Comando LQG
No modo automático, o controle quadrático linear gaussiano conhecido como controle LQG é um método que permite calcular o ganho de um controle por realimentação de estado com uma preocupação particular na redução do ruído branco.
O comando LQG combina um controlador LQ (Linear Quadratic) e um estimador Kalman que pode ser calculado independentemente de acordo com o princípio de separação. O comando LQ garante uma certa robustez do loop fechado, o que não é o caso do loop LQG.
Caráter ideal
Se considerarmos o seguinte sistema:
x˙(t)=NO(t)x(t)+B(t)você(t)+v(t){\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {v} ( t)}
z(t)=VS(t)x(t)+C(t),{\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {w} (t),}
Onde está o vetor de variáveis controladas; é o vetor de controle; é um ruído branco gaussiano no estado e um ruído branco gaussiano na saída.
z{\ displaystyle z}você{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}C{\ displaystyle w}
O critério otimizado padrão é do tipo temporal e permite operar um meio-termo entre o tempo de convergência e o consumo do comando:
Onde: é o vetor das variáveis controladas; é o vetor de controle;
e são matrizes de pesos definidos positivos
J=∫0T(ztQz+vocêtRvocê)dt{\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {T} (z ^ {t} Qz + u ^ {t} Ru) dt}z{\ displaystyle z}você{\ displaystyle u}Q{\ displaystyle Q}R{\ displaystyle R}
O controlador LQG é a solução das equações:
x^˙(t)=NO(t)x^(t)+B(t)você(t)+K(t)(z(t)-VS(t)x^(t)),x^(0)=E(x(0)){\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ mathbf {x}}}} (t) = A (t) {\ hat {\ mathbf {x}}} (t) + B (t) {\ mathbf {u }} (t) + K (t) \ left ({\ mathbf {z}} (t) -C (t) {\ hat {\ mathbf {x}}} (t) \ right), {\ hat { \ mathbf {x}}} (0) = E \ left ({\ mathbf {x}} (0) \ right)}você(t)=-eu(t)x^(t).{\ displaystyle {\ mathbf {u}} (t) = - L (t) {\ hat {\ mathbf {x}}} (t).}A matriz é chamada de ganho de Kalman do filtro de Kalman associado à primeira equação. Este filtro estima o estado do sistema . O ganho de Kalman é calculado a partir das matrizes e das duas matrizes de covariância , ruído branco gaussiano e e do estado inicial . O ganho de Kalman é calculado resolvendo a chamada equação diferencial da matriz de Riccati ,
K(t){\ displaystyle {\ mathbf {}} K (t)}x^(t){\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}} (t)}K(t){\ displaystyle {\ mathbf {}} K (t)}NO(t),VS(t){\ displaystyle {\ mathbf {}} A (t), C (t)}V(t){\ displaystyle \ mathbf {} V (t)}C(t){\ displaystyle \ mathbf {} W (t)}v(t){\ displaystyle \ mathbf {v} (t)}C(t){\ displaystyle \ mathbf {w} (t)}E(x(0)x′(0)){\ displaystyle E \ left ({\ mathbf {x}} (0) {\ mathbf {x}} '(0) \ right)}
P˙(t)=NO(t)P(t)+P(t)NO′(t)-P(t)VS′(t)C-1(t)VS(t)P(t)+V(t),{\ displaystyle {\ dot {P}} (t) = A (t) P (t) + P (t) A '(t) -P (t) C' (t) {\ mathbf {}} W ^ {-1} (t) C (t) P (t) + V (t),}P(0)=E(x(0)x′(0)).{\ displaystyle P (0) = E \ left ({\ mathbf {x}} (0) {\ mathbf {x}} '(0) \ right).}Deixe o ganho de Kalman é,
P(t),0≤t≤T{\ displaystyle P (t), 0 \ leq t \ leq T}
K(t)=P(t)VS′(t)C-1(t){\ displaystyle {\ mathbf {}} K (t) = P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t)}
A matriz é o ganho do corretor LQ. Esta matriz é determinada pelas matrizes e resolvendo a equação de Riccati,
eu(t){\ displaystyle {\ mathbf {}} L (t)}NO(t),B(t),Q(t),R(t){\ displaystyle {\ mathbf {}} A (t), B (t), Q (t), R (t)}F{\ displaystyle {\ mathbf {}} F}
-S˙(t)=NO′(t)S(t)+S(t)NO(t)-S(t)B(t)R-1(t)B′(t)S(t)+Q(t),{\ displaystyle - {\ dot {S}} (t) = A '(t) S (t) + S (t) A (t) -S (t) B (t) R ^ {- 1} (t ) B '(t) S (t) + Q (t),}S(T)=F.{\ displaystyle {\ mathbf {}} S (T) = F.}Ou ele vem,
S(t),0≤t≤T{\ displaystyle {\ mathbf {}} S (t), 0 \ leq t \ leq T}
eu(t)=R-1(t)B′(t)S(t).{\ displaystyle {\ mathbf {}} L (t) = R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t).}Podemos observar a semelhança entre as duas equações diferenciais: a primeira está na direção da seta do tempo enquanto a segunda está ao contrário. Isso vem da dualidade entre os problemas de controle e estimativa.
Quando e as matrizes de covariância , não depende do tempo, o controlador LQG é invariante tempo e as equações tornam-se algébricas equações de Riccati (Riccati equação ).
NO(t),B(t),VS(t),Q(t),R(t){\ displaystyle {\ mathbf {}} A (t), B (t), C (t), Q (t), R (t)}V(t){\ displaystyle \ mathbf {} V (t)}C(t){\ displaystyle \ mathbf {} W (t)}
O comando LQG é ideal dentro do significado do padrão . Para vincular com a tecnologia de frequência do tipo H ∞ : é possível alcançar a otimização no domínio da frequência dentro do significado da norma no mesmo esquema sintético de uma ordem H ∞ . A síntese pode ser realizada nas mesmas entradas-saídas da síntese Hinfini , bastando ajustar as ponderações em frequência.
H2{\ displaystyle H_ {2}}H2{\ displaystyle H_ {2}}H2{\ displaystyle H_ {2}}
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links externos
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