Cubo de jerusalém

O cubo de Jerusalém é um fractal sólido descoberto por Eric Baird. Sua construção é próxima à da esponja de Menger , mas ao contrário desta última, sua homotetia não é inteira ou fracionária e cada iteração cria elementos autossimilares de classificação n + 1 e n + 2. Tem esse nome devido à semelhança com a cruz de Jerusalém .

Definição formal

Deixe a homothety ratio ser:

{\ displaystyle k = {\ sqrt {2}} - 1}

Sejam os oito vetores de tradução para as posições dos oito cubos de classificação 1 na primeira iteração: $f_ {i}$

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {8} f_ {i} = {\ Bigl \ {} {\ bigl (} a (1-k), b (1-k), c (1-k ) {\ bigr)} {\ big /} a, b, c \ in \ {0,1 \} {\ Bigr \}}}

Sejam os doze vetores de tradução as posições dos doze cubos de classificação 2 na primeira iteração: $g_ {j}$

{\ displaystyle \ bigcup _ {j = 1} ^ {12} g_ {j} = {\ Bigl \ {} {\ bigl (} a, b, c {\ bigr)} {\ big /} a, b, c \ in \ {0, k, 1-k ^ {2} \} {\ mbox {e exatamente um de}} a, b, c {\ mbox {vale}} k {\ Bigr \}}}

A operação de translação do vetor v de um conjunto C de pontos p é definida por: ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle T_ {v} (C) = {\ Bigl \ {} p + v {\ big /} p \ in C {\ Bigr \}} {\ mbox {onde}} p + v {\ mbox {corresponde para}} (p_ {0} + v_ {0}, p_ {1} + v_ {1}, p_ {2} + v_ {2})}

A operação de homotetia de razão r de um conjunto C de pontos p de é definida por: ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle H_ {r} (C) = {\ Bigl \ {} rp {\ big /} p \ in C {\ Bigr \}} {\ mbox {onde}} rp {\ mbox {corresponde}} (rp_ {0}, rp_ {1}, rp_ {2})}

Deixe o cubo unitário ser:

{\ displaystyle C_ {0} = {\ Bigl \ {} p = {\ bigl (} x, y, z {\ bigr)} \ in \ left [0,1 \ right] ^ {3} {\ mbox { in}} \ mathbb {R} ^ {3} {\ Bigr \}}}

O cubo de Jerusalém da iteração n é definido por:

{\ displaystyle C_ {n} = {\ Bigl \ {} \ bigcup _ {i = 1} ^ {8} T_ {f_ {i}} {\ bigl (} H_ {k} (C_ {n-1}) {\ bigr)} {\ Bigr \}} \ bigcup {\ Bigl \ {} \ bigcup _ {j = 1} ^ {12} T_ {g_ {j}} {\ bigl (} H_ {k ^ {2} } (C_ {n-1}) {\ bigr)} {\ Bigr \}}}

O cubo de Jerusalém é finalmente:

{\ displaystyle C = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} C_ {n}}

É também o limite de quando n tende ao infinito, porque temos $C_ {n}$ ${\ displaystyle C_ {n} \ cap C_ {n-1} = C_ {n}}$

Construção

A construção do cubo de Jerusalém pode ser descrita sem explicar sua homotetia:

Comece com um cubo.
Em cada face, perfure uma cruz através de todo o cubo, de modo a manter nos cantos do cubo inicial oito cubos da seguinte classificação (+1) e na extensão de cada ramo da cruz um cubo de classificação +2 que s 'é inserido entre os cubos de classificação +1. Cada cubo de classificação +2 tem uma aresta alinhada e centrada em uma das arestas do cubo inicial. A proporção dos lados de um cubo de classificação +1 para aqueles do cubo inicial é igual à proporção dos lados dos cubos de classificação +2 para aqueles de classificação +1, esta restrição determina o comprimento e largura dos ramos da cruz.
Repita a operação nos cubos de classificação +1 e +2

Cada iteração em um cubo adiciona oito cubos de classificação +1 e doze cubos de classificação +2, ou seja, uma multiplicação por vinte como para a esponja Menger, mas com dois tamanhos de cubo diferentes.

Após um número infinito de iterações, o sólido obtido é o cubo de Jerusalém.

Propriedades

A homothety ratio para a autossimilaridade do cubo de Jerusalém é calculada a partir da observação de uma das faces do cubo. Obtemos um número irracional, ao contrário de muitos outros fractais que têm proporções inteiras ou fracionárias.

Esta particularidade implica que o cubo não pode ser construído com base em uma grade.

Esta homotetia irracional contrasta com a aparente simplicidade da construção do cubo, que não usa outros ângulos além dos ângulos retos.

Cálculo da razão de homotetia

Seja $c n$ o comprimento do lado do cubo componente de classificação n .

Na largura de um cubo componente, temos dois cubos de classificação +1 e um cubo de classificação +2, o lado de um cubo de classificação n é, portanto:

{\ displaystyle c_ {n} = 2c_ {n + 1} + c_ {n + 2}}

Por construção, temos uma proporção constante de um posto para outro:

{\ displaystyle k = {\ frac {c_ {n + 1}} {c_ {n}}} = {\ frac {c_ {n + 2}} {c_ {n + 1}}}}

Deduzimos a razão de homotetia k :

{\ displaystyle k = {\ sqrt {2}} - 1 \ simeq 0,414}

Dimensão de Hausdorff

Para o cálculo da dimensão de Hausdorff do cubo de Jerusalém, usamos a razão de homotetia:

{\ displaystyle k = {\ sqrt {2}} - 1}

e retomando o diagrama de construção do cubo, todo disjunto, acontece que a dimensão do cubo d satisfaz:

{\ displaystyle 8k ^ {d} + 12k ^ {2d} = 1}

portanto, uma dimensão de Hausdorff que é igual exatamente a:

{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln ({\ frac {\ sqrt {7}} {6}} - {\ frac {1} {3}})} {\ ln ({\ sqrt {2}} -1)}} \ simeq 2.529}

Observe que é menor do que a esponja Menger , cerca de 2,7268.

Apêndices

links externos

(pt) Página de apresentação do cubo de Jerusalém

Bibliografia

Revista Tangente nº 150 sobre arte fractal, janeiro-fevereiro 2013, p. 45

Referência

Tangente Magazine n ° 150, Fractal Art (2013), p. 45 .
Eric Baird, " The Jerusalem Cube " , Alt.Fractals,18 de agosto de 2011(acessado em 13 de março de 2013 )