Convexidade (finanças)

A convexidade (em inglês: convexidade de títulos ) é um indicador do risco de taxa de juros relacionado a um instrumento de taxa fixa, como um requisito para suplementar a sensibilidade ou a duração

Definição

Usando o teorema de Taylor , podemos aproximar a variação do preço de um título em função de sua taxa atuarial . ${\ displaystyle P (r) \ simeq P (r_ {0}) + P '(r_ {0}) (r-r_ {0}) + {\ frac {P ^ {(2)} (r_ {0} )} {2!}} (R-r_ {0}) ^ {2}}$

Com:

$r \, \!$ a taxa atuarial,
${\ displaystyle P (r) \, \!}$ o preço do instrumento de acordo com a taxa atuarial,
${\ displaystyle P '(r) = {\ frac {dP (r)} {dr}}}$ o derivado do preço do instrumento em relação à taxa atuarial.
${\ displaystyle P ^ {(2)} (r) = {\ frac {d ^ {2} P (r)} {d ^ {2} r}}}$ a segunda derivada do preço do instrumento.

${\ displaystyle dP (r) \ simeq P '(r) dr + {\ frac {P ^ {(2)} (r)} {2!}} dr ^ {2}}$

${\ displaystyle dP (r) / P (r) \ simeq {\ frac {P '(r)} {P (r)}} dr + {\ frac {P ^ {(2)} (r)} {2P (r)}} dr ^ {2}}$

Ou usando a definição de sensibilidade S.

${\ displaystyle dP (r) / P (r) \ simeq -Sdr + {\ frac {P ^ {(2)} (r)} {2P (r)}} dr ^ {2}}$

E com a seguinte definição de convexidade

C={\frac {P^{(2)}(r)}{P(r)}}

Nós podemos escrever:

${\ displaystyle dP (r) / P (r) \ simeq -Sdr + {\ frac {C} {2}} dr ^ {2}}$

O termo convexidade é usado porque o sinal deste valor determina a convexidade local da função P.

Objetivos e limites

O objetivo da convexidade é fornecer uma ferramenta numérica simples para medir o risco da taxa de juros em um instrumento. Assim como a duração e a sensibilidade , assume uma curva de taxas que evolui paralelamente para todos os vencimentos.

Fórmulas

Aplicando a definição ao valor presente , encontramos:

{\ displaystyle C = {\ frac {1} {P (1 + r) ^ {2}}} \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {t_ {i} (t_ {i} +1) F_ {i}} {\ esquerda (1 + r \ direita) ^ {t_ {i}}}}}

com:

P \, \!

o preço do título,

{\ displaystyle F_ {i} \, \!}

o fluxo (cupom e capital) para o período ,

eu \, \!

{\ displaystyle t_ {i} \, \!}

é o intervalo de tempo, expresso em anos, separando a data de atualização da data do fluxo

{\ displaystyle F_ {i} \, \!}

r \, \!

a taxa atuarial da obrigação.

Veja também