Estado estacionário (física quântica)

Na física quântica, como no caso clássico, um estado estacionário é um estado que não evolui com o tempo. No entanto, a descrição matemática dos estados é um pouco diferente. No caso de um vetor de norma 1 em um espaço de Hilbert, pode haver uma "mudança de fase" (no sentido de multiplicação por um número complexo de módulo 1). Além disso, se for caracterizado por uma função de onda, então sua densidade de probabilidade é independente do tempo. $\ Psi (t)$ ${\ displaystyle | \ Psi (t) | ^ {2}}$

Condições suficientes

No caso de um sistema isolado (operador hamiltoniano independente do tempo), as autofunções do operador hamiltoniano são sempre estados estacionários.

Demonstração

Suponhamos em termos absolutos que a função de onda do sistema considerado depende do tempo e da posição no espaço. Vamos escrever esta função de onda . ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {x}}, t)}$

A equação de Schrödinger é: ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = i \ hbar {\ dfrac {\ partial \ psi} {\ partial t}}}$

onde é o operador hamiltoniano do sistema e é o operador de energia do sistema no esquema de Schrödinger não relativístico. ${\ Tem}}$ ${\ displaystyle {\ hat {E}} = i \ hbar {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}}}$

O operador hamiltoniano não relativístico é escrito com o operador “energia potencial” e o operador energia cinética onde é a massa do sistema considerado. ${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {T}} + {\ hat {V}} ({\ vec {x}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {V}} ({\ vec {x}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {T}} = - {\ dfrac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {{\ nabla} ^ {2}}}$ $m$

Energia total é a energia potencial adicionada à energia cinética.

No caso não perturbado, o sistema é isolado e, portanto, a energia potencial é zero porque o sistema não tem interação com o exterior. Assumimos que o operador hamiltoniano não depende do tempo. A equação de Schrödinger torna-se:

${\ displaystyle - {\ dfrac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {{\ nabla} ^ {2}} \ psi ({\ vec {x}}, t) = i \ hbar {\ dfrac {\ partial \ psi ({\ vec {x}}, t)} {\ partial t}}}$

Equalizamos as derivadas espaciais com as derivadas de tempo. Podemos, portanto, escrever a função de onda como um produto . A equação então se torna ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {x}}, t) = f ({\ vec {x}}) g (t)}$

${\ displaystyle - {\ dfrac {\ hbar ^ {2}} {2m}} g (t) {\ nabla} ^ {2} f ({\ vec {x}}) = i \ hbar f ({\ vec {x}}) {\ dfrac {\ mathrm {d} g (t)} {\ mathrm {d} t}}}$

Daí uma parte totalmente dependente do tempo. Nós deduzimos

${\ displaystyle {\ dfrac {g '(t)} {g (t)}} = {\ dfrac {i \ hbar} {2m}} {\ dfrac {\ Delta f ({\ vec {x}})} {f ({\ vec {x}})}}}$

A parte esquerda depende apenas do tempo, enquanto a parte direita depende apenas do espaço. Deduzimos que é uma constante. A equação diferencial a ser resolvida é, portanto, de primeira ordem onde é uma constante. A solução de tal equação é zero (sem juros) ou então é que a função é uma função exponencial. Colocamos e obtemos a equação . Daí a equação ${\ displaystyle {\ dfrac {g '(t)} {g (t)}}}$ ${\ displaystyle g '(t) = Kg (t)}$ $K$ $g (t)$ ${\ displaystyle g (t) = \ exp (-i {\ dfrac {E} {\ hbar}} t)}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {g '(t)} {g (t)}} = - i {\ dfrac {E} {\ hbar}}}$

${\ displaystyle {\ dfrac {i \ hbar} {2m}} {\ dfrac {\ Delta f ({\ vec {x}})} {f ({\ vec {x}})}} = - i {\ dfrac {E} {\ hbar}}}$

Deduzimos a seguinte forma:

${\ displaystyle - {\ dfrac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} \ Delta f ({\ vec {x}}) = {E} f ({\ vec {x}})}$

Onde vemos que a energia do sistema não depende do tempo.

Vamos resumir. Mostramos que, na hipótese de um hamiltoniano não dependente do tempo, a energia do sistema não é dependente do tempo. Além disso, a norma da função de onda quadrada não depende do tempo porque . ${\ displaystyle | \ psi ({\ vec {x}}, t) | ^ {2} = | f ({\ vec {x}}) | ^ {2}}$

Em particular, um autovetor de um observável que comuta com o operador hamiltoniano é um autovetor do operador hamiltoniano.

Condição exigida

Por outro lado, se depende do tempo (onde está uma família de vetores unitários), então o estado certamente não é estacionário. ${\ displaystyle \ left | <\ psi (t) | \ psi (0)> \ right |}$ ${\ displaystyle | \ psi (t)>}$