Álgebra graduada

Em matemática , em álgebra linear , chamamos de álgebra graduada uma álgebra com uma estrutura adicional, chamada graduação .

Definição

Ou um uma álgebra sobre um campo (ou mais geralmente em um anel ) K . Uma graduação em A são os dados de uma família de subespaços vetoriais de A satisfazendo: (NOeu)eu∈NÃO{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}

• NO=⨁eu∈NÃONOeu{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i}} ;
• ∀eu,j∈NÃO,NOeuNOj⊂NOeu+j{\ displaystyle \ forall i, j \ in \ mathbb {N}, A_ {i} A_ {j} \ subconjunto A_ {i + j}}Quer dizer .∀[eu,j∈NÃO,x∈NOeu,y∈NOj],  x×y∈NOeu+j{\ displaystyle \ forall \ left [i, j \ in \ mathbb {N}, x \ in A_ {i}, y \ in A_ {j} \ right], \ \ x \ times y \ in A_ {i + j}}

Diz-se então que a álgebra A é graduada (às vezes ℕ-graduada, como um caso particular da noção de álgebra graduada de M para um monóide M ).

Os elementos de A i são ditos homogêneos de grau i . Diz-se que um ideal é homogêneo se, para cada elemento a que ele contém, contém também as partes homogêneas de a . Isso equivale a dizer que I é gerado por elementos homogêneos.

Qualquer anel (não classificados) Um pode ser fornecida com uma graduação em que levanta Um 0 = A e um i = 0 para todos os i > 0. Esta estrutura é chamado uma graduação trivial de um .

Um mapa f entre as álgebras graduadas A e B (no mesmo campo) é um homomorfismo de álgebras graduadas se para todos os i . f(NOeu)⊂Beu{\ displaystyle f (A_ {i}) \ subconjunto B_ {i}}

Exemplos

• O anel de polinômios em vários K indeterminados [ X 1 ,…, X n ], onde os elementos homogêneos de grau n são os polinômios homogêneos de grau n .
• A álgebra tensorial T ( V ) sobre um espaço vetorial V , onde os elementos homogêneos de grau n são os tensores da forma .v1⊗v2⊗⋯⊗vnão{\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ dots \ otimes v_ {n}}
• A álgebra simétrica S ( V ) e a álgebra externa Λ ( V ) são álgebras graduadas, os elementos homogêneos de grau n sendo as imagens dos elementos homogêneos de T ( V ). Mais geralmente, se um I ideal de uma álgebra graduada A é homogêneo, o quociente A / I é naturalmente graduado por(NO/eu)eu=NOeu/(eu∩NOeu).{\ displaystyle (A / I) _ {i} = A_ {i} / (I \ cap A_ {i}).}

Notas e referências

1. N. Bourbaki , Álgebra ( lido on-line ) , p.  III.30.

Artigo relacionado

Álgebra graduada diferencial  (en)

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