Cohomologia Alexander-Spanier

Em matemática e mais particularmente em topologia algébrica , a cohomologia de Alexander-Spanier é uma teoria cohomológica para espaços topológicos .

História

Foi introduzido pela primeira vez por James Waddell Alexander II em 1935 para o caso particular de espaços métricos compactos , então estendido por Edwin Spanier em 1948 para todos os espaços topológicos, por sugestão de AD Wallace.

Definição

Se X é um espaço topológico e G um grupo abeliano , então definimos um complexo diferencial C cujo p -ésimo termo C p é o conjunto de todas as funções de X p +1 em G e da diferencial d dada por:

df (x_ {0}, \ ldots, x_ {p}) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} f (x_ {0}, \ ldots, x _ {{i-1}}, x_ {{i + 1}}, \ ldots, x_ {p}).

Denotamos por C 0 o subcomplexo formado por funções que se cancelam em uma vizinhança da diagonal.

Os grupos de cohomologia de Alexander-Spanier H p ( X , G ) são definidos como sendo os grupos de cohomologia do complexo C / C 0 .

Variantes

Também é possível definir a homologia de Alexander-Spanier ( William Massey , 1978) e a cohomologia de suporte compacto de Alexander-Spanier ( Glen Bredon (en) , 1997).

Link com outras teorias cohomológicas

A cohomologia Alexander-Spanier coincide com a cohomologia Čech para espaços compactos e com a cohomologia singular para complexos localmente finitos.

Notas e referências

(pt) JW Alexander , On the Chains of a Complex and their Duals , vol. 21, National Academy of Sciences ( n o 8)1935, 509-511 p. ( ISSN 0027-8424 , DOI 10.1073 / pnas.21.8.509 , JSTOR 86360 )
(pt) Glen E. Bredon , teoria de Sheaf , vol. 170, Berlin, New York, Springer-Verlag , col. "Textos de Graduação em Matemática",1997, 2ª ed. , 504 p. ( ISBN 978-0-387-94905-5 , Math Reviews 1481706 , leia online )
(pt) William S. Massey , Como dar uma exposição da teoria da homologia de tipo de Čech-Alexander-Spanier , vol. 85, col. " American Mathematical Monthly " ( n o 2)1978, 75–83 p. ( ISSN 0002-9890 , JSTOR 2321782 , Revisões de matemática 0488017 )
(en) William S. Massey , Homologia e teoria da cohomologia. Uma abordagem baseada em cochains Alexander-Spanier. , vol. 46, New York, Marcel Dekker Inc., col. "Monografias e livros didáticos em matemática pura e aplicada",1978, 412 p. ( ISBN 978-0-8247-6662-7 , Math Reviews 0488016 )
(pt) Edwin H. Spanier , Cohomology theory for general spaces , vol. 49, col. “ Annals of Mathematics. Segunda Série ",1948, 407–427 p. ( ISSN 0003-486X , JSTOR 1969289 , Math Reviews 0024621 )

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “ Alexander - Spanier cohomology ” ( ver lista de autores ) .