Álgebra de Poisson

Uma álgebra de Poisson é uma álgebra associativa na qual um colchete de Lie é definido, o que satisfaz a regra de Leibniz . O exemplo mais importante é dado pela álgebra de funções suaves sobre uma variedade de Poisson ou, mais particularmente, sobre uma variedade simplética . Essas álgebras foram chamadas de álgebras de Poisson em homenagem a Siméon Denis Poisson .

Definição

Poisson álgebra é uma álgebra equipado com um bilinear de em verificar as relações : ${\ displaystyle (f, g) \ mapsto {\ {f, g} \}}$ $A \ vezes A$ $NO$ ${\ displaystyle \ forall f, g, h \ in A}$

${\ displaystyle \ {f, g \} = - \ {g, f \}}$ ( antissimetria )

${\ displaystyle \ {f, \ {g, h \} \} + \ {g, \ {h, f \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} = 0}$ ) ( identidade de Jacobi )

${\ displaystyle \ {fg, h \} = f \ {g, h \} + g \ {f, h \}}$ ( Regra de Leibniz )

Subestruturas e morfismos

Uma subálgebra de Poisson de é uma subálgebra da álgebra associativa que é estável para o colchete de Poisson. $NO$ $NO$

Um ideal de Poisson é um ideal para o produto associativo, como: $eu$

${\ displaystyle \ forall f \ in A,}$ ${\ displaystyle \ forall i \ in I,}$ ${\ displaystyle {\ {i, f)} \} \ in I}$

Um morfismo de álgebra de Poisson é um morfismo de álgebra associativo que respeita o colchete de Poisson, ou seja, tal que: $\ phi$

${\ displaystyle \ forall f, g \ in A, \ \ phi (\ {f, g \}) = {\ {\ phi (f), \ phi (g)} \}}$

Observações

Uma álgebra de Poisson não é necessariamente comutativa.
Qualquer álgebra pode ser trivialmente dotada de uma estrutura de Poisson pela configuração , $NO$ ${\ displaystyle \ {f, g \} = 0}$ ${\ displaystyle \ forall f, g \ in A}$

Propriedades

Se for unitário, $NO$ ${\ displaystyle \ forall f \ in A,}$ ${\ displaystyle {\ {f, 1} \} = 0}$
O núcleo de um morfismo da álgebra de Poisson é um ideal.
Um endomorfismo de é considerado canônico se for simultaneamente uma derivação para o produto da álgebra associativa de e para seu colchete de Poisson. Para todos , o endomorfismo definido por é um endomorfismo canônico. Um endomorfismo da forma é denominado canônico. Denotamos o conjunto de endomorfismos hamiltonianos, de endomorfismos canônicos e de derivações. Então: . $NO$ $NO$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}$ $X_ {f}$ ${\ displaystyle X_ {f} (g) = {\ {f, g} \}}$ $X_ {f}$ ${\ displaystyle H (A)}$ ${\ displaystyle Can (A)}$ ${\ displaystyle Der (A)}$ ${\ displaystyle H (A) \ subseteq Can (A) \ subseteq Der (A)}$
A categoria oposta daquela das álgebras de Poisson reais (comutativas) pode ser identificada com a categoria dos sistemas mecânicos clássicos.

Exemplos

Variedades simpléticas

O principal exemplo de álgebra de Poisson é a álgebra de funções suaves com valores reais em uma variedade simplética . Não degeneração da forma 2 para identificar a tangente feixe e o co-tangente da variedade e, assim, a associar-se com o campo de vectores Hamiltoniano pela fórmula: . É então fácil verificar que define um colchete de Poisson ativado . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}$ $(M, \ omega)$ $\ómega$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ omega (X_ {f}, \ cdot) = - \ mathrm {d} f}$ ${\ displaystyle \ {f, g \} = {- \ omega} (X_ {f}, X_ {g})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}$

Álgebras associativas

Qualquer álgebra associativa é canonicamente uma álgebra de Lie para o gancho , . É um exercício fácil verificar se esse gancho satisfaz a regra de Leibniz e a identidade de Jacobi e, portanto, fornece uma estrutura de Poisson. No caso em que é comutativa, a estrutura de Lie (e portanto de Poisson) é trivial. $NO$ ${\ displaystyle [a, b] = ab-ba}$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in A}$ $NO$ $NO$

Álgebras de Lie

A álgebra tensorial de um módulo sobre um anel comutativo é associativa. No caso em que o módulo é fornecido com uma álgebra de Lie , verificamos se o colchete de mentira é elevado à álgebra tensorial e satisfaz a regra de Leibniz e a identidade de Jacobi. Assim, obtemos naturalmente uma estrutura de Poisson na álgebra tensorial de . $V$ $R$ $NO$ ${\ displaystyle T (A)}$ $NO$

Referências

André Lichnerowicz, Variedades de Poisson e suas álgebras de Lie associadas, J. Diff. Geom. 12 (1977) 253-300.
J. Poacher, Poisson Algebras, CR Acad. Sci. Paris A284 (1977), 1345-1348.
(pt) KH Landsman , álgebras de Poisson e variedades de Poisson , Longman,1988, 128 p. ( ISBN 978-0-582-01989-8 )
(pt) Tópicos matemáticos entre a mecânica clássica e quântica , Springer,1998, 529 p. ( ISBN 978-0-387-98318-9 )