Método do elemento finito
Na análise numérica , o método dos elementos finitos ( FEM ou método dos elementos finitos GEF em inglês) é usado para resolver numericamente as equações diferenciais parciais . Estes podem, por exemplo, representar analiticamente o comportamento dinâmico de certos sistemas físicos ( mecânico , termodinâmico , acústico , etc.).
Concretamente, isso permite, por exemplo, calcular numericamente o comportamento mesmo de objetos muito complexos, desde que sejam contínuos e descritos por uma equação diferencial parcial linear: movimento de uma corda sacudida por uma de suas pontas, comportamento de um fluido chegando em alta velocidade em um obstáculo, deformação de uma estrutura metálica, etc.
Introdução
O método dos elementos finitos é uma das ferramentas da matemática aplicada . Trata-se de estabelecer, a partir dos princípios herdados da formulação variacional ou formulação fraca , um algoritmo matemático discreto que permita encontrar uma solução aproximada de uma equação diferencial parcial (ou PDE) em um domínio compacto com condições nas bordas. e / ou no interior do compacto. Fala-se atualmente de condições do tipo Dirichlet (valores nas arestas) ou Neumann (gradientes nas arestas) ou Robin (relação / valores gradientes nas arestas).
Trata-se, portanto, sobretudo da resolução aproximada de um problema, onde, graças à formulação variacional, as soluções do problema verificam condições de existência mais fracas do que as das soluções do problema inicial e onde uma discretização permite encontrar um solução aproximada. Como muitos outros métodos numéricos, além do algoritmo de resolução em si, surgem as questões de qualidade da discretização:
A Parte 2 apresentará o arcabouço geral do método dos elementos finitos, bem como o caso prático mais comum considerando equações diferenciais parciais lineares para as quais buscamos uma aproximação por funções afins.
A apresentação na parte 3 é essencialmente física, em particular mecânica. Deve ser considerado apenas como uma apresentação dos elementos constituintes da modelização discreta usada na resistência de materiais via método dos elementos finitos. É uma abordagem totalmente válida, um bom exemplo pedagógico. Isso traz um certo viés no que diz respeito a uma abordagem mais geral, em particular devido à linearidade assumida dos materiais.
Método do elemento finito
Princípio geral
Considere um domínio Ω (tipicamente uma porção do espaço) cuja borda é denotada δΩ ou Σ. Procuramos determinar uma função u definida em Ω, que é uma solução de uma equação diferencial parcial (PDE) para determinadas condições de contorno . O PDE descreve o comportamento físico do sistema, são por exemplo as leis da elasticidade para um problema de resistência de materiais ou as equações de Maxwell para os problemas de eletromagnetismo . As condições de contorno são as tensões exercidas no sistema. Por exemplo, para um problema de resistência de materiais, impõe-se o deslocamento de certas partes do sistema, por exemplo, impõe-se que uma zona de suporte seja imóvel, e impõe-se forças em outras zonas (peso, pressão de contato ...).
O método dos elementos finitos (FEM) permite resolver este problema de forma discreta e aproximada; estamos procurando uma solução aproximada “suficientemente” confiável.
A discretização consiste em “cortar” o domínio Ω, ou seja, em buscar uma solução do problema em um domínio poligonal ou poliédrico por pedaços; há, portanto, uma redefinição da geometria. Uma vez que a geometria é aproximada, é necessário escolher um espaço de aproximação da solução do problema. No FEM, esse espaço é definido a partir da malha do domínio (o que também explica por que é necessário aproximar a geometria). A malha do domínio permite definir um pavimento do qual as pedras do pavimento são os elementos finitos .
Em cada um dos elementos finitos, é possível linearizar o PDE, ou seja, substituir a equação diferencial parcial por um sistema de equações lineares , por aproximação. Este sistema de equações lineares pode ser descrito por uma matriz; há, portanto, uma matriz por elemento finito. No entanto, as condições de contorno são definidas nos limites do sistema geral e não nos limites de cada elemento finito; portanto, é impossível resolver cada sistema de forma independente. As matrizes são, portanto, unidas dentro de uma matriz global. O sistema geral de equações lineares é resolvido pelo computador (sistemas simples podem ser resolvidos manualmente e geralmente são exercícios de aprendizagem).
A EDP é resolvida nos nós da malha, ou seja, a solução é calculada em pontos dados (resolução discreta) e não em cada ponto do campo Ω. Isso requer ser capaz de interpolar, ou seja, determinar os valores em qualquer ponto a partir dos valores conhecidos em certos pontos. Em geral, funções polinomiais são usadas .
Um elemento finito são os dados de uma célula elementar e de funções básicas do espaço de aproximação do qual o suporte é o elemento, e definidos de forma a serem interpolados (ver
Funções básicas ).
Vemos aqui emergindo três fontes de erros, ou seja, da diferença entre a solução calculada e os valores reais:
- modelagem da realidade: o domínio Ω geralmente corresponde às partes materiais, o cálculo é baseado em versões ideais (perfeitas) das partes, do material e das condições de contorno; essa fonte de erro não é específica do método dos elementos finitos e pode ser considerada pelo método da resistência à tensão ;
- a geometria ideal e contínua é substituída por uma geometria discreta e os valores são interpolados entre os pontos; quanto mais os pontos são espaçados, mais a função de interpolação corre o risco de se desviar da realidade, mas por outro lado, uma malha que é muito fina leva a tempos de cálculo extremamente longos e requer recursos de computador (em particular RAM ) importantes, portanto, é necessário encontrar um compromisso entre custo de cálculo e precisão dos resultados;
- no caso de cálculos numéricos, erros de arredondamento ocorrem inevitavelmente , pois os números são representados por um número finito de bytes.
A habilidade de um engenheiro consiste em dominar esses erros, em particular:
- pela simplificação da geometria ( desmontagem ) , pela retirada de detalhes que estão localizados longe das áreas a serem estudadas e que pouco influenciam no resultado;
- escolhendo malhas adequadas, por exemplo, malhas do tipo viga para peças delgadas, ou malhas do tipo casca para peças finas, cortando a peça para poder fazer malhas regulares em certas áreas, refinando a malha em áreas críticas ...
- por ter um olhar crítico sobre o resultado.
Embora existam muitos programas de software que exploram este método e permitem "resolver" problemas em vários campos, é importante que o usuário tenha uma boa idéia do que está fazendo, em particular no que diz respeito à escolha da malha e do tipo .de elementos que devem ser adaptados ao problema que se coloca: nenhum software faz tudo pelo utilizador, sendo sempre necessário estar atento às soluções aproximadas. Para isso, existem indicadores de erro e estimadores de erro que ajustam as várias configurações.
Da solução encontrada, resta, no entanto, determinar as características do método assim desenvolvido, em particular a unicidade da solução possível ou a estabilidade numérica do diagrama de resolução. É essencial encontrar uma estimativa justa do erro relacionado à discretização e mostrar que o método assim escrito converge, ou seja, o erro tende para 0 se a finura da malha também tende para 0.
No caso de um PDE linear com operador simétrico (como é o operador Laplaciano), é finalmente uma questão de resolver uma equação algébrica linear, invertível no melhor caso.
Dimensões
Para a explicação, desenvolvemos aqui o método dos elementos finitos em duas dimensões com valores reais. Supõe-se que as equações estudadas são equações diferenciais de segunda ordem.
O método pode ser generalizado para quadros de espaços de diferentes dimensões ou para equações diferenciais parciais de ordem superior:
- trata-se aqui do caso de uma solução real para um PDE; os casos em que a dimensão da solução seria maior são tratados de maneira semelhante, mas requerem gravações mais completas; os casos mais comumente encontrados são dimensão 1 (como aqui), 2 ou 3 (para problemas mecânicos), 6 ou 12 (para problemas reais ou complexos de eletromagnetismo, respectivamente );
- os graus mais elevados de diferenciação são reduzidos em menor grau pelo método clássico de redução de grau: variáveis adicionais são postas em jogo, ou seja, derivadas parciais das variáveis iniciais (exemplo clássico: os PDEs da estática mecânica dos feixes envolvem os parciais derivação de ordem 4); às vezes é possível, para graus mais elevados, aplicar os métodos de formulação variacional várias vezes a fim de obter ordens mais fracas - em qualquer caso, quando o grau de derivação é uniforme.
Embora teoricamente o método seja transponível para dimensões superiores do suporte, tecnicamente a complexidade de criação das discretizações aumenta com a dimensão ... e praticamente, raramente se resolve problemas em dimensões superiores a 3 - incluindo problemas de dinâmica no espaço com 3 dimensões que poderiam ser tratados em quatro dimensões, mas são realmente tratados com um método de elementos finitos mistos “no espaço” e em diferenças finitas “no tempo”.
Seja um domínio (limitado aberto e conectado) Ω de , de aresta δΩ e de adesão (compacta) Ω . Para simplificar as representações, assumimos a aresta poligonal.
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
Sejam as funções de Ω em diferenciável em Ω (compacto) e duas vezes diferenciável em Ω (aberto). Essas funções são contínuas e diferenciáveis na borda do compacto. Seja V (Ω) o conjunto dessas funções (V é um espaço vetorial de dimensão infinita e V 0 é o subespaço vetorial das funções de V que são zero na aresta δΩ).
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Sejam os mapas contínuos em Ω e diferenciáveis em Ω, de quadrados somados em Ω e de gradiente de quadrados somados em Ω (ou de derivadas parciais de quadrados somados, que equivalem ao suporte de dimensão finito). Vamos dar um nome a este espaço . Este espaço é um espaço de Sobolev . Nós dotar este espaço vectorial com um produto escalar resultante da de L 2 de tal modo que se ( u , v ) pertencem a este espaço, em seguida, o produto escalar de u e v é a seguinte:
H1(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} (\ Omega)}⟨você|v⟩H1(Ω)=∫Ω(∇você⋅∇v+vocêv)dω{\ displaystyle \ langle u | v \ rangle _ {{\ mathcal {H}} _ {1} (\ Omega)} = \ int _ {\ Omega} {(\ nabla u \ cdot \ nabla v + uv) \ , \ mathrm {d} \ omega}}
Denotamos o subespaço vetorial cujas funções são zero na aresta δΩ. O operador é um produto escalar no espaçoH10(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} ^ {0} (\ Omega)}H1(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} (\ Omega)}(x,y)↦x⋅y{\ displaystyle (x, y) \ mapsto x \ cdot y}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
Caso orgânico
Hipóteses
Consideramos ƒ uma função contínua em Ω com um quadrado somatório e u a solução da seguinte equação diferencial parcial em Ω ( Δ é o operador Laplaciano ):
-Δvocê+k2você=f{\ displaystyle \ displaystyle - \ Delta u + k ^ {2} u = f}
Com a condição de contorno u = 0 em δΩ. Isso também pode ser reescrito u ∈ V 0 . Essa condição de contorno é chamada de condição de Dirichlet .
Provamos que existe uma solução única para este problema PDE usando o teorema de Lax-Milgram .
Formulação fraca
Seja v ∈ V 0 arbitrário. Multiplique as duas partes da equação anterior por ve some sobre o domínio Ω, uma vez que v e ƒ são ambos somados ao quadrado sobre este domínio. Temos a equação:
-∫ΩvΔvocêdω+k2∫Ωvvocêdω=∫Ωvfdω{\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} {v \ Delta u \, \ mathrm {d} \ omega} + k ^ {2} \ int _ {\ Omega} {vu \, \ mathrm {d} \ omega } = \ int _ {\ Omega} {vf \, \ mathrm {d} \ omega} \,}
Usamos para o primeiro termo uma integração por partes :
-∫ΩvΔvocêdω=-∫∂Ω∂você∂nãovds+∫Ω(∇você⋅∇v)dω{\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} {v \ Delta u \, \ mathrm {d} \ omega} = - \ int _ {\ parcial \ Omega} {{\ frac {\ parcial u} {\ parcial n }} v \, \ mathrm {d} s} + \ int _ {\ Omega} {(\ nabla u \ cdot \ nabla v) \, \ mathrm {d} \ omega}}
Nesta formulação, v é zero na aresta ( v ∈ V 0 ) o que permite obter a formulação fraca do problema:
∫Ω∇você⋅∇vdω+k2∫Ωvvocêdω=∫Ωvfdω{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ nabla u \ cdot \ nabla v \, \ mathrm {d} \ omega} + k ^ {2} \ int _ {\ Omega} {vu \, \ mathrm {d } \ omega} = \ int _ {\ Omega} {vf \, \ mathrm {d} \ omega}}
Se u é duas vezes diferenciável, há equivalência entre esta formulação e aquela do problema inicial dado na hipótese da seção e então a solução da formulação fraca é a mesma que a solução inicial. Assim, pode-se resolver a formulação fraca em vez de resolver o problema inicial.
A questão de saber se há equivalência entre a formulação fraca e a formulação inicial dada nas hipóteses pode ser particularmente delicada nos casos limítrofes onde o Ω aberto não é suficientemente regular (por exemplo, se há pontos singulares ) ou se ƒ não é suficientemente diferenciável (se não assumirmos que ƒ é pelo menos L 2 ). Muitas vezes é então necessário reduzir-se a um estudo de caso a caso e nada diz que a formulação fraca terá as mesmas soluções da equação inicial. Na maioria dos problemas físicos, a solução é frequente e esses problemas não surgem. No entanto, para domínios com pontos singulares, essa equivalência pode representar um problema. Isso pode ser difícil para o estudo de rachaduras na mecânica de meios contínuos, por exemplo.
VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
Avaliações e estrutura geral
Para obter mais generalidade e tornar a sequência mais legível, usaremos as seguintes notações:
no(você,v)=∫Ω(∇você⋅∇v+k2vocêv)dω{\ displaystyle a (u, v) = \ int _ {\ Omega} {\ left (\ nabla u \ cdot \ nabla v + k ^ {2} uv \ right) \, \ mathrm {d} \ omega}}com um operador bilinear simétrico (de V 2 in );R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
eu(v)=∫Ωfvdω{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (v) = \ int _ {\ Omega} {fv \, \ mathrm {d} \ omega}}com um operador linear (de V in ).eu{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Podemos resolver pelo método dos elementos finitos qualquer equação diferencial parcial cuja forma fraca está na forma
no(você,v)=eu(v){\ displaystyle a (u, v) = {\ mathcal {L}} (v)}
Mostramos que a é um operador bilinear coercitivo contínuo de acordo com a norma (cf. espaço de Sobolev ) e um operador linear contínuo também de acordo com a norma . Com essas notações, o problema é reformulado da seguinte forma:
H10{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} ^ {0}}eu{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}H10{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} ^ {0}}∀v∈V0,no(você,v)=eu(v){\ displaystyle \ forall v \ in V_ {0}, a (u, v) = {\ mathcal {L}} (v)}
Como k > 0, o teorema de Lax-Milgram assegura a existência da solução e mostra que u , solução do problema anterior, é a única solução do problema de otimização do seguinte funcional:
∀v∈V0,J(v)=12no(v,v)-eu(v){\ displaystyle \ forall v \ in V_ {0}, {\ mathcal {J}} (v) = {\ frac {1} {2}} a (v, v) - {\ mathcal {L}} (v )}
Esta igualdade pode ter um significado físico em particular do ponto de vista da energia para certas equações físicas e pode ser usada para mostrar a existência e a singularidade da solução graças às propriedades de a e de (linearidade, coercividade, ...).
eu{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
Escolha de malha e discretização
Escolha de uma malha
O método dos elementos finitos é baseado em uma divisão do espaço de acordo com uma malha. Normalmente escolhe-se uma malha quadrada ou triangular, mas nada impede a escolha de malhas mais complexas. Também não é necessário que a malha seja regular e tende-se a apertar a malha próximo aos locais de interesse (por exemplo, nos locais onde se pensa que a solução irá variar muito); no entanto, deve-se ter cuidado para ter elementos ligeiramente distorcidos (aproxime-se de um polígono regular). Quanto mais essa malha é apertada, mais a solução obtida pelo método dos elementos finitos será precisa e próxima da solução “verdadeira” da equação com as derivadas parciais.
Tradicionalmente chamamos de h a maior dimensão de um elemento (o diâmetro da esfera em que o elemento está inscrito) e p o grau do polinômio que descreve o lado ou aresta ( p = 1 para lados / arestas retas, p = 2 para lados / borda com curvatura).
Idealmente, a malha deve, portanto, corresponder aos contornos δΩ do domínio. Se δΩ for curvo, então podemos:
- seja para usar elementos menores, fala-se em refinamento do tipo h ;
- seja para usar elementos cujos lados (em 2D) ou arestas (em 3D) são curvos, fala-se em refinamento do tipo p .
Quando o grau dos polinômios p é alto, falamos do método dos elementos espectrais .
Definição formal
O arcabouço matemático de elementos finitos permite colocar um sistema garantindo a boa definição da solução.
Elemento finito - Chamamos de elemento finito os dados de um tripleto ( K , P K , Σ K ) com
-
K é um domínio geométrico,
-
P K é um espaço de funções em K , que chamamos de espaço de funções básicas ,
-
Σ K é um conjunto de formas lineares em P K , que chamamos de graus de liberdade .
Esta definição oferece a priori muita liberdade, mas em geral várias condições são impostas: o campo K é tomado como não degenerado, o espaço das funções básicas será escolhido de dimensão finita e simples de calcular e os graus de liberdade serão ser considerado como verificação da propriedade de isolvência:
Unisolvance - O elemento finito ( K , P K , Σ K ) é dito unisolvant se os valores em cada grau de liberdade para especificar uma função única de P K .
Funções básicas
Deve-se então tomar uma base de funções “adaptadas” à malha. Então, várias opções são possíveis. Em geral, as funções básicas usadas para os elementos finitos são de interpolação, ou seja, os valores nodais são os valores das quantidades desconhecidas nos nós.
O mais simples é o uso de polinômios de Lagrange . Neste método, as funções básicas valem 1 em um nó da malha e 0 em todos os outros. A função básica i é então a função que vale 1 no nó i e 0 nos outros nós e que é polinomial em cada elemento. Um exemplo de tais funções é mostrado na dimensão 1 ao lado. Existem tantas funções básicas por elemento quanto muitos nós.
Chama-se elemento os dados de uma geometria (frequentemente poligonal em 2D, poliédrica em 3D) e de funções básicas associadas a esta geometria.
Outras soluções podem existir para funções básicas. Citam-se aqui como único exemplo os elementos finitos de Hermite que têm a particularidade de ter duas funções básicas associadas a cada nó. Nesta versão, o valor da solução é ajustado com a primeira função enquanto a segunda permite ajustar o valor da derivada. Este tipo de funções básicas pode ser de interesse para a resolução de certas equações diferenciais parciais (por exemplo, a equação da placa na mecânica do contínuo ), mesmo que requeira o dobro de funções para uma dada malha.
Alguns elementos clássicos
Em 2D:
- triângulos
- triângulos de grau 1, (triângulos com 3 nós, funções lineares)
- triângulos de grau 2 (triângulos com 6 nós, polinômios de grau 2)
- quadriláteros
- quadriláteros de grau 1 (quadrados com quatro nós, funções lineares)
- quadriláteros de grau 2 (quadrados com 8 ou 9 nós, polinômios de grau 2)
Em 3D:
- tetraedro
- tetraedros de grau 1, (quatro nós, funções lineares)
- tetraedros de grau 2, (dez nós, polinômios de grau 2)
- hexahedra
- hexahedra de grau 1, (oito nós, funções lineares)
- hexaedra de grau 2, (vinte nós, polinômios de grau 2)
- hexaedros triquadráticos, (vinte e sete nós, polinômios de grau 2)
Discretização
Ou seja, a malha e a base associada. Como a condição de Dirichlet impõe funções nulas nas arestas, usa-se apenas a sub-base limitada aos pontos internos de .
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}b=(e1...enão){\ displaystyle b = (e_ {1} ... e_ {n})}b{\ displaystyle b}Ω{\ displaystyle \ Omega}
Buscamos a solução do problema discretizado da seguinte forma:
você¯{\ displaystyle {\ bar {u}}}
você¯∈Vnão0|∀v∈Vnão0,no(você¯,v)=eu(v){\ displaystyle {\ bar {u}} \ in V_ {n} ^ {0} | \ forall v \ in V_ {n} ^ {0}, a ({\ bar {u}}, v) = {\ matemática {L}} (v)}
Porém, neste espaço discretizado, dizer que qualquer vetor satisfaz a proposição anterior equivale a dizer que todos os vetores da base verificam a proposição. Se dividirmos a solução na base dos interiores em componentes , obtemos:
você¯{\ displaystyle {\ bar {u}}}eeu{\ displaystyle e_ {i}}vocêeu{\ displaystyle u_ {i}}
∀j∈[1,...,não]∑eu=1nãovocêeuno(eeu,ej)=eu(ej){\ displaystyle \ forall j \ in [1, ..., n] \ sum _ {i = 1} ^ {n} {u_ {i} a (e_ {i}, e_ {j})} = {\ matemática {L}} (e_ {j})}
A ideia é que quando a malha se aperta e o número de funções de base n tende ao infinito (e o espaço gerado por esta base aumenta em direção a V 0 ), as soluções u n terão que convergir para a solução u da equação diferencial parcial inicial .
Vnão0{\ displaystyle V_ {n} ^ {0}}
Possível segunda discretização
Em certos problemas físicos, pode ser interessante discretizar uma segunda vez. Esta segunda discretização não é necessária para o método dos elementos finitos. Freqüentemente, temos como expressão :
eu{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}eu(ej)=∫Ωf⋅ej{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (e_ {j}) = \ int _ {\ Omega} f \ cdot e_ {j}}
Em seguida, projetamos f com base em b . Nós obtemos :
f¯=∑k=1nãofkek{\ displaystyle {\ overline {f}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} e_ {k}}
e nós nos aproximamos poreu(ej)=∫Ωf⋅ej{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (e_ {j}) = \ int _ {\ Omega} f \ cdot e_ {j}}∑k=1nãofk∫Ωekej,j=1,...,não.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} \ int _ {\ Omega} e_ {k} e_ {j}, \; j = 1, \ pontos, n.}
O problema é então obter uma projeção aceitável sabendo que não há necessariamente um produto escalar associado à base que possibilite projetar com eficiência. Nos dois exemplos de bancos de dados dados acima, essa projeção é fácil. No caso dos elementos finitos de Lagrange , a projeção na função e i é dada pelo valor em x i ; no caso dos elementos de Hermite, é tanto o valor da função como da sua derivada que permitem obter a projeção. Para outras bases, a projeção pode ser mais complicada.
f¯{\ displaystyle {\ overline {f}}}
Problema de matriz
Se observarmos:
- a matriz A , tendo como componentes o um (e I , e j ) ,
- o vetor U tendo como componentes o u i que são as coordenadas da solução aproximada na base b
- o vetor tendo como componentes oB{\ displaystyle B}eu(ej){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (e_ {j})}
então, este problema equivale a resolver a equação linear de n equações com n incógnitas:
NOvocê=B{\ displaystyle \ mathbf {A} U = B}
A matriz é chamada de matriz de rigidez por analogia com certos problemas da mecânica dos sólidos. A é simétrico por construção e, como a é coercivo , então A é simétrico, definido positivo e, portanto, invertível. Obtém-se, assim, a existência e singularidade do U = A -1 B . Graças às coordenadas de u com base em b , podemos construir a solução aproximada u . Quando a malha se aperta, essa solução aproximada tenderá para a verdadeira solução da equação diferencial parcial inicial.
NO{\ displaystyle A}
Para o caso com uma segunda discretização de um obtém-se:
eu(ej){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (e_ {j})}NOvocê=Mf{\ displaystyle \ mathbf {A} U = \ mathrm {M} f}
onde M é chamado de matriz de massa e os contém . f é um vetor que contém as coordenadas de f na base. O método é então o mesmo que com uma única discretização, já que A satisfaz as mesmas propriedades. Este método pode, por vezes, ser preferida quando ele pode de uma maneira simples para se obter a projecção de f sobre a base e a matriz M .
∫Ωeeu⋅ej{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} e_ {i} \ cdot e_ {j}}
Algoritmo
O método dos elementos finitos deve ser conduzido como
- Calculamos a matriz de rigidez A
- Um determina o membro à direita, calculando os termos ou então por intermédio da matriz de massa.eu(ej){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (e_ {j})}
- Resolve-se o problema AU = B ou o problema AU = Mf de acordo com o nível de discretização escolhido. U é então dado por . De acordo com a base escolhida e de acordo com os dados do problema, é necessário escolher o método de inversão mais eficiente para A. Esta é a etapa mais desgastante em termos de poder de computação e da eficiência do método em termos de o tempo de computação é jogado principalmente nesta etapa.você=NO-1B{\ displaystyle U = A ^ {- 1} B}
- Podemos escrever graças ao vetor U que contém as coordenadas de na base be obter uma solução aproximada para o problema.você¯{\ displaystyle {\ bar {u}}}você¯{\ displaystyle {\ bar {u}}}
Condição de Neumann
A condição que se segue é muito diferente da de Dirichlet. Definimos como condição na borda que a derivada normal existe na borda e que a condição de Neumann é verificada.
Ω¯{\ displaystyle {\ bar {\ Omega}}} ∂você∂não(Ω¯)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} ({\ overline {\ Omega}}) = 0}
Se a função deve ser diferenciável na aresta , mesmo que admita um gradiente .
Dvocê(X)⋅não=0,∀X∈Ω¯{\ displaystyle D_ {u} (X) \ cdot n = 0, \ forall X \ in {\ overline {\ Omega}}}⟨∇você(X)|não⟩=0,∀X∈Ω¯{\ displaystyle \ langle \ nabla u (X) | n \ rangle = 0, \ forall X \ in {\ overline {\ Omega}}}
O resultado funciona da mesma maneira porque o elemento-chave da prova onde a hipótese da aresta intervém é a integral, porque desta vez não é a função de teste, mas a derivada normal que é zero.
∫∂Ω∂você∂nãovdω=0{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} {{\ frac {\ partial u} {\ partial n}} v \, \ mathrm {d} \ omega} = 0}
A partir daí, a diferença reside principalmente na escolha dos vetores básicos para a discretização: é necessário preservar os testes de funções específicos para os nós de aresta.
Exemplos de problemas físicos
Histórico
O método dos elementos finitos surgiu com a análise de estruturas, nascida por volta de 1850. Os primeiros estudos foram realizados sobre a resistência de materiais em condições de pequenas deformações, o que permitiu obter sistemas simples resolvidos "manualmente"., Nomeadamente por Maxwell, Castigliano, Mohr. A formalização e o conceito matemático de elemento finito apareceram muito mais tarde, por volta de 1940 e a definição é colocada por Newmark, Hrenikoff, Mc Henry e Courant.
O advento da computação numérica e dos métodos de resolução baseados em computador de alto desempenho tornou possível popularizar o método.
Exemplo de um problema discreto: uma rede elétrica
Equação local do componente e :
eueue=1Re(vocêeue-vocêje)euje=1Re(vocêje-vocêeue)}⟹{eueueeuje}=1Re[1-1-11]{vocêeuevocêje}{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} I_ {i} ^ {e} = {1 \ over R ^ {e}} (U_ {i} ^ {e} -U_ {j} ^ {e}) \\ I_ {j} ^ {e} = {1 \ sobre R ^ {e}} (U_ {j} ^ {e} -U_ {i} ^ {e}) \ end {matriz}} \ direita \} \ Longrightarrow {\ begin {Bmatrix} I_ {i} ^ {e} \\ I_ {j} ^ {e} \ end {Bmatrix}} = {1 \ over R ^ {e}} {\ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 1 \ end {bmatriz}} {\ begin {Bmatriz} U_ {i} ^ {e} \\ U_ {j} ^ {e} \ end {Bmatriz}} \,} é {eue}=[Ke]{vocêe}.{\ displaystyle \ left \ {I ^ {e} \ right \} = \ left [K ^ {e} \ right] \ left \ {U ^ {e} \ right \}. \,}
Nós escrevemos :
- A continuidade dos potenciais em cada conexão ;eu{\ displaystyle i \,}
- O equilíbrio das correntes em cada conexão;
- A adição de correntes externas .Peu{\ displaystyle P ^ {i} \,}
Obtemos a equação global do sistema montado:
Peu=∑j=1m∑e=1mKeujevocêje{\ displaystyle P ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {e = 1} ^ {m} K_ {ij} ^ {e} U_ {j} ^ {e} \ ,}
é :
{P}=[K]{você}{\ displaystyle \ left \ {P \ right \} = \ left [K \ right] \ left \ {U \ right \} \,}
Definição de um elemento finito
No cálculo estrutural, um elemento finito é caracterizado por duas matrizes:
- A matriz de rigidez [K]{\ displaystyle \ left [K \ right] \,}
- A matriz de massa [M]{\ displaystyle \ left [M \ right] \,}
Aplicação do método dos elementos finitos à mecânica
Definições e Notações
Busca-se aqui determinar o vetor de deslocamentos. É um vetor cujo cada componente também é denominado grau de liberdade (dof):
{você}.{\ displaystyle \ left \ {U \ right \}. \,}
- Tradução 3-DOF: ;vocêx,vocêy,vocêz{\ displaystyle U_ {x}, U_ {y}, U_ {z} \,}
- Rotação 3-DOF: .θx,θy,θz{\ displaystyle \ theta _ {x}, \ theta _ {y}, \ theta _ {z} \,}
Em seguida, escreve-se o tensor das deformações , que modela a maneira como o material será deformado em relação à sua posição inicial.
[ϵ]{\ displaystyle \ left [\ epsilon \ right] \,}
Partindo do pressuposto de pequenas deformações, temos (NO′B′)2=(dx+∂você∂x dx)2+(∂v∂x dx)2{\ displaystyle (A'B ') ^ {2} = \ left (dx + {\ parcial u \ over \ partial x} \ dx \ right) ^ {2} + \ left ({\ parcial v \ parcial x} \ dx \ right) ^ {2} \,}
ϵx=NO′B′-NOBNOB{\ displaystyle \ epsilon _ {x} = {{A'B'-AB} \ sobre AB} \,}
Tipo , nós temosNOB=dx{\ displaystyle AB = dx \,}NO′B′=(1+ϵx)dx{\ displaystyle A'B '= (1+ \ epsilon _ {x}) \, dx \,}
⇒2ϵx+ϵx2=2∂você∂x+(∂você∂x)2+(∂v∂x)2{\ displaystyle \ Rightarrow 2 \ epsilon _ {x} + \ epsilon _ {x} ^ {2} = 2 {\ parcial u \ sobre \ parcial x} + \ esquerda ({\ parcial u \ sobre \ parcial x} \ direita) ^ {2} + \ esquerda ({\ parcial v \ sobre \ parcial x} \ direita) ^ {2} \,}
Sob a suposição de pequenas deformações, negligencia-se os termos da ordem 2:
ϵx=∂você∂x{\ displaystyle \ epsilon _ {x} = {\ parcial u \ sobre \ parcial x} \,}
Nota: é adimensional.
ϵ{\ displaystyle \ epsilon \,}
Em seguida, escreve-se o tensor das tensões ) , que representa as forças internas que se aplicam à estrutura.
[σ]{\ displaystyle \ left [\ sigma \ right] \,}
-
σ11,σ22,σ33{\ displaystyle \ sigma _ {11}, \ sigma _ {22}, \ sigma _ {33} \,} : tensões normais
-
σ12,σ13,σ23{\ displaystyle \ sigma _ {12}, \ sigma _ {13}, \ sigma _ {23} \,} : tensões de cisalhamento
Uma tensão é homogênea a uma pressão (N / m²).
Esses dois tensores estão ligados por uma lei constitutiva. Consideramos a lei de Hooke :
{σ11σ22σ33σ12σ23σ31}=E(1-ν)(1+ν)(1-2ν)[1ν1-νν1-ν0001ν1-ν0001000(1-2ν)2(1-ν)00(sym)(1-2ν)2(1-ν)0(1-2ν)2(1-ν)]{ϵ11ϵ22ϵ33γ12γ23γ31}{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {12} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} \ end {Bmatrix}} = {{E (1- \ nu)} \ over {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} {\ begin {bmatrix} 1 & {\ nu \ over {1- \ nu}} & {\ nu \ over {1- \ nu}} & 0 & 0 & 0 \\ & 1 & {\ nu \ over {1- \ nu}} & 0 & 0 & 0 \\ && 1 & 0 & 0 & 0 \\ &&& {(1-2 \ nu) \ over {2 (1- \ nu)}} & 0 & 0 \\ & {\ mbox {(sym)} } &&& {(1-2 \ nu) \ over {2 (1- \ nu)}} & 0 \\ &&&&& {(1-2 \ nu) \ over {2 (1- \ nu)}} \ end { bmatriz}} {\ begin {Bmatrix} \ epsilon _ {11} \\\ epsilon _ {22} \ \\ epsilon _ {33} \\\ gamma _ {12} \\\ gamma _ {23} \\\ gama _ {31} \ end {Bmatrix}} \,}
com
-
E{\ displaystyle E \,}: Módulo de Young (N / m²)
-
ν{\ displaystyle \ nu \,} : Coeficiente de Poisson (adimensional)
Às vezes, o módulo de cisalhamento é usado: G=E2(1+ν){\ displaystyle G = {E \ over {2 (1+ \ nu)}} \,}
Para um material isotrópico , existem apenas dois parâmetros independentes. Existem 6 para um material isotrópico transversal, 9 para um material ortotrópico e 21 para um material anisotrópico .
Em notação de matriz, escrevemos: {σ}=[D]{ϵ}{\ displaystyle \ left \ {\ sigma \ right \} = \ left [D \ right] \ left \ {\ epsilon \ right \} \,}
[D]{\ displaystyle \ left [D \ right] \,} é chamada de matriz de elasticidade do material.
A energia de deformação W é escrita
C=12∫vσ.ϵ.dv{\ displaystyle W = {1 \ over 2} \ int _ {v} \ sigma. \ epsilon. \, \ mathrm {d} v \,}
Trabalho de uma força
É o produto da força pelo deslocamento de seu ponto de aplicação:
τF=12F.vocêF{\ displaystyle \ tau _ {F} = {1 \ over 2} F.U_ {F} \,}
Momento
É a medida de uma ação que causa uma rotação, proporcional à força e ao comprimento do braço de alavanca entre o centro de rotação do sólido e o ponto de aplicação da força.
Equações fundamentais
Equações de equilíbrio local
∂σx∂x+∂σxy∂y+∂σxz∂z+Fx=0{\ displaystyle {\ partial \ sigma _ {x} \ over \ partial x} + {\ partial \ sigma _ {xy} \ over \ partial y} + {\ partial \ sigma _ {xz} \ over \ partial z} + F_ {x} = 0 \,}
∂σy∂y+∂σxy∂x+∂σyz∂z+Fy=0{\ displaystyle {\ partial \ sigma _ {y} \ over \ partial y} + {\ partial \ sigma _ {xy} \ over \ partial x} + {\ partial \ sigma _ {yz} \ over \ partial z} + F_ {y} = 0 \,}
∂σz∂z+∂σzx∂x+∂σzy∂y+Fz=0{\ displaystyle {\ partial \ sigma _ {z} \ over \ partial z} + {\ partial \ sigma _ {zx} \ over \ partial x} + {\ partial \ sigma _ {zy} \ over \ partial y} + F_ {z} = 0 \,}
Relações de deformação-deslocamento
ϵx=∂você∂xϵy=∂v∂yϵz=∂C∂z{\ displaystyle {\ epsilon _ {x} = {\ parcial u \ over \ parcial x}} \ qquad {\ epsilon _ {y} = {\ parcial v \ over \ parcial y}} \ qquad {\ epsilon _ { z} = {\ parcial w \ sobre \ parcial z}} \,}
γxz=∂C∂x+∂você∂z{\ displaystyle \ gamma _ {xz} = {\ parcial w \ over \ partial x} + {\ parcial u \ over \ parcial z} \,}
γxy=∂você∂y+∂v∂x{\ displaystyle \ gamma _ {xy} = {\ parcial u \ over \ parcial y} + {\ parcial v \ over \ parcial x} \,}
γyz=∂C∂y+∂v∂z{\ displaystyle \ gamma _ {yz} = {\ parcial w \ over \ parcial y} + {\ parcial v \ over \ parcial z} \,}Simbolicamente, nós escrevemos
{ϵ}=[S]{você}{\ displaystyle \ {\ epsilon \} = [S] \ {U \} \,}
Se alguém aplica à barra uma restrição , observa-se um estreitamento na direção y correspondente a uma deformaçãoσx{\ displaystyle \ sigma _ {x} \,}-νσxE{\ displaystyle - \ nu \ sigma _ {x} \ over E \,}
Exemplo de formulação: barra de tração
Supõe-se que o deslocamento em qualquer ponto da barra é dado por um polinomial de 1 r grau:você(x)=no1+no2x{\ displaystyle u (x) = a_ {1} + a_ {2} x \,}
Nós temos e
você(0)=você1{\ displaystyle u (0) = u_ {1} \,}você(eu)=você2{\ displaystyle u (L) = u_ {2} \,}
de onde
você(x)=você1(1-xeu)+xeuvocê2{\ displaystyle u (x) = u_ {1} \ left (1- {x \ over L} \ right) + {x \ over L} u_ {2} \,}
que escrevemos simbolicamente: com
Deduzimos:você(x)=[NÃO(x)]{você}{\ displaystyle u (x) = [N (x)] \ {U \} \,}|[NÃO(x)]=[(1-xeu);(xeu)]{você}={você1você2}{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} [N (x)] & = & \ left [\ left (1- {x \ over L} \ right); \ left ({x \ over L} \ right) ) \ right] \\\ {U \} & = & {\ begin {Bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {Bmatrix}} \ end {matrix}} \ right. \,}
ϵ=[-1eu;1eu]{você1você2}=[B]{você}{\ displaystyle \ epsilon = \ left [- {1 \ over L}; {1 \ over L} \ right] {\ begin {Bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {Bmatrix}} = [ BEBIDO\}\,}
σ=E[-1eu;1eu]{você1você2}=[D]ϵ{\ displaystyle \ sigma = E \ left [- {1 \ over L}; {1 \ over L} \ right] {\ begin {Bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {Bmatrix}} = [D] \ epsilon \,}
Por outro lado, temos por definição:
{F1F2}={-σSσS}{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {1} \\ F_ {2} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} - \ sigma S \\\ sigma S \ end {Bmatrix}} \,} onde S é a área da seção da barra.
Nós perguntamos:
{F}={F1F2}=[NO]σcom{NO}=S{-11}{\ displaystyle \ {F \} = {\ begin {Bmatrix} F_ {1} \\ F_ {2} \ end {Bmatrix}} = [A] \ sigma \ qquad {\ mbox {with}} \ qquad \ { A \} = S {\ begin {Bmatrix} -1 \\ 1 \ end {Bmatrix}} \,}Finalmente conseguimos:
{F}=[NO][D][B]{você}{\ displaystyle \ {F \} = [A] [D] [B] \ {U \} \,}Considere uma relação do tipo:
{F}=[K]{você}com[K]=[NO][D][B]{\ displaystyle \ {F \} = [K] \ {U \} \ qquad {\ mbox {com}} \ qquad [K] = [A] [D] [B] \,}Explicando:
[K]=ESeu[1-1-11]{\ displaystyle [K] = {ES \ over L} {\ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 1 \ end {bmatrix}} \,}Vê-se que a matriz de rigidez é calculada como o produto de três matrizes:
[B]{\ displaystyle [B] \,} : Transformação de deslocamentos em deformações
[D]{\ displaystyle [D] \,} : Matriz de elasticidade do material
[NO]{\ displaystyle [A] \,} : Transformação de tensões em forças
Formulação geral (método direto)
O processo é como se segue:
- Um expressa o deslocamento em qualquer ponto do elemento de acordo com os deslocamentos nos nós{você(x)}{\ displaystyle \ {u (x) \} \,}{você(x)}=[NÃO(x)]{você}{\ displaystyle \ {u (x) \} = [N (x)] \ {U \} \,}
- Expressa-se as deformações de acordo com os deslocamentos de onde{ϵ(x)}=[S]{você(x)},{\ displaystyle \ {\ epsilon (x) \} = [S] \ {u (x) \}, \,}
{ϵ(x)}=[S]{NÃO(x)}{você}=[B(x)]{você}{\ displaystyle \ {\ epsilon (x) \} = [S] \ {N (x) \} \ {U \} = [B (x)] \ {U \} \,}Escreve-se a lei constitutiva do material que conecta as tensões às deformações:
{σ(x)}=[D]{ϵ(x)}{\ displaystyle \ {\ sigma (x) \} = [D] \ {\ epsilon (x) \} \,}Está escrito que o trabalho das forças externas aplicadas à estrutura para um deslocamento virtual é igual ao trabalho interno das tensões para este mesmo deslocamento:
δvocê{\ displaystyle \ delta U \,}
{δvocê}T{F}=∫V{δϵ}T{σ}dv{\ displaystyle \ {\ delta U \} ^ {T} \ {F \} = \ int _ {V} \ {\ delta \ epsilon \} ^ {T} \ {\ sigma \} \, \ mathrm {d } v \,}Ao explicar, temos:
{δvocê}T{F}={δvocê}T(∫V[B]T[D][B]dv){você}{\ displaystyle \ {\ delta U \} ^ {T} \ {F \} = \ {\ delta U \} ^ {T} \ left (\ int _ {V} [B] ^ {T} [D] [B] \, \ mathrm {d} v \ direita) \ {U \} \,}Como essa relação é verdadeira para qualquer deslocamento virtual, deduz-se dela:
{F}=[K]{você}{\ displaystyle \ {F \} = [K] \ {U \} \,}com em sua forma mais geral:[K]{\ displaystyle [K] \,}[K]=∫V[B]T[D][B]dv{\ displaystyle [K] = \ int _ {V} [B] ^ {T} [D] [B] \, \ mathrm {d} v \,}
Observações
- A relação acima mostra que é simétrica.[K]{\ displaystyle [K] \,}
- O termo atual da matriz corresponde à força que é exercida sobre o nó quando se impõe um deslocamento unitário do nó .Keuj{\ displaystyle K_ {ij} \,}eu{\ displaystyle i \,}j{\ displaystyle j \,}
A simetria da qual é escrita corresponde mecanicamente ao teorema da reciprocidade de Maxwell-Betti .
[K]{\ displaystyle [K] \,}Keuj=Kjeu{\ displaystyle K_ {ij} = K_ {ji} \,}
O que vai diferenciar os diferentes tipos de elementos finitos?
- A escolha das funções N (x)
- A natureza do operador S (conectando deformações e deslocamentos) que depende do tipo de teoria elástica usada:
Observações
O processo de formulação de um elemento finito descrito aqui é o do método direto (também conhecido como método dos deslocamentos). Existem outras abordagens:
Todas essas abordagens são equivalentes e levam à construção da mesma matriz de rigidez.
Elementos finitos em estresse
Em vez de buscar uma solução aproximada no deslocamento, pode-se também buscar a solução aproximada no estresse.
No caso da mecânica, a aplicação do princípio das potências virtuais fornece teoremas de energia de uma forma não trivial . Pode-se levar ao mesmo resultado em poucas linhas, escrevendo o erro na relação comportamental .
A abordagem restritiva consiste em buscar no espaço dos campos de tensões admissíveis aquele que atinja o mínimo de energia complementar.
Esta abordagem é mais precisa do que a abordagem em deslocamento, mas é pouco desenvolvida devido à dificuldade que se tem de gerar campos de tensões de determinada divergência.
Estudo das funções N (x)
- No caso geral da elasticidade tridimensional, elas são na verdade funções de x, y, z.
- As funções mais comumente usadas são polinômios .
- Polinômio de grau 1: elemento linear (2 nós por aresta)
- Polinômio de grau 2: elemento parabólico (3 nós por aresta)
- Polinômio de grau 3: elemento cúbico (4 nós por aresta)
As funções N (x) são chamadas de funções de forma ou funções de interpolação de elemento .
Elementos isoparamétricos
[K]=∫V[B]T[D][B]dv{\ displaystyle [K] = \ int _ {V} [B] ^ {T} [D] [B] \, \ mathrm {d} v \,}
Surge então um dilema: ou se constrói para um certo número de elementos de forma e de geometria fixa, e é necessário, então, engrenar uma estrutura complexa, usar um grande número de elementos, ou usar elementos com geometrias variáveis, e é necessário reconstruir a cada vez.
[K]{\ displaystyle [K] \,}[K]{\ displaystyle [K] \,}
Uma solução atual é usar funções de interpolação para descrever não apenas o campo de deslocamento do elemento, mas também sua geometria, enquanto se trabalha em coordenadas locais.
Interpolação de geometria
x= NÃO~1(x)x1+NÃO~2(x)x2 +NÃO~3(x)x3+NÃO~4(x)x4{\ displaystyle {\ begin {matrix} x & = & \ & {\ tilde {N}} _ {1} (x) x_ {1} + {\ tilde {N}} _ {2} (x) x_ { 2} \\\ & \ & + & {\ tilde {N}} _ {3} (x) x_ {3} + {\ tilde {N}} _ {4} (x) x_ {4} \ end { matriz}} \,}
Idem para as outras coordenadas.
|
|
|
Coordenadas locais (caso 2D)
Elemento isoparamétrico
Um elemento é considerado isoparamétrico se tomarmos as mesmas funções de interpolação para deslocamento e geometria.
NÃO~(x)=NÃO(x){\ displaystyle {\ tilde {N}} (x) = N (x) \,}
Outras classes de elemento
Avaliação de K
A forma geral está escrito:
Nós passar para as variáveis locais
Temos
[K]=∫x∫y∫zG(x,y,z)dxdydz{\ displaystyle [K] = \ int _ {x} \ int _ {y} \ int _ {z} G (x, y, z) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \ , \ mathrm {d} z \,}
ξ,η,ζ{\ displaystyle \ xi, \ eta, \ zeta \,}
dxdydz=det(J)dξdηdζ{\ displaystyle \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z = \ det (J) \, \ mathrm {d} \ xi \, \ mathrm {d} \ eta \, \ mathrm {d} \ zeta \,}
J{\ displaystyle J \,}é chamada de
matriz Jacobiana .
Somos então levados a calcular integrais do tipo:
∫-1+1∫-1+1∫-1+1G(ξ,η,ζ)detJ dξdηdζ{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {+ 1} \ int _ {- 1} ^ {+ 1} \ int _ {- 1} ^ {+ 1} G (\ xi, \ eta, \ zeta) \ det J \ \, \ mathrm {d} \ xi \, \ mathrm {d} \ eta \, \ mathrm {d} \ zeta \,}
Benefício da abordagem
Voltamos a um campo de integração simples e invariável para o qual podemos aplicar as fórmulas da quadratura gaussiana :
o e sendo tabulado.
O são chamados de pontos de integração do elemento ou Gauss pontos do elemento.
∫-1+1f(x)dx=∑k=1nãoHkf(nok){\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {+ 1} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} f (a_ {k} ) \,}nok{\ displaystyle a_ {k} \,}Hk{\ displaystyle H_ {k} \,}
nok{\ displaystyle a_ {k} \,}
Caso especial: elementos axissimétricos
Decomposição da série de Fourier:
você(r,θ,z)=∑nãovocênãos(r,z)porque(nãoθ)+∑nãovocênãos(r,z)pecado(nãoθ){\ displaystyle u (r, \ theta, z) = \ sum _ {n} u_ {n} ^ {s} (r, z) \ cos (n \ theta) + \ sum _ {n} u_ {n} ^ {s} (r, z) \ sin (n \ theta) \,}A simetria do eixo corresponde à restrição desta decomposição.não=0{\ displaystyle n = 0 \,}
você(r,θ,z)=vocênãos(r,z){\ displaystyle u (r, \ theta, z) = u_ {n} ^ {s} (r, z) \,}Observação
Para usar este tipo de elemento, o problema deve ser geralmente axissimétrico:
- geometria
- condições de fronteira
- o carregamento
Processo de cálculo (caso estático)
- Malha
- Construção da matriz de rigidez de cada elemento [Ke]{\ displaystyle [K ^ {e}] \,}
- Montagem da matriz global [K]{\ displaystyle [K] \,}
- Construção do vetor de carregamento {F}{\ displaystyle \ {F \} \,}
- Eliminação de certos DOF (se necessário)
- Resolução: {você}=[K-1]{F}{\ displaystyle \ {U \} = [K ^ {- 1}] \ {F \} \,}
- Cálculo de quantidades derivadas de {você}{\ displaystyle \ {U \} \,}
{ϵe}=[Be]{vocêe}{\ displaystyle \ {\ epsilon ^ {e} \} = [B ^ {e}] \ {U ^ {e} \} \,}
{σe}=[De]{ϵe}{\ displaystyle \ {\ sigma ^ {e} \} = [D ^ {e}] \ {\ epsilon ^ {e} \} \,}
Ce=12{ϵe}T{σe}{\ displaystyle W ^ {e} = {1 \ over 2} \ {\ epsilon ^ {e} \} ^ {T} \ {\ sigma ^ {e} \} \,}
Software de cálculo de elementos finitos
Alguns exemplos de software usando o método dos elementos finitos em mecânica estrutural:
-
ABAQUS : software multidisciplinar desenvolvido pela empresa Dassault Systèmes
-
ACORD : software de cálculo para vigas e cascas com verificações regulatórias de acordo com os Eurocódigos (1, 2, 3, 5, 8) desenvolvido pela empresa ITECH
-
Analysis3D : software multidisciplinar gratuito desenvolvido pela Cuylaerts Engineering .
-
ANSYS : software multidisciplinar desenvolvido por ANSYS
-
Calculix : Grátis 3D cálculo software utilizado, por exemplo, o software de design livre FreeCAD .
-
CAST3M : software multidisciplinar francês desenvolvido pelo CEA (gratuito para ensino e pesquisa)
-
ASTER : software multidisciplinar francês de código aberto desenvolvido pela EDF
-
COMSOL Multiphysics : software multidisciplinar desenvolvido pela Comsol,
-
EuroPlexus : software francês
-
Flux2D / 3D: software francês de elementos finitos 2D e 3D (desenvolvido em colaboração com GE2Lab) que permite o cálculo de estados magnéticos, elétricos ou térmicos em estados permanentes, harmônicos e transientes, com funcionalidades estendidas de análise multiparamétrica, acoplamentos de circuito e cinemática.
-
FreeFem ++ : software multidisciplinar gratuito.
-
Feel ++ : software multidisciplinar gratuito.
-
ICAB : software de cálculo para vigas e cascas com verificações regulatórias de acordo com o documento técnico unificado DTU França (NV65, CM66, AL76, CB71 ...), Eurocódigos , American AISC
- Simcenter 3D: software multidisciplinar desenvolvido pela empresa Siemens Industry Software anteriormente Siemens PLM Software
-
Z-set / ZéBuLon : software comercial de cálculo não linear com leis de materiais complexas desenvolvido pela ONERA / Safran Tech / Mines ParisTech para pesquisa.
Notas e referências
-
Para certos casos limítrofes, quando não há regularidade suficiente e a integração por partes não faz sentido, uma formulação adaptada do teorema de Stokes também é usada, mas é necessário definir a derivada fraca e então a divergência baixa, levando a complicações adicionais .
-
(em) Métodos avançados de elementos finitos , Universidade do Colorado em Boulder,2013( leia online [PDF] ) , “The Linear Tetrahedron”
-
(em) Métodos avançados de elementos finitos , Universidade do Colorado em Boulder,2013( leia online [PDF] ) , “The Quadratic Tetrahedron”
-
(em) Métodos avançados de elementos finitos , Universidade do Colorado em Boulder,2013( leia online [PDF] ) , "Elementos hexaedro"
-
FreeCAD usa Calculix
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
- G. Allaire e A. Craig: Análise Numérica e Otimização: Uma Introdução à Modelagem Matemática e Simulação Numérica
- KJ Bathe: métodos numéricos em análise de elemento finito , Prentice-Hall (1976) ( ISBN 0136271901 )
- PG Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems , Series “Studies in Mathematics and its Applications”, North-Holland, Amsterdam, 1978 ( ISBN 9780444850287 ) .
- RH Gallagher: Introdução aos Elementos Finitos , Pluralis (1977)
- PA Raviart e JM Thomas, Introdução à análise numérica de equações diferenciais parciais, Dunod, 2004 ( ISBN 9782100486458 ) .
- OC Zienkiewicz, RL Taylor, JZ Zhu: O Método dos Elementos Finitos: Sua Base e Fundamentos , Butterworth-Heinemann; 6 th edition (21 de março de 2005) ( ISBN 0750663200 )
links externos
-
(pt) RDM Le Mans v.6 , software para download
-
(fr) Code_Aster: funções de forma e pontos de integração de elementos finitos , Josselin DELMAS
-
(fr) O método dos elementos finitos em engenharia biomédica e biomecânica
-
(pt) Método dos elementos finitos , Hervé Oudin, École Centrale de Nantes
-
(pt) O Método dos Elementos Finitos: Popularização dos aspectos matemáticos, Ilustração das capacidades do método, Vincent Manet
-
(fr) Métodos numéricos aplicados ao projeto de elementos finitos , David Dureisseix, Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc
-
(fr) Formulações matemáticas e resolução numérica em mecânica , Christian Wielgosz, Bernard Peseux, Yves Lecointe, University of Nantes
-
(fr) Soluções de Projeto para Engenharia Elétrica , Fluxo pioneiro no desenvolvimento de formulações EF
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">