Critério de plasticidade

Um critério de plasticidade , ou critério de escoamento plástico , é um critério que permite saber, sob determinadas tensões, se uma peça se deforma plasticamente ou se permanece na faixa elástica . Numerosos testes mostraram que dois critérios principais podem ser usados: o critério de Tresca-Guest ou o critério de von Mises . Em termos de resistência dos materiais , às vezes queremos ficar na faixa elástica, então falamos de critério de resistência .

A tensão de comparação não é uma tensão real existente em um determinado momento dentro de um sólido, mas é usada na mecânica para prever falhas. No entanto, a maioria dos engenheiros o usa para determinar se um determinado campo de tensão em uma peça é aceitável ou não. Também falamos de estresse equivalente ou estresse efetivo . Decorre dos critérios de plasticidade.

Essa tensão é comparada ao limite elástico ou mesmo à tensão de ruptura obtida por ensaio de tração .

Problemático

Abordagem básica

Coloquemo-nos no caso de um estado de tensões planas. No caso da tensão uniaxial de uma parte de um material dúctil , o limite de tensão além do qual há uma deformação plástica é o limite elástico R e  : para uma tensão de eixo x , permanecemos no domínio elástico se a tensão σ xx satisfaz:

σ xx <R e

Isso geralmente representa um limite permitido para peças em serviço: além desse valor, as peças se deformam irreversivelmente e, se a geometria da peça for importante para o sistema, isso causa uma falha.

Um causa deformação plástica se:

σxx>Re{\ displaystyle \ sigma _ {xx}> \ mathrm {R_ {e}}}

esta situação é procurada no caso de conformar ( laminar , forjar , dobrar , estampar , etc.).

Sabemos que a deformação plástica ocorre por cisalhamento  : é muito mais fácil deslizar átomos uns sobre os outros. A cisão (ou tensão de cisalhamento) é máxima para um plano inclinado a 45 ° em relação ao eixo de tração (ver o artigo círculo de Mohr ).

Suponha agora que enfatizamos a parte junto x e y . A cisão resultante é obtida projetando as forças de tração ou compressão no plano de 45 ° . Nós vemos que:

• se houver tensão em xe em y , as cisões resultantes são opostas, atingindo-se menos rapidamente o limite elástico; a situação é idêntica se houver compressão em ambos os eixos;
• se houver tração em xe compressão em y , as cisões resultantes são somadas, de forma que o limite elástico seja alcançado mais rapidamente.

Se representarmos a fronteira R entre o domínio elástico e o domínio plástico em um gráfico (σ xx , σ yy ), então

• as tensões valem R e nos eixos (tração ou compressão uniaxial);
• as restrições para alcançar R são maiores do que R e quando têm o mesmo sinal;
• as restrições para alcançar R são menores do que R e quando são de sinais opostos.

Em um caso mais geral, consideramos as tensões principais σ I e σ II . No caso de tensões tridimensionais, consideramos σ I , σ II e σ III .

Critério de ruína

Conforme mencionado anteriormente, o limite elástico R e é frequentemente um limite final que não deve ser excedido para peças em serviço. No entanto, a tensão real nas peças pode ser maior do que a tensão calculada; na verdade, a força pode acidentalmente ser maior do que o esperado e, em relação às peças, variações na forma (entalhes, orifícios, filetes, etc.) levam a concentrações de tensões. Em todos os casos, a tensão nominal, se corresponder a uma condição de equilíbrio estático, deve permanecer inferior ao limite elástico.

Para levar em consideração esses fenômenos imprevistos, um valor limite prático R p que é menor do que R e é usado . Para isso, dividimos R e por um coeficiente de segurança s dependendo da área de utilização da peça; devido a este coeficiente de segurança, um sinal de menor ou igual é geralmente usado:

R p = R e / s σ xx ≤ R p

O cumprimento desse limite é um critério de validação do sistema. Exceder esse limite pode causar falha no sistema, portanto, esse é um critério para ruína.

Note que em certos casos pode-se admitir localmente um excesso do limite elástico que não produziria deformação significativa da estrutura.

Generalização

O espaço das restrições é de seis dimensões (o tensor das restrições compreende nove termos, mas é simétrico, consulte a notação Voigt ). O domínio elástico e o domínio plástico são separados por uma hipersuperfície pentadimensional , chamada de superfície de carga . Esta hipersuperfície corresponde a uma equação da forma

ƒ (σ ij ) = 0

onde ƒ é chamada de função de fluxo de plástico .

Podemos representar essa hipersuperfície no espaço das tensões principais (σ I , σ II , σ III ). Esta superfície é, portanto, da forma:

ƒ (σ I , σ II , σ III ) = 0.

É frequentemente representado em duas dimensões no caso de tensões planas (σ III = 0). Ele é então reduzido a uma curva, que é a interseção da superfície de carga com o plano (σ I , σ II ).

Se o meio for isotrópico, pode-se reescrever esta equação com os invariantes do tensor de tensão (ver Tensão principal> Determinação ):

ƒ (I 1 , I 2 , I 3 ) = 0.

É improvável que a compressão ou extensão isotrópica crie fluxo de plástico. Pode-se, portanto, contentar-se em considerar o desvio do tensor das tensões e, portanto, os invariantes deste desvio, J 2 e J 3 (um tem J 1 = 0). A equação pode, portanto, ser reescrita:

ƒ (J 2 , J 3 ) = 0.

Critérios de força de rendimento

Critério de Tresca (critério de tensão máxima de cisalhamento)

Como a deformação plástica é feita por cisalhamento, o critério de Tresca (ou critério de Tresca-Guest) considera a cisão determinada de acordo com o círculo de Mohr . No caso de tensões planas (σ III = 0), a condição de deformação elástica torna-se:

| σ I - σ II  | ≤ R e e | σ I - σ III  | = | σ I | ≤ R e e | σ II - σ III  | = | σ II  | ≤ R e .

O gráfico é um hexágono.

No caso de restrições tridimensionais, temos:

| σ I - σ II  | ≤ R e e | σ I - σ III  | ≤ R e e | σ II - σ III  | ≤ R e

ou :

max i ≠ j (| σ i - σ j  |) ≤ R e .

A função de fluxo de plástico é então

ƒ (σ I , σ II , σ III ) = max i ≠ j (| σ i - σ j  |) - R e .

A superfície limite é um prisma de base hexagonal cujo eixo é a trissetriz dos três eixos (σ I , σ II , σ III ).

Critério de Von Mises (critério de energia de distorção elástica)

O chamado critério de von Mises foi formulado por Maxwell em 1865 . Huber (1904) o desenvolveu parcialmente em um artigo em polonês. No entanto, sua autoria é geralmente atribuída a von Mises (1913). Também é algumas vezes referido como a teoria de Maxwell - Huber - Hencky - von Mises, ou o critério de Prandtl-Reuss.

O critério de von Mises é um critério de energia  : a energia de deformação elástica é escrita em casos simples:

U = ½σε em tração e compressão - ou - U = ½τγ em cisalhamento

e em geral

U = ½σ ij ε ij

(com a convenção de convocação de Einstein ).

A substância deste artigo de física deve ser verificada (19 de maio de 2020)

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Essa energia pode ser separada em dois termos:

U = U v + U f

com

• U v  : energia devido à mudança de volume sem mudança de forma, vocêv=12tr(σ′ε′)=16σeueuεjj=1-2ν6E(σeueu)2=1-2ν6E(eu1)2{\ displaystyle \ mathrm {U_ {v}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '\ varepsilon') = {\ frac {1} {6}} \ sigma _ { ii} \ varepsilon _ {jj} = {\ frac {1-2 \ nu} {6 \ mathrm {E}}} (\ sigma _ {ii}) ^ {2} = {\ frac {1-2 \ nu } {6 \ mathrm {E}}} (\ mathrm {I} _ {1}) ^ {2}} ;
• U f  : energia devido à mudança de forma sem mudança de volume, ou energia de distorção plástica vocêf=12tr(σ″ε″)=12seujeeuj=1+ν4Gseuj′seuj′{\ displaystyle \ mathrm {U_ {f}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '' \ varepsilon '') = {\ frac {1} {2}} s_ { ij} e_ {ij} = {\ frac {1+ \ nu} {4 \ mathrm {G}}} s '_ {ij} s' _ {ij}}.

Notações

• σ '= p I: tensor esférico, isotrópico,
  • p  : pressão isostática,
  • I: matriz unitária;
• σ '': desvio do tensor de tensão;
• E: Módulo de Young;
• ν: coeficiente de Poisson;
• G: módulo de cisalhamento.

Conforme indicado anteriormente, a expansão / compressão isotrópica provavelmente não causará um fluxo plástico, o critério de plasticidade, portanto, se refere apenas a U f . Nós podemos escrever :

vocêf =112G((σ11-σ22)2+(σ22-σ33)2+(σ33-σ11)2+6(σ122+σ232+σ312))=112G((σeu-σeueu)2+(σeueu-σeueueu)2+(σeueueu-σeu)2)=J22G{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {U_ {f}} \ & = {\ frac {1} {12 \ mathrm {G}}} \ left ((\ sigma _ {11} - \ sigma _ { 22}) ^ {2} + (\ sigma _ {22} - \ sigma _ {33}) ^ {2} + (\ sigma _ {33} - \ sigma _ {11}) ^ {2} +6 ( \ sigma _ {12} ^ {2} + \ sigma _ {23} ^ {2} + \ sigma _ {31} ^ {2}) \ right) \\ & = {\ frac {1} {12 \ mathrm {G}}} \ left ((\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {III}} - \ sigma _ {\ mathrm {I}}) ^ {2} \ right) \\ & = {\ frac {\ mathrm {J} _ {2}} {2 \ mathrm {G}}} \\\ end {alinhado}}}.

onde J 2 é o segundo invariante do desvio do tensor de tensão e G é o módulo de cisalhamento .

Essa energia não deve ultrapassar um valor limite se quisermos permanecer na faixa elástica. O valor crítico de energia é, portanto, tomando como referência a tensão uniaxial (σ II = σ III = 0, σ I = R e no limite):

vocêfvsr=16GRe2{\ displaystyle \ mathrm {U_ {f} ^ {cr}} = {\ frac {1} {6 \ mathrm {G}}} \ mathrm {R_ {e}} ^ {2}}.

Em tensões planas, o critério de von Mises é escrito:

σeu2+σeueu2-σeuσeueu⩽Re{\ displaystyle {\ sqrt {\ sigma _ {\ mathrm {I}} ^ {2} + \ sigma _ {\ mathrm {II}} ^ {2} - \ sigma _ {\ mathrm {I}} \ sigma _ {\ mathrm {II}}}} \ leqslant \ mathrm {R_ {e}}}

que é a equação de uma elipse, ou

J2⩽13Re2{\ displaystyle \ mathrm {J} _ {2} \ leqslant {\ tfrac {1} {3}} \ mathrm {R_ {e}} ^ {2}}.

Isso também pode ser escrito

(σeu-σeueu)2+(σeueu-σeueueu)2+(σeu-σeueueu)2⩽2Re2{\ displaystyle (\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm { III}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2} \ leqslant 2 \ mathrm {R_ {e}} ^ {2 }}

ou

12(σeu-σeueu)2+(σeueu-σeueueu)2+(σeu-σeueueu)2⩽Re{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {(\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}}) ^ {2} + ( \ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2}}} \ leqslant \ mathrm {R_ {e}}}.

A superfície limite é um cilindro cujo eixo é a trissetriz dos três eixos (σ I , σ II , σ III ).

A função de fluxo de plástico pode ser escrita

f(σeu,σeueu,σeueueu)=12(σeu-σeueu)2+(σeueu-σeueueu)2+(σeu-σeueueu)2-Re{\ displaystyle f (\ sigma _ {\ mathrm {I}}, \ sigma _ {\ mathrm {II}}, \ sigma _ {\ mathrm {III}}) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 }}} {\ sqrt {(\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2}}} - \ mathrm {R_ {e} }} f(J2,J3)=3J2-Re{\ displaystyle f (\ mathrm {J} _ {2}, \ mathrm {J} _ {3}) = {\ sqrt {3 \ mathrm {J} _ {2}}} - \ mathrm {R_ {e} }}

No caso de vigas sujeitas a flexão (gerando uma tensão normal máxima σ max ) e a uma torção (gerando uma cisão máxima τ max ), o critério passa a ser (forma de Huber):

σmnox2+3τmnox2⩽Re{\ displaystyle {\ sqrt {\ sigma _ {\ mathrm {max}} ^ {2} +3 \ tau _ {\ mathrm {max}} ^ {2}}} \ leqslant \ mathrm {R_ {e}}}.Notas

1. Existe outro critério de von Mises que avalia a fragilidade intrínseca de um material cristalino em função do número de possíveis modos de deformação plástica do cristal, ver Fragilidade .

2. Os dois critérios anteriores (Tresca e von Mises) excluem qualquer influência da pressão hidrostática. Assim, um sólido submetido a tração (ou compressão) uniforme ao longo dos três eixos ( ) é colocado, tendo em vista esses dois critérios, em situação equivalente à de repouso. No entanto, há um limite para a pressão hidrostática que um sólido é capaz de suportar. Ocorre quando saímos do campo da mecânica para chegar ao campo atômico: σeu=σeueu=σeueueu=p{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {I}} = \ sigma _ {\ mathrm {II}} = \ sigma _ {\ mathrm {III}} = p}

A força necessária para separar os átomos é tal que não basta colocar um sólido no vácuo, à temperatura ambiente. Para separar átomos, você precisa trazer outra energia para eles. A sublimação pode ser alcançada sob certas condições de temperatura e pressão. No nível de compressão, os átomos sendo contíguos em um sólido, uma reorganização cristalina ocorre a uma pressão muito alta (do carbono ao diamante, por exemplo). Nesse caso, o sólido mudou sua estrutura e, portanto, suas propriedades. Os modelos macroscópicos usados ​​na resistência de materiais não se aplicam mais.

Restrição de comparação

A tensão de comparação , ou tensão efetiva , ou mesmo tensão equivalente , é um valor calculado a partir do tensor de tensão; é denotado por σ e . Compara-se este valor com o limite elástico para saber se se está no campo elástico ou plástico. Na verdade, isso reduz qualquer problema à tração uniaxial.

A função de fluxo de plástico torna-se:

ƒ (σ ij  ) = σ e - R e .

Um define classicamente duas restrições eficazes:

• a restrição Tresca  :

σe=max(|σeu-σeueu|,|σeueu-σeueueu|,|σeueueu-σeu|){\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {e}} = \ max \ left (\ left | \ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}} \ right |, \ left | \ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}} \ direita |, \ esquerda | \ sigma _ {\ mathrm {III}} - \ sigma _ {\ mathrm {I}} \ direita | \ direita)} ;

• a restrição de von Mises  :

σe=12(σeu-σeueu)2+(σeueu-σeueueu)2+(σeueueu-σeu)2{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {(\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {III}} - \ sigma _ {\ mathrm {I}}) ^ {2}}}}.

Em um caso de cargas planas, para as quais existem apenas duas tensões normais σ e de cisalhamento τ, as definições tornam-se:

• Tresca estresse:  ;σe=σ2+4τ2{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {e}} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} +4 \ tau ^ {2}}}}
• von Mises: .σe=σ2+3τ2{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {e}} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} +3 \ tau ^ {2}}}}

A fronteira entre o domínio plástico e o domínio elástico é a superfície σ e = R e  :

• σ e <R e  : domínio elástico;
• σ e > R e  : domínio plástico.

Na resistência dos materiais, a condição de resistência é escrita:

σ e ≤ R p , com R e / s .

Os programas de cálculo de elementos finitos geralmente representam o campo de tensão equivalente por um mapa de cores, azul correspondendo à tensão zero e vermelho à tensão equivalente máxima. Assim, é possível detectar o (s) ponto (s) crítico (s) da peça.

“Observe que os dois critérios [de Tresca e von Mises] podem ser interpretados em termos de cisalhamento crítico, o que é compatível com a teoria dos deslocamentos  ; a diferença reside de certa forma na média a ser realizada: a teoria microscópica da plasticidade leva em conta critérios cristalográficos ausentes na teoria contínua da plasticidade. [Representemos no espaço das tensões principais], para uma tensão plana (σ 3 = 0), o local de plastificação correspondente ao critério de von Mises e Tresca: vê-se que esses dois critérios são qualitativamente próximos. O critério de von Mises é mais administrável do ponto de vista matemático, tendemos a preferi-lo ao critério de Tresca. "

-  Metalurgia: do minério ao material

“Se, para materiais dúcteis, von Mises é um pouco mais preciso do que Tresca, inúmeras verificações experimentais deram resultados localizados na fronteira entre os dois critérios. Tresca, mais simples e frequentemente usado, é mais conservador, deixando uma margem de segurança um pouco maior. No entanto, muitos programas comerciais de análise de tensões e elementos finitos contam com von Mises; portanto, há uma tendência natural de usá-lo em todas as circunstâncias. "

- Jean-Louis Fanchon, Guia de Mecânica - Ciências e Tecnologias Industriais

Outros critérios de limite elástico

Critério de Rankine

O critério de Rankine simplesmente afirma que para permanecer no domínio elástico, nenhuma tensão principal deve exceder o limite elástico:

max (| σ 1 |, | σ 2 |, | σ 3 |) ≤ R e .

No caso de restrições de plano, a borda desenha um quadrado no plano (σ 1 , σ 2 ).

Critério de Mohr-Caquot

O critério de Mohr-Caquot é um critério de falha para materiais frágeis; é, portanto, um critério de limite de elasticidade, mas não de plasticidade (uma vez que não há campo plástico para os materiais em questão).

O aumento da pressão isostática σ m diminui a amplitude dos círculos de Mohr críticos. Para materiais frágeis, as curvas do envelope dos círculos de Mohr são duas linhas retas. O valor de cisalhamento a não ser excedido, τ max , é expresso por:

τ max, c = a + k × σ m .

onde a e k são constantes.

Critério de Coulomb

O critério de Coulomb se aplica a estruturas de barro. Ainda aí, se se trata de um critério de limite de elasticidade, não é um critério de plasticidade. A condição de estabilidade é:

τ + σ⋅tan (φ) - C ≤ 0

com:

• φ: ângulo de atrito interno entre 0 e π / 2;
• C: coesão do material.

Outros sistemas de coordenadas

A hipersuperfície que delimita o domínio elástico também pode ser representada como uma superfície de dimensão dois no espaço dos invariantes do tensor de tensão I 1 e do desviador J 1 e J 2 . Esta superfície é, portanto, da forma:

ƒ (I 1 , J 1 , J 2 ) = 0.

No caso de materiais cuja coesão é garantida por adesão ( fricção ), como solos, são utilizadas as variáveis p , q e r  :

ƒ ( p , q , r ) = 0

com:

• p=13eu1{\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {3}} \ mathrm {I} _ {1}} ;
• q=σeq=3J2{\ displaystyle q = \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = {\ sqrt {3 \ mathrm {J} _ {2}}}}, a restrição equivalente;
• r=312J33{\ displaystyle r = 3 {\ sqrt [{3}] {{\ tfrac {1} {2}} \ mathrm {J} _ {3}}}}.

Também podemos descrever o espaço por coordenadas cilíndricas , as coordenadas Haigh- Westergaard (ξ, ρ, θ):

ƒ (ξ, ρ, θ) = 0

com:

• ξ=13eu1{\ displaystyle \ xi = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ mathrm {I} _ {1}} ;
• ρ=2J2{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {2 \ mathrm {J} _ {2}}}} ;
• θ é o ângulo de Lode, definido por .porque⁡(3θ)=(rq)3{\ displaystyle \ cos (3 \ theta) = \ left ({\ frac {r} {q}} \ right) ^ {3}}

Nas coordenadas de Haigh-Westergaard, as principais restrições estão escritas:

(σ1σ2σ3)=13(ξξξ)+23ρ(porque⁡θporque⁡(θ-2π3)porque⁡(θ+2π3)){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \ end {pmatrix}} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {3} }} {\ begin {pmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {pmatrix}} + {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} \ rho {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ cos \ left (\ theta - {\ cfrac {2 \ pi} {3}} \ right) \\\ cos \ left (\ theta + {\ cfrac {2 \ pi} {3}} \ right ) \ end {pmatrix}}}

Notas

1. Tresca, H. (1864). Tese sobre o escoamento de corpos sólidos submetidos a altas pressões. CR Acad. Sci. Paris, vol. 59, pág.  754 .
2. R. Hill, The Mathematical Theory of Plasticity , Oxford, Clarendon Press (1950)
3. Ford, Advanced Mechanics of Materials , Longmans, Londres, 1963
4. PABC 2002 , p.  790
5. cuidadoso
6. Fan 2001 , p.  445
7. Guy Pluvinage, "  Princípio 11: a tenacidade de um material depende das condições de confinamento da plasticidade  " , na UNIT (consultado em 21 de janeiro de 2016 )
8. Lode, W. (1926). Versuche ueber den Einfuss der mitt leren Hauptspannung auf das Fliessen der Metalle Eisen Kupfer und Nickel

Veja também

Bibliografia

• [PABC 2002] P. Philibert , A. Vignes , Y. Bréchet e Combrade , Metalurgia, do minério ao material , Paris, Dunod,2002, 2 nd  ed. , 1177  p. ( ISBN  978-2-10-006313-0 ) , p.  789-792
• [Fan 2001] Jean-Louis Fanchon, Guia mecânico , Nathan,2001, 543  p. ( ISBN  2-09-178965-8 ) , p.  380-381, 413-416, 445-452
• Claude Hazard, Frédy Lelong e Bruno Quinzain, Mémotech - Estruturas metálicas , Paris, Casteilla,1997, 352  p. ( ISBN  2-7135-1751-6 ) , p.  343
• D. Spenlé e R. Gourhant, Guia para calcular em mecânica: controlar o desempenho de sistemas industriais , Paris, Hachette,2003, 272  p. ( ISBN  2-01-168835-3 ) , p.  204

Artigos relacionados

• Endurecimento
• Estado limite final

links externos

• (en) Critérios de plasticidade: informações adicionais , ENS Cachan

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