eu∂x(x,t)=-VS∂você∂t(x,t)-Gvocê(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ parcial I} {\ parcial x}} (x, t) = - C {\ frac {\ parcial U} {\ parcial t}} (x, t) -GU (x, t )}
A partir desta formulação, podemos desenhar duas equações, cada uma envolvendo apenas uma variável:
∂2você∂x2(x,t)=euVS∂2você∂t2(x,t)+(RVS+Geu)∂você∂t(x,t)+GRvocê(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t) + (RC + GL) {\ frac {\ U parcial} {\ t parcial}} (x, t) + GRU (x, t)}
∂2eu∂x2(x,t)=euVS∂2eu∂t2(x,t)+(RVS+Geu)∂eu∂t(x,t)+GReu(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} I} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} I} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t) + (RC + GL) {\ frac {\ parcial I} {\ parcial t}} (x, t) + GRI (x, t)}
Condições iniciais
Essas equações devem ser completadas pela definição das condições iniciais .
Podemos, portanto, definir a tensão na extremidade inicial da linha como a de uma fonte senoidal
você(0,t)=você0pecado(2πft){\ displaystyle U (0, t) = U_ {0} \ sin (2 \ pi ft)}![{\ displaystyle U (0, t) = U_ {0} \ sin (2 \ pi ft)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe7d8737a36f9e0e2508087f91da66ee5612401)
e definir uma relação entre corrente e tensão na outra extremidade da linha localizada a uma distância eu{\ displaystyle l}
-
você(eu,t)=R′eu(eu,t){\ displaystyle U (l, t) = R'I (l, t)}
para uma linha carregada por uma resistência ,R′{\ displaystyle R '}![R '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cc152440f75fd8f842f4225a7484bb431b3343)
-
eu(eu,t)=0{\ displaystyle I (l, t) = 0}
para uma linha vazia, etc.
Linha sem perdas
Em muitos casos, as perdas resistivas podem ser desprezadas. Em seguida, definimos e . As equações são escritas:
R=0{\ displaystyle R = 0}
G=0{\ displaystyle G = 0}![{\ displaystyle G = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2141d3c1164708ef8f436aa25143234d38904f85)
∂você∂x(x,t)=-eu∂eu∂t(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ parcial U} {\ parcial x}} (x, t) = - L {\ frac {\ parcial I} {\ parcial t}} (x, t)}
∂eu∂x(x,t)=-VS∂você∂t(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ parcial I} {\ parcial x}} (x, t) = - C {\ frac {\ parcial U} {\ parcial t}} (x, t)}
Eles podem ser combinados para formar duas equações de propagação, que são equações de d'Alembert :
∂2você∂x2(x,t)=euVS∂2você∂t2(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t)}
∂2eu∂x2(x,t)=euVS∂2eu∂t2(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} I} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} I} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t)}
Caso de regime sinusoidal
Consideramos uma tensão sinusoidal complexa de pulsação e vetor de onda propagando-se ao longo do eixo :
você{\ displaystyle U}
ω{\ displaystyle \ omega}
k→{\ displaystyle {\ overrightarrow {k}}}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
∀(x,t)∈R×R+,você(x,t)=você0ej(ωt+k→.x→){\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, U (x, t) = U_ {0} e ^ {j (\ omega t + {\ overrightarrow {k}}. {\ overrightarrow {x}})}}![{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, U (x, t) = U_ {0} e ^ {j (\ omega t + {\ overrightarrow {k}}. {\ overrightarrow {x}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4404adf9a98816825bce1d16550995f2a9a7224d)
A derivada parcial de em relação ao tempo é então:
você{\ displaystyle U}![você](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
∀(x,t)∈R×R+,∂você∂t(x,t)=jωvocê(x,t){\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, {\ partial U \ over \ partial t} (x, t) = j \ omega U (x, t)}![{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, {\ partial U \ over \ partial t} (x, t) = j \ omega U (x, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf5890aa653411c63c6b1485a5883f75ecf303)
Da mesma forma, a derivada parcial de em relação a é:
você{\ displaystyle U}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
∀(x,t)∈R×R+,∂você∂x(x,t)=jkx você(x,t){\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, {\ partial U \ over \ partial x} (x, t) = jk_ {x} {\ text {}} U (x, t)}![{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, {\ partial U \ over \ partial x} (x, t) = jk_ {x} {\ text {}} U (x, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca42753daf01647c49f11920305cfcfdcc79d7a4)
Linha sem perdas
Na linha sem perdas: e , a equação da primeira onda é
R=0{\ displaystyle R = 0}
G=0{\ displaystyle G = 0}![{\ displaystyle G = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2141d3c1164708ef8f436aa25143234d38904f85)
∂2você∂x2(x,t)=euVS∂2você∂t2(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t)}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4be026bdfd9abf1a63b3b655c5e78989c75f0a7)
A solução geral desta equação de propagação é a soma de uma onda de tensão propagando-se nas crescentes e outra propagando na direção das diminuições:
vocêeu{\ displaystyle U_ {i}}
x{\ displaystyle x}
vocêr{\ displaystyle U_ {r}}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
∀(x,t)∈R2,você(x,t)=vocêeu(x,t)+vocêr(x,t){\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, U (x, t) = U_ {i} (x, t) + U_ {r} (x, t)}![{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, U (x, t) = U_ {i} (x, t) + U_ {r} (x, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeeffde18cc61c335887e8d749a9d3b2982779e2)
com
∀(x,t)∈R×R+,{vocêeu(x,t)=vocêeuej(ωt-keux)vocêr(x,t)=vocêrej(ωt+krx){\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, {\ begin {cases} U_ {i} (x, t) = U_ {i} e ^ {j (\ omega t-k_ {i} x)} \\ U_ {r} (x, t) = U_ {r} e ^ {j (\ omega t + k_ {r} x) } \ end {cases}}}![{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, {\ begin {cases} U_ {i} (x, t) = U_ {i} e ^ {j (\ omega t-k_ {i} x)} \\ U_ {r} (x, t) = U_ {r} e ^ {j (\ omega t + k_ {r} x) } \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a319372b77462b19c1278666eed5ac3528567e81)
Os índices e referem-se às ondas "incidente" e "refletida".
eu{\ displaystyle i}
r{\ displaystyle r}![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
Ao injetar a expressão das tensões e nesta equação, obtém-se:
vocêeu{\ displaystyle U_ {i}}
vocêr{\ displaystyle U_ {r}}![{\ displaystyle U_ {r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaec4ad37894dbbbf185dad9af9dcb365ab8916)
para
eu={eu,r}:keu2vocêj(x,t)=-ω2euVS vocêeu(x,t){\ displaystyle l = \ lbrace i, r \ rbrace: k_ {l} ^ {2} U_ {j} (x, t) = - \ omega ^ {2} LC {\ text {}} U_ {l} ( x, t)}
Ao simplificar por , obtemos a seguinte relação de dispersão:
vocêj(x,t){\ displaystyle U_ {j} (x, t)}![{\ displaystyle U_ {j} (x, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34858baacfc17a9dbfbacea375c5b063d4e92c43)
keu2=-ω2euVS{\ displaystyle k_ {l} ^ {2} = - \ omega ^ {2} LC}![{\ displaystyle k_ {l} ^ {2} = - \ omega ^ {2} LC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ab4dfd933e84dcfc4466db21b185c93a3220a6)
é
keu=jωeuVS{\ displaystyle k_ {l} = j \ omega {\ sqrt {LC}}}![{\ displaystyle k_ {l} = j \ omega {\ sqrt {LC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61144962a45a83102ff160091e5c87c6e0cdc5a4)
Portanto, para as ondas incidentes e refletidas, o número da onda é puro imaginário.
A constante de atenuação é zero e a constante de propagação e configuração , a expressão da tensão é:
α=ℜ(keu){\ displaystyle \ alpha = \ Re (k_ {l})}
β=ℑ(keu)=ωeuVS{\ displaystyle \ beta = \ Im (k_ {l}) = \ omega {\ sqrt {LC}}}
k=ωeuVS{\ displaystyle k = \ omega {\ sqrt {LC}}}
você{\ displaystyle U}![você](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
∀(x,t)∈R×R+,você(x,t)=vocêeuej(ωt-kx)+vocêrej(ωt+kx){\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, U (x, t) = U_ {i} e ^ {j (\ omega t-kx)} + U_ {r} e ^ {j (\ omega t + kx)}}![{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {\ text {+}}, U (x, t) = U_ {i} e ^ {j (\ omega t-kx)} + U_ {r} e ^ {j (\ omega t + kx)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e455352e3b42d9696850d20b7509f0be7fdc5eef)
Como a constante de atenuação é zero, a propagação é feita sem perdas.
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
Velocidade de propagação e impedância característica
Uma vez que se propaga na direção de aumento de xe , na direção de diminuição de x, então sua expressão é da forma
vocêeu{\ displaystyle U_ {i}}
vocêr{\ displaystyle U_ {r}}![{\ displaystyle U_ {r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaec4ad37894dbbbf185dad9af9dcb365ab8916)
{vocêeu(x,t)=vocêeu(t-xveu)vocêr(x,t)=vocêr(t+xvr){\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {i} (x, t) = U_ {i} {\ Bigl (} t- {x \ over v_ {i}} {\ Bigr)} \\ U_ {r} (x, t) = U_ {r} {\ Bigl (} t + {x \ over v_ {r}} {\ Bigr)} \ end {casos}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {i} (x, t) = U_ {i} {\ Bigl (} t- {x \ over v_ {i}} {\ Bigr)} \\ U_ {r} (x, t) = U_ {r} {\ Bigl (} t + {x \ over v_ {r}} {\ Bigr)} \ end {casos}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3986c454ab5c24e45c2dae77107b4246cbf89cf)
com
{veu,a velocidade de propagação da onda incidentevr,a velocidade de propagação da onda refletida{\ displaystyle {\ begin {cases} v_ {i}, {\ text {a velocidade de propagação da onda incidente}} \\ v_ {r}, {\ text {a velocidade de propagação da onda refletida}} \ end { casos}}}
A velocidade de propagação é a velocidade com que a fase da onda se move.
De acordo com o estudo anterior sobre as soluções da equação dos operadores telegráficos em regime senoidal sem perdas, temos:
{vocêeu(x,t)=vocêeu(t-xv)=vocêeu0 ej(ωt-kx)=vocêeu0 ejω(t-kωx)vocêr(x,t)=vocêeu(t+xv)=vocêr0 ej(ωt+kx)=vocêr0 ejω(t+kωx){\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {i} (x, t) = U_ {i} {\ Bigl (} t- {x \ over v} {\ Bigr)} = U_ {i0} \ e ^ { j (\ omega t-kx)} = U_ {i0} \ e ^ {j \ omega {\ Bigl (} t- {k \ over \ omega} x {\ Bigr)}} \\ U_ {r} (x , t) = U_ {i} {\ Bigl (} t + {x \ over v} {\ Bigr)} = U_ {r0} \ e ^ {j (\ omega t + kx)} = U_ {r0} \ e ^ {j \ omega {\ Bigl (} t + {k \ over \ omega} x {\ Bigr)}} \ end {casos}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {i} (x, t) = U_ {i} {\ Bigl (} t- {x \ over v} {\ Bigr)} = U_ {i0} \ e ^ { j (\ omega t-kx)} = U_ {i0} \ e ^ {j \ omega {\ Bigl (} t- {k \ over \ omega} x {\ Bigr)}} \\ U_ {r} (x , t) = U_ {i} {\ Bigl (} t + {x \ over v} {\ Bigr)} = U_ {r0} \ e ^ {j (\ omega t + kx)} = U_ {r0} \ e ^ {j \ omega {\ Bigl (} t + {k \ over \ omega} x {\ Bigr)}} \ end {casos}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918c106ee7ed279606f4eec60dab6046ee9f50e6)
Por identificação, temos:
veu=vr=ωk{\ displaystyle v_ {i} = v_ {r} = {\ omega \ over k}}![{\ displaystyle v_ {i} = v_ {r} = {\ omega \ over k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ed8e962dd795f38b668ad3368e291af7ca429e)
A velocidade de propagação da onda incidente e da onda refletida é, portanto, igual a e as .
v=ωk{\ displaystyle v = {\ frac {\ omega} {k}}}
keu=jωeuVS{\ displaystyle k_ {l} = j \ omega {\ sqrt {LC}}}
v=1euVS{\ displaystyle v = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}![{\ displaystyle v = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5340020701eb09a7b59fe195561f79e44611b650)
Linha vazia
Referências
-
Bernard Démoulin , Elementos sobre a teoria das linhas de transmissão: d1322 , Técnicas de engenharia ,2014( apresentação online ).
-
Pierre-Gérard Fontolliet , Sistemas de telecomunicações: Tratado de eletricidade, volume XVIII , Lausanne, Presses polytechniques et universitaire romandes,1999( leia online ) , p. 71.
-
Fontolliet 1999 , p. 69-70.
-
Comissão Eletrotécnica Internacional , “Teoria de circuitos: elementos de circuito e suas características” , em IEC 60050 International eletrotechnical vocabulary year = 2002 ( leia online ) , p. 131-12-86: Linha de transmissão.
Veja também
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">