Em matemática , uma aproximação afim é uma aproximação de uma função na vizinhança de um ponto usando uma função afim . Uma aproximação afim é usada principalmente para simplificar um problema para o qual uma solução aproximada pode ser obtida.
Duas maneiras clássicas de obter uma aproximação afim de uma função envolvem interpolação ou expansão limitada à ordem 1.
Dada uma função f definida e contínua ao longo de um intervalo [ a , b ] e da qual sabemos o valor nos limites, podemos aproximar a curva da função pela cadeia de equação
.Se a função é da classe C 2 , a diferença entre o valor da função e a aproximação afim por interpolação é controlada por um limite superior do valor absoluto da segunda derivada: se então para todos x ∈ [ a , b ] nós ter
.Esta formulação, bem como a desigualdade, ainda são válidas fora do intervalo [ a , b ] , desde que o aumento da segunda derivada também seja válido . Passando o limite de b para a , obtemos a aproximação afim por expansão limitada abaixo.
A interpolação afim é usada em particular para definir o método trapezoidal na integração numérica .
Dada uma função diferenciável f de uma variável real , e um real a , a função ε definida por
verificado
ε é chamado de resto . Esta fórmula aparece como um caso especial ( n = 1) da fórmula de Taylor : é uma expansão limitada de ordem 1.
Uma aproximação afim de f é obtida negligenciando este resto. A função então constitui uma aproximação afim de f em a .
Nós, então, escrever, para x em um bairro de uma :
A expressão à direita corresponde à equação y ' = f ( a ) + f' ( a ) ( x - a ) da tangente à curva representativa de f no ponto ( a , f ( a )) , e para Por esse motivo, alguns chamam esse método de aproximação tangente ou aproximação tangente afim .
Também é possível usar aproximações para as funções vetoriais de uma variável vetorial, em que f ' ( a ) é substituída por uma matriz Jacobiana . A aproximação corresponde à equação de uma tangente reta , ou um plano tangencial ou uma tangente hiperplano . Isso também se aplica a funções de uma variável complexa .
No caso mais geral de espaços de Banach , podemos escrever
onde D f ( a ) é o diferencial de f em a . Aqui, o mapa linear não é outro senão D f ( a ) .
A aproximação afim tangente é usada em particular no método de Newton para aproximar os zeros de uma função diferenciável.
ExemploPara encontrar um valor aproximado de 3 √ 25 , podemos proceder da seguinte forma:
A ótica gaussiana é uma técnica ótica geométrica que descreve o comportamento dos raios de luz em sistemas óticos por aproximação paraxial , onde os ângulos entre os raios e o eixo ótico são muito pequenos. Nesse caso, os termos dependentes dos ângulos, expressos por funções trigonométricas, podem ser aproximados linearmente. Podem ser obtidas aproximações corretas de distância focal, ampliação e brilho.
O período de oscilação de um pêndulo pesado depende de seu comprimento, da intensidade da gravidade e da amplitude da oscilação θ 0 , mas não da massa. O período T de um pêndulo simples, no caso ideal, é expresso em sua forma exata por uma série infinita:
com L o comprimento eg a aceleração local da gravidade.
Porém, no caso de pequenas oscilações, como sen θ ≈ θ , a consideração desta aproximação linear permite obter:
e desta forma, não depende mais da amplitude. Esta propriedade do isocronismo é a base das medidas de duração.