Cúbico de Tschirnhausen
Em geometria , a cúbica de Tschirnhausen é uma curva algébrica definida pela equação polar
r=noseco3(θ/3).{\ displaystyle r = a \ sec ^ {3} (\ theta / 3).}
História
Esta curva foi estudada por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , Guillaume de l'Hôpital e Eugène Catalan . O nome "cúbica de Tschirnhausen" foi mencionado pela primeira vez em 1900 por Raymond Clare Archibald, embora às vezes seja conhecido como "cúbica de hospital" ou "trisectrice catalã".
Outras equações
Seja t = tan ( θ / 3) . De acordo com a fórmula de De Moivre , isso dá:
x=noporque(θ)seco3(θ3)=no[porque3(θ3)-3porque(θ3)pecado2(θ3)]seco3(θ3)=no[1-3bronzeado2(θ3)]=no(1-3t2),{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ right) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}![{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ right) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c78d425f87ac9e1a5b902b529b8bc9628046866)
y=nopecado(θ)seco3(θ3)=no[3porque2(θ3)pecado(θ3)-pecado3(θ3)]seco3(θ3)=no[3bronzeado(θ3)-bronzeado3(θ3)]=not(3-t2).{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ right) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = at (3-t ^ {2}).}![{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ right) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = at (3-t ^ {2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e810e64889f4c5d96bbc2b3274ea93736f9a47b)
que dá uma equação paramétrica . O parâmetro t pode ser facilmente eliminado, o que dá a equação cartesiana
27noy2=(no-x)(8no+x)2{\ displaystyle 27ay ^ {2} = (ax) (8a + x) ^ {2}}
.
Se a curva é transladada horizontalmente por 8 a , as equações tornam-se
x=3no(3-t2) , y=not(3-t2){\ displaystyle x = 3a (3-t ^ {2}) \, \ y = at (3-t ^ {2})}
ou
x3=9no(x2-3y2){\ displaystyle x ^ {3} = 9a \ left (x ^ {2} -3y ^ {2} \ right)}
,
o que dá a forma polar
r=9noseco(θ)(1-3bronzeado2θ){\ displaystyle r = 9a \ sec (\ theta) \ left (1-3 \ tan ^ {2} \ theta \ right)}
.
Propriedades
Cáustica
As cáusticas de parábola, quando a fonte de luz está no infinito, são cúbicas de Tschirnhausen. É reduzido a um ponto, o foco da parábola, quando a direção da fonte é o eixo da parábola.
Veja também
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