Em matemática , física e engenharia , um campo tensorial é um conceito muito geral de quantidade geométrica variável. É usado em geometria diferencial e na teoria das variedades em geometria algébrica na relatividade geral , na análise de tensões e deformações em materiais e em muitas aplicações nas ciências físicas e na engenharia. É uma generalização da ideia de campo vetorial , ele próprio concebido como um “vetor que varia de ponto a ponto”, para aquele, mais rico, de “ tensor que varia de ponto a ponto”.
Deve-se notar que várias estruturas matemáticas coloquialmente chamadas de "tensores" são na verdade campos de tensores, os quais associam um tensor a cada ponto do domínio. Veja o artigo tensor para uma introdução básica aos tensores. Encontraremos nos campos de tensores as noções de grau de covariância ou contravariância que indicam a maneira como o tensor se comporta durante uma mudança de base.
A intuição geométrica para um campo vetorial é de uma "seta presa a cada ponto da região", de comprimento e direção variados. A imagem mental de um campo vetorial em um espaço curvo pode ser baseada no exemplo de um mapa meteorológico que mostra a velocidade horizontal do vento, em cada ponto da superfície da Terra.
A noção geral do campo tensorial é definida em variedades , espaços curvos de qualquer dimensão generalizando superfícies. É ao mesmo tempo um objeto com conteúdo sofisticado - permite, por exemplo, dar substância à ideia de uma elipse ou de um produto escalar não fixo, mas variável e ligado ao ponto atual - e de uma quantidade que é definido intrinsecamente, independentemente, em particular, da configuração dos parâmetros ou da escolha das coordenadas usadas para descrever o domínio de definição. No exemplo do globo terrestre, o campo pode ser expresso recorrendo à latitude e longitude, ou a vários tipos de projeções cartográficas , mas deve, no entanto, poder ser definido independentemente destas ferramentas de cálculo.
O campo tensorial então forma um conceito básico de geometria diferencial , tornando possível estender muitas ferramentas de álgebra linear ou multilinear , e então fornecer a estrutura necessária para realizar análises em variedades. Tensores importantes em matemática incluem formas diferenciais , métricas Riemannianas ou tensores de curvatura .
Em todas as fórmulas explícitas, o uso será feito da convenção de soma de Einstein : se um índice é repetido, deve-se entender que um símbolo de soma neste índice foi implícito.
Em um U aberto de espaço euclidiano , um campo tensorial do tipo (p, q) é um mapa de U no espaço vetorial de tensores desse tipo, assumido como suficientemente regular (geralmente perguntamos ). Também pode ser visto como um tensor cujos componentes são funções da posição na L . As operações usuais, como produto tensorial ou contração, podem ser estendidas, uma vez que qualquer cálculo é feito componente por componente na base de referência.
Uma mudança global de bases é feita usando a matriz de passagem A e sua inversa (dependendo da variância ou da contravariância), exatamente como para tensores ordinários:
De forma mais geral, uma mudança no sistema de coordenadas (curvilínea) y = f (x) dá uma fórmula análoga tomando a matriz Jacobiana do mapa f
Fórmula que terá um papel central para passar ao quadro das variedades e na qual se nota que apenas intervêm os valores do tensor e das derivadas das aplicações de coordenadas ao ponto atual.
Existem várias abordagens para definir um campo tensorial. Uma abordagem muito usada em matemática, consiste em definir o conjunto de todos os tensores a partir dos vetores e "covetores" pelas operações da álgebra multilinear . Formalmente, isso leva a construir, a partir dos feixes tangente e cotangente , os vários produtos tensores ou a álgebra externa que formam eles próprios feixes . Os diferentes campos tensores aparecem então como seções desses pacotes: um tensor de ordem (p, q) é uma seção (implícita ) do produto tensorial de p cópias do pacote tangente e de q cópias do pacote cotangente:
Também podemos definir um campo tensor individual T , fornecendo descrições de componentes em mapas locais . Concretamente, em um mapa aberto , o tensor se desenvolve usando vetores e formas de base 1
Para garantir o caráter intrínseco da definição, é necessário assegurar o tipo de transformação sofrida pelas funções componentes durante as mudanças dos mapas, que devem ser compatíveis com os graus de invariância e contravariância. Encontramos a fórmula que mostra as derivadas parciais da aplicação de mudança de mapa f (queremos dizer os pontos de aplicação aqui)
Esta abordagem é bastante sistemática na física , e em particular na relatividade geral , na mecânica geral e na mecânica do contínuo , onde muitas vezes é a expressão das leis de transformação por mudança de mapa que torna possível observar que os objetos introduzidos são tensores. de um certo tipo.
Um certo número de construções pode ser proposto com campos tensores que levam a objetos bem definidos sem serem eles próprios tensores. Concretamente, a expressão nos mapas locais, mesmo que seja compatível com a reconexão, segue outras leis de transformação. É o caso, por exemplo, dos símbolos de Christoffel na geometria Riemanniana . Mas existem critérios para identificar o caráter tensor sem retornar ao cálculo em componentes, com base em uma propriedade de -linearidade.
Observamos que podemos multiplicar (pontos por ponto) um campo de vetores X ou um campo de covetores (formas lineares) L por uma função numérica . Parece que as operações são lineares e compatíveis com o suporte de dualidade:
Em termos abstratos, essa linearidade mostra que o conjunto de seções do feixe tangente é um módulo no anel de funções . A mesma propriedade é verdadeira para as seções do feixe cotangente, mas também aparece como o dual do conjunto de mapas lineares (e vice- versa). O conjunto de campos tensores do tipo (p, q) é obtido pelo produto tensorial desses módulos.
Essas considerações possibilitam uma definição progressiva de tensores de feixes tangentes e cotangentes: um campo de tensores de ordem (p, q + 1) é identificado com um mapa -linear que associa um campo de vetores a um campo de tensores de ordem (p , q) . Ou ainda, um mapa q- linear (sempre no sentido ) nos campos de vetores com valores tensores de ordem (p, 0) fornece um tensor de ordem (p, q) . Isso também permite distinguir as construções que possuem um caráter tensorial, como aparecerá a seguir para a derivada covariante.
Em mecânica dos sólidos , vinculando o tensor de tensão ao tensor de deformação com diferentes leis de comportamento. Assim, no caso de um sólido elástico, a lei de Hooke está interessada em um pequeno elemento da matéria que sofre pequenas deformações. A lei de deformação é linear e reversível qualquer que seja a tensão, o que leva a expressá-la de forma tensorial, com uma contração:
onde C é o tensor das constantes elásticas .
Na geometria Riemanniana , damos à variedade diferencial uma métrica , ou seja, um tensor simétrico do tipo (0,2) que define em cada espaço tangente um produto escalar. Contratar um tensor com o tensor métrico pode ser usado para mover de uma situação de covariância para contravariância ou vice-versa, que é comumente apresentada como "subindo ou descendo" do tensor. Também se define a partir do tensor métrico o tensor de curvatura de Riemann que descreve a geometria da variedade.
A relatividade geral usa uma estrutura geométrica semelhante à geometria Riemanniana, com um tensor métrico que não é definido positivo. Podemos relacionar o tensor de energia-momento à curvatura do espaço-tempo.
As equações diferenciais são uma ferramenta essencial para descrever a evolução de um sistema ou a deformação de um objeto matemático. É necessário ser capaz de formulá-los em termos de campos tensores tanto em geometria diferencial quanto em física ou mecânica teórica. O conteúdo de tais relações não envolve apenas cálculo diferencial no espaço euclidiano, mas necessariamente envolve a geometria da variedade.
Para uma função numérica definida na variedade, existem noções naturais de derivada direcional e diferencial . No entanto, este não é o caso para um campo tensor T . Na verdade, isso exigiria ser capaz de comparar os valores de T em dois pontos vizinhos, mas esses valores pertencem a duas fibras diferentes entre as quais não há isomorfismo definido canonicamente. Existem diferentes maneiras de superar essa dificuldade, com a opção de informações adicionais. E se se busca diferenciar duas vezes (ou mais) uma função numérica, a questão também se coloca: assim, a noção de Hessian de uma função não é definida em geral (exceto nos pontos críticos).
Além disso, o teorema de Schwarz do espaço euclidiano, um fenômeno de simetria de derivadas secundárias, não se estende a nenhum tipo de derivação: parece haver termos relacionados à comutação de derivadas.
Assim, quando se tem um difeomorfismo, pode-se “transportar” o tensor por este difeomorfismo pelas mesmas fórmulas que durante uma mudança de mapas. Isso define as noções de imagem recíproca (ou retrocesso ) e imagem direta ( pushforward ) que permitem comparar os valores de T nos pontos correspondentes a ψ.
Para generalizar, pode-se apoiar-se em um campo de vetores X : o fluxo associado dá um subgrupo a um parâmetro de difeomorfismos locais. Portanto, é possível calcular a "derivada de T ao longo do fluxo"
que é chamado o derivado de Lie de T de acordo com X e é por sua vez um tensor, semelhante à t . Em um mapa local , esta derivada é expressa (para um campo de tensores do tipo r, s ) por uma fórmula onde aparecem os valores e derivados de T, mas também de X no ponto de estudo:
Quando realizamos derivadas de Lie sucessivas, vemos um termo de comutação, ligado ao gancho de Lie
As derivadas covariantes podem ser aplicadas a um campo de tensores, ou mais geralmente, a qualquer tipo de pacote vetorial . Definimos novamente uma derivada de um tensor de acordo com um campo de vetores :, mas há uma grande latitude de escolha. Tal derivação pode ser definida axiomaticamente, exigindo
- as propriedades algébricas esperadas de uma derivação : linearidade e regra de Leibniz
- um tensor vis vis-à-comportamento coordenar as alterações, daí o nome "covariante" em relação a V , que também podem ser expressas através da exigência de que a dependência V é -linear: .
Desta vez, o campo X intervém apenas pelo seu valor no ponto onde o cálculo é feito, mas a escolha da derivação feita se manifesta em componentes pelo aparecimento de coeficientes, os símbolos de Christoffel definidos por . A expressão geral da derivação, sempre para um tensor de ordem ( r , s ), assume a seguinte forma
Existem formas geométricas de formular essa escolha: a noção de transporte paralelo dos vetores, ou a escolha de um “ feixe horizontal ” transversal às fibras.
O cálculo das derivadas covariantes sucessivas envolve, além do colchete de Lie, os tensores de torção e curvatura.
Na presença de uma estrutura geométrica adicional, pode haver uma escolha naturalmente associada de conexão. Se se tem, por exemplo, uma métrica Riemanniana , é a conexão de Levi-Civita que desempenha esse papel: ela respeita o tensor métrico e não tem torção. Assim, em uma variedade Riemanniana, existe um verdadeiro cálculo diferencial intrínseco ou absoluto sobre os tensores, que pode ser realizado em qualquer ordem de derivação e no qual a curvatura se manifesta.
As formas diferenciais de grau k são identificadas com tensores antissimétricos do tipo (0, k) . Neste caso particular, ao contrário dos tensores gerais, há um operador de diferenciação definido canonicamente, a derivada externa .
Cálculo tensor no site Sciences.ch