Argumento de um número complexo

Um argumento de um número complexo z diferente de zero é uma medida (em radianos , portanto módulo 2π) do ângulo entre a meia-linha dos números reais positivos (o eixo x ) e aquela resultante da origem e passando pelo ponto representado por z (veja a figura ao lado).

Definição

Dado um número complexo z diferente de zero, um argumento de z é uma medida (em radianos, portanto módulo 2π) do ângulo:

(Ox→,OM→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, \; {\ overrightarrow {OM}})}

onde M é a imagem de z no plano complexo , ou seja, o ponto do afixo z .

De forma equivalente, um argumento de z é um número real tal que: θ{\ displaystyle \ theta}

porque⁡θ=ℜ(z)|z|epecado⁡θ=ℑ(z)|z|{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ Re (z)} {| z |}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin \ theta = {\ frac {\ Im (z)} {| z |}}},

onde , e são, respectivamente, as partes real e imaginária e o módulo de z . ℜ(z){\ displaystyle \ Re (z)}ℑ(z){\ displaystyle \ Im (z)}|z|{\ displaystyle \ left | z \ right |}

Freqüentemente, denotamos um argumento do número complexo z de maneira simplificada por:

arg⁡z=θ{\ displaystyle \ arg z = \ theta}

ou mais precisamente:

arg⁡z≡θmod2π{\ displaystyle \ arg z \ equiv \ theta {\ bmod {2 \ pi}}}.

Nota: em Inglês, às vezes chamado de estágio ou a amplitude de um número complexo: . ph(z){\ displaystyle \ mathrm {ph} (z)}

Fórmulas de cálculo

• Se z não for um imaginário puro , onde é o conjugado de z e, portanto: bronzeado⁡(arg⁡z)=ℑ(z)ℜ(z)=z-z¯eu(z+z¯){\ displaystyle \ tan (\ arg z) = {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} = {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm {i} \ left (z + {\ bar {z}} \ right)}}}z¯{\ displaystyle {\ bar {z}}}se , .ℜ(z)>0{\ displaystyle \ Re (z)> 0}arg⁡z≡Arctan⁡ℑ(z)ℜ(z)≡Arctan⁡z-z¯eu(z+z¯)mod2π{\ displaystyle \ arg z \ equiv \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} \ equiv \ arctan {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm { i} \ left (z + {\ bar {z}} \ right)}} {\ bmod {2 \ pi}}}
• Mais geralmente, o argumento de um número complexo z diferente de zero pode ser inteiramente determinado da seguinte forma: arg⁡z={2Arctan⁡ℑ(z)ℜ(z)+|z|E se z∉R-πE se z∈R-∗.{\ displaystyle \ arg z = {\ begin {cases} 2 \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z) + \ left | z \ right |}} & {\ text {si}} z \ notin \ mathbb {R} _ {-} \\\ pi & {\ text {si}} z \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} {\ text {.}} \ end { casos}}}

Propriedades

Sejam z , z 1 e z 2 complexos diferentes de zero. Temos  : mod2π{\ displaystyle {\ bmod {2 \ pi}}}

arg⁡(z1z2)≡arg⁡z1+arg⁡z2{\ displaystyle \ arg (z_ {1} z_ {2}) \ equiv \ arg z_ {1} + \ arg z_ {2}}.

Em particular :

• para qualquer real tem diferente de zero:arg⁡(noz)≡{arg⁡zE se no>0(arg⁡z)+πE se no<0 ;{\ displaystyle \ arg (az) \ equiv {\ begin {cases} \ arg z & {\ text {si}} a> 0 \\ (\ arg z) + \ pi & {\ text {si}} a < 0 {\ text {;}} \ end {casos}}}
• para todos inteiro relativa n  : .arg⁡(znão)≡nãoarg⁡z{\ displaystyle \ arg (z ^ {n}) \ equiv n \ arg z}

Aplicações de geometria

Se A , B , C e D são quatro pontos dois a dois distintos do plano complexo dos respectivos afixos a , b , c e d , então:

(NOB→,VSD→)≡arg⁡d-vsb-nomod2π{\ displaystyle ({\ overrightarrow {AB}}, \; {\ overrightarrow {CD}}) \ equiv \ arg {\ frac {dc} {ba}} {\ bmod {2 \ pi}}}.

Notas e referências

1. (in) Dicionário de Matemática , 2002, "fase".
2. (em) Konrad Knopp e Frederick Bagemihl, Teoria das Funções Partes I e II , Publicações de Dover,1996, 150  p. ( ISBN  978-0-486-69219-7 ) , p.  3.

Artigos relacionados

• Coordenadas polares
• Módulo de um número complexo
• Determinação principal

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