Embora o único corpo de automorfismo de ℝ seja a identidade (resultado mostrado por Gaston Darboux em 1880) e os únicos automorfismos de corpo continuando a ℂ sejam identidade e conjugação ( Julian Coolidge , 1924), o uso do axioma de escolha (duas vezes) nos permite construir outros automorfismos de campos de ℂ que não são contínuos (a existência de tais automorfismos foi mostrada por Richard Rado a partir dos resultados gerais de Ernst Steinitz datando de 1910, mas a seguinte construção foi doada por Hyman Kestelman em 1947).
Seja E o conjunto de subcampos de ℂ não contendo √ 2 . E é não vazio (porque contém, por exemplo, ℚ ) e ordenado (parcialmente) por inclusão. Podemos facilmente verificar que se trata de um conjunto indutivo . De acordo com o lema Zorn , por isso tem um máximo elemento K .
A maximalidade de K nos permite mostrar que a extensão K ( √ 2 ) → ℂ é algébrica ou ℂ é algebraicamente fechada ; qualquer automorfismo de campo de K ( √ 2 ), portanto, se estende em um automorfismo de campo de ℂ (este resultado é clássico e também usa o axioma de escolha ). Considerando o automorfismo de K ( √ 2 ) fixando K ponto a ponto e enviando √ 2 em - √ 2 , obtemos então um automorfismo de campo de ℂ diferente de identidade e conjugação: é, portanto, não contínuo e até mesmo descontínuo em todos os pontos . Deduzimos que não é mensurável e que a imagem de ℝ é densa : assim, o axioma da escolha envolve a existência de um subcorpo denso de ℂ isomorfo a ℝ.
(pt) Paul B. Yale , “ Automorphisms of the complex numbers ” , Math. Mag. , vol. 39,1966, p. 135-141 ( ler online )( Prêmio Lester Randolph Ford , 1967)