Base Schauder

Na análise funcional ( matemática ), a noção de base de Schauder é uma generalização daquela de base (algébrica). A diferença vem do fato de que, em uma base algébrica, consideramos combinações lineares finitas de elementos, enquanto para as bases de Schauder elas podem ser infinitas. Isso o torna uma ferramenta mais adequada para a análise de espaços vetoriais topológicos de dimensão infinita, em particular os espaços de Banach .

As bases Schauder foram introduzidas em 1927 por Juliusz Schauder , que explicou um exemplo para C ([0, 1]).

Definição

Seja X um espaço de Banach em ℝ ou ℂ . Uma sequência de elementos de X é uma base Schauder de X se, para todo $x$ ∈ X , existe uma sequência única de escalares tal que $(e_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e_ {n},}

na acepção da convergência no padrão X . Os escalares são então chamados de coordenadas de $x$ . $ano$

Exemplos e propriedades

As bases de Schauder de um espaço vetorial de dimensão finita em um campo topológico não discreto completamente valioso , dotado da topologia única que o torna um espaço vetorial topológico separado , são suas bases no sentido algébrico.
Uma base algébrica de um espaço de Banach de dimensão infinita nunca é contável - isso é uma consequência do teorema de Baire - portanto, não é uma base de Schauder.
Se X = c 0 ou X = ℓ p , 1 ≤ p < $+ \infty$ , a sequência canônica ( δ n ) n ∈ℕ definida por ${\ displaystyle \ delta _ {n} = (0, ..., 0, {\ stackrel {n} {1}}, 0, ...)}$ é uma base Schauder.
Em particular (caso p = 2), uma base de Hilbert de um espaço de Hilbert separável é uma base de Schauder.
O sistema Haar forma uma base Schauder de $L p$ ([0, 1]) , 1 ≤ p < $+ \infty$ .
O sistema trigonométrico forma uma base de Schauder de $L p ([0, 2π])$ , 1 < p < $+ \infty$ . Para p = 2, é uma consequência do teorema de Riesz-Fischer .
O espaço C ([0, 1]) de funções contínuas em [0, 1], dotado da norma da convergência uniforme , tem base de Schauder.
Se o espaço X tiver uma base de Schauder, então ele é separável e tem a propriedade de aproximação limitada (de acordo com o teorema de Banach-Steinhaus , as funções de coordenadas formam uma sequência uniformemente limitada de formas lineares contínuas ). Per Enflo construiu um espaço de Banach reflexivo separável sem a propriedade de aproximação, portanto sem uma base de Schauder.
Um teorema de Stanisław Mazur assegura que um espaço de Banach de dimensão infinita sempre tem um subespaço de dimensão infinita tendo uma base de Schauder.

Base incondicional

Uma base de Schauder de X é chamada incondicional se para todo x ∈ X , a série que representa x converge incondicionalmente , isto é, se podemos convocar seus termos independentemente da ordem. $(e_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

As bases de Schauder canônicas de c 0 ou ℓ p , 1 ≤ p < $+ \infty$ , assim como as bases de Hilbert de um espaço de Hilbert separável são incondicionais.

Para 1 < p < $+ \infty$ , o sistema trigonométrico não é uma base incondicional de $L p ([0, 2π])$ , exceto para p = 2.

Para 1 < p < $+ \infty$ , o sistema de Haar forma uma base incondicional de $L p$ ([0, 1]).

O espaço Tsirelson (en) tem uma base incondicional.

Os espaços que gozam da propriedade de Daugavet - como $L 1$ ([0, 1]) e C ([0,1]) - não têm uma base incondicional; não podem nem mesmo mergulhar em um espaço de base incondicional.

Uma questão natural é se um espaço de Banach de dimensão infinita sempre tem um subespaço de dimensão infinita com uma base incondicional. Este problema foi resolvido por Timothy Gowers e Bernard Maurey (de) no negativo.

Notas e referências

(fr) Este artigo é tomado parcial ou totalmente da Wikipedia em Inglês intitulada " Schauder base " ( ver a lista dos autores ) .

(De) J. Schauder , " Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen " , Mathematische Zeitschrift , vol. 26,1927, p. 47-65 ( ler online ).
(De) J. Schauder , " Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems " , Mathematische Zeitschrift , vol. 28,1928, p. 317-320 ( ler online ).
(em) BI Golubov , "Faber-Schauder system" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online ).
(in) Per Enflo , " Um contra-exemplo para o problema de aproximação em espaços de Banach " , Acta Math. , vol. 130,1973, p. 309-317 ( ler online ).
(em) V. cadetes , R. Shvidkoy G. Sirotkin e D. Werner (DE) , " espaços de Banach com a propriedade Daugavet " , Trans. Amargo. Matemática. Soc. , vol. 352,2000, p. 855-873.
(em) WT Gowers e B. Maurey , " The incondicional basic sequence problem " , J. Amer. Matemática. Soc. , vol. 6,1993, p. 851-874 ( ler online ).

Veja também

Bibliografia

(en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces , 1984 ( ISBN 978-0-387-90859-5 )
(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek (en) , Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant e Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry , 2000 ( ISBN 978-0-387-95219-2 ) [ ler online ]

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