Categoria enriquecida

Uma categoria enriquecida em uma categoria monoidal , ou -categoria é uma extensão do conceito matemático de categoria , onde morfismos , em vez de formar uma classe ou um conjunto sem estrutura, são elementos de . ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Motivação

O conceito de categoria enriquecida parte da constatação de que, em muitas situações, os morfismos possuem uma estrutura natural de vetor ou espaço topológico . A categoria deve ser monoidal para definir a composição dos morfismos, chamados, neste caso, de objetos hom em vez de conjuntos de hom. ${\ mathcal {M}}$

Definição

Uma categoria enriquecida em , onde é uma categoria monoidal , são os dados dos seguintes elementos: $\ mathcal C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Um conjunto de objetos ; ${\ displaystyle \ mathrm {Obj} ({\ mathcal {C}})}$
Para qualquer par de objetos x , y , um objeto denominado hom-objeto e anotado ; ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (x, y)$
Para qualquer trinca de objetos de , um morfismo em , dito de composição: $\ mathcal C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (b, c) \ otimes {\ mathrm {hom}} (a, b) \ to {\ mathrm {hom}} (a, c)$
Para qualquer objeto a de , um chamado morfismo de identidade, onde $1$ é a unidade do produto tensorial em $\ mathcal C$ ${\ mathsf {id_ {a}}}: 1 \ para {\ mathrm {hom}} (a, a)$ ${\ mathcal {M}}$
Os diagramas comutativos correspondem à associatividade da composição e ao bom comportamento dos morfismos de identidade nesta composição.

Exemplos

Uma categoria enriquecida na categoria Conjunto de conjuntos nada mais é do que uma pequena categoria local (no sentido usual) ;
Uma categoria enriquecida na categoria Top de espaços topológicos é uma categoria topológica (en) ;
Uma categoria enriquecida na categoria de conjuntos simpliciais é uma categoria enriquecida de forma simples (em) :
Uma categoria enriquecida na categoria de categorias Gato é uma categoria estrita de 2 .

Referências

(pt) Max Kelly , Basic Concepts of Enriched Category Theory , vol. 64, Cambridge University Press, col. "Série de notas de aula da London Mathematical Society",1982
(pt) Saunders Mac Lane , Categories for the Working Mathematician [ detalhe da edição ]