Anuidade constante

A anuidade constante é o reembolso anual de um empréstimo com juros de valor constante, que é calculado de acordo com a taxa de juros e a duração do empréstimo de acordo com uma fórmula matemática. Uma anuidade constante também pode significar, ao contrário, um pagamento em intervalos regulares da mesma quantia para um investimento escalonado.

A anuidade constante de um empréstimo

A fórmula da taxa de anuidade constante

O cálculo de uma anuidade constante paga pelo mutuário a cada ano ou cada período é expresso pela fórmula:

${\ displaystyle A = E \ times {i \ over 1- (1 + i) ^ {- n}}}$

com:

$NO$ é o valor da anuidade
$E$ é o valor do capital emprestado ou emprestado,
$eu$ é a taxa de juros
n é o número de períodos
a é a taxa de anuidade constante.

${\ displaystyle a = {\ frac {i} {1- (1 + i) ^ {- n}}}}$

Exemplo de linha do tempo

Para um empréstimo de anuidade constante de 160.000 ao longo de 5 anos a uma taxa de 1,2%:

	1 st ano	2 º ano	3 º ano	4 º ano	5 º ano
anuidades constantes	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16
depreciação	31.241,16	31.616,05	31995,45	32379,39	32767,95
interesses	1920	1545,11	1165,71	781,77	393,21

Comparação com um empréstimo de reembolso constante, onde os juros são um pouco mais baixos:

	1 st ano	2 º ano	3 º ano	4 º ano	5 º ano
anuidades	33920	33536	33152	32768	32384
depreciação constante	32000	32000	32000	32000	32000
interesses	1920	1536	1152	768	384

Demonstração da fórmula

A cada ano, o mutuário deve pagar o mesmo valor denominado anuidade constante igual a E xa se E for o valor do empréstimo e tiver a taxa de anuidade constante. Este montante é constituído por juros, por um lado, e pelo reembolso do capital, por outro. Os juros estão diminuindo a cada ano, pois são calculados sobre o que resta a ser reembolsado multiplicado por i . Portanto, os reembolsos do empréstimo vão no sentido inverso, aumentando a cada ano e o cálculo do segundo ano mostra que o fator é 1 + i :

No 1º ano o interesse é: ${\ displaystyle E \ times i}$

e, portanto, o reembolso é: ${\ displaystyle E (ai)}$

Os juros para o 2º ano são: ${\ displaystyle E {\ bigl (} 1- (ai) {\ bigr)} \ times i = E {\ bigl (} ii (ai) {\ bigr)}}$

e, portanto, o reembolso é: ${\ displaystyle E {\ bigl (} a-i + i (ai) {\ bigr)} = E (ai) (1 + i)}$

Se assumirmos que o reembolso aumenta por este mesmo fator a cada ano, então a fórmula para o reembolso R n no ano n é:

${\ displaystyle R_ {n} = E (ai) (1 + i) ^ {n-1}}$

Para ter certeza de que é sempre o mesmo fator em qualquer ano, é necessária uma prova por indução escrita abaixo. Assim, vemos aparecer uma sequência geométrica cujos termos são as amortizações sucessivas do empréstimo. Então, de fato, se R 1 é E (ai) é o reembolso do primeiro ano e se R n é aquele do último ano, então a soma R 1 + R 2 + ... + R n é igual a E o valor de o empréstimo. Então, basta aplicar a fórmula da soma de uma sequência geométrica de razão r igual a 1 + i e do primeiro termo igual a E (ai) para resolver a equação e encontrar a fórmula da taxa de anuidade constante.

Podemos fazer a demonstração rápida para o cálculo da soma desta sequência geométrica.

Se S n é a soma dos n termos, então temos:

${\ displaystyle S_ {n} = E (ai) + E (ai) (1 + i) + {\ cdots + E (ai) (1 + i) ^ {n-1}}}$

Multiplicando todos os termos por 1 + i temos:

${\ displaystyle S_ {n} (1 + i) = E (ai) (1 + i) + {\ cdots} + E (ai) (1 + i) ^ {n-1} + E (ai) (1 + i) ^ {n}}$

Ao subtrair essas duas sequências, todos os termos se cancelam, exceto o primeiro e o último:

${\ displaystyle S_ {n} (1 + i-1) = E (ai) (1 + i) ^ {n} -E (ai)}$

${\ displaystyle S_ {n} \ times i = E (ai) {\ bigl (} (1 + i) ^ {n} -1 {\ bigr)}}$

${\ displaystyle S_ {n} = E (ai) \ times {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}}$

${\ displaystyle E {\ bigl (} ai {\ bigr)} \ times {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}} = E}$

${\ displaystyle ai = {\ frac {i} {(1 + i) ^ {n} -1}}}$

${\ displaystyle a = {\ frac {i + i (1 + i) ^ {n} -i} {(1 + i) ^ {n} -1}}}$

${\ displaystyle a = {i (1 + i) ^ {n} \ over (1 + i) ^ {n} -1}}$

${\ displaystyle a = {\ frac {i (1 + i) ^ {n} (1 + i) ^ {- n}} {{\ bigl (} (1 + i) ^ {n} -1 {\ bigr )} (1 + i) ^ {- n}}}}$

${\ displaystyle a = {\ frac {i} {1- (1 + i) ^ {- n}}}}$

Suítes geométricas

A progressão geométrica é uma sequência de números (ou palavras) cujo motivo r é constante, n é o número de termos da sequência. Cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por r.

A soma dessa sequência é calculada pela fórmula multiplicada pelo primeiro termo da sequência. A prova geral pode ser encontrada na página da sequência geométrica . ${\ displaystyle {\ frac {r ^ {n} -1} {r-1}}}$

A prova por indução

Se considerarmos que a fórmula de reembolso é verdadeira na categoria p , ela ainda é verdadeira na categoria p + 1 ?

No posto p, o reembolso é: ${\ displaystyle R_ {p} = E (ai) (1 + i) ^ {p-1}}$

e a soma de tudo o que foi reembolsado é, portanto, igual a: ${\ displaystyle E (ai) \ times {\ frac {(1 + i) ^ {p} -1} {i}}}$

Na classificação p + 1, os juros serão:

${\ displaystyle E {\ biggl (} 1 - {\ frac {(ai) {\ bigl (} (1 + i) ^ {p} -1 {\ bigr)}} {i}} {\ biggr)} \ vezes i = E {\ Bigl (} i- (ai) {\ bigl (} (1 + i) ^ {p} -1 {\ bigr)} {\ Bigr)}}$

e, portanto, o reembolso do capital emprestado será E x menos esta soma é:

${\ displaystyle R_ {p + 1} = E {\ Bigl (} a-i + (ai) {\ bigl (} (1 + i) ^ {p} -1 {\ bigr)} {\ Bigr)}}$

${\ displaystyle R_ {p + 1} = E (ai) {\ bigl (} 1+ (1 + i) ^ {p} -1 {\ bigr)}}$

${\ displaystyle R_ {p + 1} = E (ai) (1 + i) ^ {p}}$

Portanto, temos o que quer que seja o ano n :

${\ displaystyle R_ {n} = E (ai) (1 + i) ^ {n-1}}$

A fórmula de reembolso

Existe outra fórmula para pagamentos sucessivos:

${\ displaystyle R_ {1} = E {\ bigl (} ai {\ bigr)} = {\ frac {A} {(1 + i) ^ {n}}}}$

${\ displaystyle R_ {2} = E {\ bigl (} ai {\ bigr)} {\ bigl (} 1 + i {\ bigr)} = {\ frac {A} {{\ bigl (} 1 + i { \ bigr)} ^ {n-1}}}}$

...

${\ displaystyle R_ {n} = E {\ bigl (} ai {\ bigr)} {\ bigl (} 1 + i {\ bigr)} ^ {n-1} = {\ frac {A} {1 + i }}}$

Para demonstrar esta segunda fórmula de reembolso, começamos a partir do ano passado, quando o reembolso R n é igual ao que resta a ser reembolsado, então temos:

${\ displaystyle A = R_ {n} + R_ {n} \ times i = R_ {n} {\ bigl (} 1 + i {\ bigr)}}$

e entao ${\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {A} {1 + i}}}$

Verificamos também que ao substituir a pela fórmula da taxa de anuidade constante, obtemos o mesmo resultado para o reembolso do primeiro ano:

${\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {E \ times i} {(1 + i) ^ {n} -1}}}$

Cálculo do valor presente de uma anuidade constante de 1 em VB Function PVannuity( i as double, n as double, Optional m as double = 0, _ Optional k as Integer =1, Optional Terme as String= "immediate" ) 'i Effective interest rate expressed in decimal form. E.g. 0,03 means 3%. 'n Years for payments. 'm Deferring Years, whose default value is zero. 'k Yearly payments frequency. A payment of k − 1 is supposed to be performed at ' the end of each year. 'Terme A string, either "immediate" (terme échue), "continuous" or "due" (à échoir). i_k=(1+i)^(1/k)-1 'effective rate for one period n_k=n*k 'number of periods for payements m_k=m*k 'deferring periods v_k = 1 / (1 + i_k) 'present value rate d = i_k / (1 + i_k) 'discount rate for one period if Terme = "immediate" then PVannuity = (1-v_k ^ n_k)/i_k/k if Terme = "due" then PVannuity = (1-_kv ^ n_k)/d/k PVannuity = v_k^m_k*PVannuity 'k is not used in continous case delta= log(1+i) ' continuous rate v = 1 / (1 + i) if Terme = "continuous" then PVannuity = v^m * (1-v ^ n)/delta 'MsgBox "Valeur présente d'un paiement annuel de 1, fractionné en " & k & _ ' " versements par an (à terme de type : " & Terme & "), d'une durée " & n & _ ' " ans, différée de " & m & "années, au taux " & format(i,"0.00%") & " = " & PVannuity End Function

Anuidades de colocação

Cálculo de capital no vencimento

Ao contrário das anuidades de amortização de empréstimos constantes, existem anuidades de investimento para poupadores, por exemplo, que pagam a mesma quantia em intervalos regulares para acumular um capital maior no vencimento com juros compostos.

Também aí obtemos uma sequência geométrica. Se A for o valor da anuidade, o valor adquirido da última ou enésima prestação será A (1 + i) . O do penúltimo será A (1 + i) 2 . E assim por diante até o primeiro que tem um valor de A (1 + i) n . O capital no vencimento será, portanto, a soma de todos esses termos e a fórmula das sequências geométricas dá a resposta, A (1 + i) sendo o primeiro termo e 1 + i o motivo:

${\ displaystyle C = A (1 + i) \ times {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}}$

Lembrete sobre o cálculo de juros

Se C o for o capital inicial, i a taxa de juros, n o número de anos, I o valor no vencimento dos juros e C n o valor do capital no vencimento, o cálculo de juros simples no final de n anos é expresso pela fórmula:

${\ displaystyle I = {C_ {0}} \ times {i} \ times {n}}$

exemplo: = 30.000, = 0,7%, = 10 ${\ displaystyle C_ {0}}$ $eu$ $não$

Então: = 30.000 x 0,007 x 10 = 2.100 $eu$

O cálculo do valor adquirido é expresso pela fórmula: ${\ displaystyle C_ {n} = C_ {0} + (C_ {0} \ vezes i \ vezes n) = C_ {0} (1 + i \ vezes n)}$

$C_ {n}$ = 30.000 (1 + 0,007 x 10) = 32.100

Para juros compostos, os juros são adicionados ao capital mais os juros anteriores:

${\ displaystyle C_ {n} = {C_ {0}} \ times {(1 + i)} \ times {(1 + i)} \ times {(1 + i)} \ times {(1 + i)} \ times ... \ times {(1 + i)}}$ (n vezes)

ou :

${\ displaystyle C_ {n} = {C_ {0}} \ times {(1 + i)} ^ {n}}$

Com os mesmos dados do exemplo anterior, obtemos:

$C_ {n}$ = 30.000 x 1,007 10 = 32.167,40