Diferenças divididas
Em matemática , diferenças divididas correspondem a uma discretização das derivadas sucessivas de uma função. Essas são quantidades definidas e calculadas recursivamente pela generalização da fórmula para a taxa de aumento . Eles são usados em particular na interpolação newtoniana .
Definição
dado pontosnão+1{\ displaystyle n + 1}
(x0,y0),...,(xnão,ynão),{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {n}, y_ {n}),}
em coordenadas x separadas, as diferenças divididas são definidas como segue:
[yν]=yν(ν=0,...,não){\ displaystyle [y _ {\ nu}] = y _ {\ nu} \ qquad (\ nu = 0, \ ldots, n)}![{\ displaystyle [y _ {\ nu}] = y _ {\ nu} \ qquad (\ nu = 0, \ ldots, n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf0e53e70626ac3be6b262d58968a6f434514ad)
[yν,...,yν+j]=[yν+1,...yν+j]-[yν,...yν+j-1]xν+j-xν(j=1,...,não,ν=0,...,não-j).{\ displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu + j}] = {\ frac {[y _ {\ nu +1}, \ ldots y _ {\ nu + j}] - [y _ {\ nu}, \ ldots y _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}} \ qquad (j = 1, \ ldots, n, \ qquad \ nu = 0, \ ldots, nj).}![{\ displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu + j}] = {\ frac {[y _ {\ nu +1}, \ ldots y _ {\ nu + j}] - [y _ {\ nu}, \ ldots y _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}} \ qquad (j = 1, \ ldots, n, \ qquad \ nu = 0, \ ldots, nj).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e2f628167b5bd3e106aa3e616d47e91fd05744)
Para qualquer função como , às vezes notamos a diferença dividida .
f{\ displaystyle f}
yeu=f(xeu)(eu=0,...,não){\ displaystyle y_ {i} = f (x_ {i}) \ qquad (i = 0, \ ldots, n)}
f[x0,...,xnão]{\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}![{\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683c749df05d7cf790d0a90a9b90a8e4006d8b5d)
[y0,...,ynão]{\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {n}]}![{\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bbd5be83762398c1f21265e7d625288cd3a555)
Propriedades
De acordo com o teorema de interpolação de Newton , a diferença dividida entre os pontos associados é igual ao coeficiente de grau do polinômio de interpolação de Lagrange desses pontos. Em outras palavras :
não+1{\ displaystyle n + 1}não{\ displaystyle n}
[y0,...,ynão]=∑j=0nãoyj∏0≤eu≤não,eu≠j(xj-xeu){\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {n}] = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {y_ {j}} {\ prod _ {0 \ leq i \ leq n, \, i \ neq j} (x_ {j} -x_ {i})}}}![{\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {n}] = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {y_ {j}} {\ prod _ {0 \ leq i \ leq n, \, i \ neq j} (x_ {j} -x_ {i})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c3554da2961eaebd2eedf1e0579a0b2c4d4896)
.
Essa igualdade tem consequências notáveis:
-
invariância por permutação dos índices :;f[xσ(0),...,xσ(não)]=f[x0,...,xnão](σ∈S{0,...,não}){\ displaystyle f [x _ {\ sigma (0)}, \ dots, x _ {\ sigma (n)}] = f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] \ quad (\ sigma \ em S_ {\ {0, \ dots, n \}})}
![{\ displaystyle f [x _ {\ sigma (0)}, \ dots, x _ {\ sigma (n)}] = f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] \ quad (\ sigma \ em S_ {\ {0, \ dots, n \}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bd200e79024c5df90f51d5175499b65c41c37d)
-
Linearidade : ;(nof+bg)[x0,...,xnão]=nof[x0,...,xnão]+bg[x0,...,xnão]{\ displaystyle (af + bg) [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = a \, f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] + b \, g [x_ {0 }, \ dots, x_ {n}]}
![{\ displaystyle (af + bg) [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = a \, f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] + b \, g [x_ {0 }, \ dots, x_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046c53fa8acdc64644111522565975ecacd7e658)
-
Regra de Leibniz : ;(fg)[x0,...,xnão]=∑j=0nãof[x0,...,xj]g[xj,...,xnão]{\ displaystyle (fg) [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = \ sum _ {j = 0} ^ {n} f [x_ {0}, \ dots, x_ {j}] g [ x_ {j}, \ pontos, x_ {n}]}
![{\ displaystyle (fg) [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = \ sum _ {j = 0} ^ {n} f [x_ {0}, \ dots, x_ {j}] g [ x_ {j}, \ pontos, x_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70510e11397c7183ca704543841400bf22366e3a)
-
teorema da média : para n ≥ 1 e , se for da classe C n -1 em e tiver uma n -ésima derivada em , existe tal quex0<⋯<xnão{\ displaystyle x_ {0} <\ dots <x_ {n}}
f{\ displaystyle f}[x0,xnão]{\ displaystyle [x_ {0}, x_ {n}]}![{\ displaystyle [x_ {0}, x_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edac6e40dff00287ca6ec6d62184b9217f610b5)
]x0,xnão[{\ displaystyle] x_ {0}, x_ {n} [}![{\ displaystyle] x_ {0}, x_ {n} [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bab931a3856fbc023d483c1c6d0ca86c8533ea)
vs∈]x0,xnão[{\ displaystyle c \ in] x_ {0}, x_ {n} [}![{\ displaystyle c \ in] x_ {0}, x_ {n} [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2682ddf6b6cd8d4e6de4fa978d97655a851c7563)
f[x0,...,xnão]=f(não)(vs)não!{\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = {\ frac {f ^ {(n)} (c)} {n!}}}![{\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = {\ frac {f ^ {(n)} (c)} {n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103e0df6254ad08c55e660905661dd4e0e9b6f48)
.
Exemplos
As primeiras iterações fornecem:
Pedido 0:
[y0]=y0{\ displaystyle [y_ {0}] = y_ {0}}![[y_ {0}] = y_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6b71d95d874915cb8659f9bd97988482733218)
Pedido 1:
[y0,y1]=y1-y0x1-x0{\ displaystyle [y_ {0}, y_ {1}] = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}![[y_ {0}, y_ {1}] = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cebb2b013c27e5c8c3943356fe2faee854b01e)
Pedido 2:
[y0,y1,y2]=y2-y1x2-x1-y1-y0x1-x0x2-x0{\ displaystyle [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] = {\ frac {{\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} {x_ {2} -x_ {0}}}}![[y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] = {\ frac {{\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} {x_ {2} -x_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17976ad41f73c89d4a4bd40611dba48569a10baa)
Para tornar o processo recursivo explícito, as diferenças divididas podem ser calculadas organizando-as da seguinte forma em uma tabela:
x0y0=[y0][y0,y1]x1y1=[y1][y0,y1,y2][y1,y2][y0,y1,y2,y3]x2y2=[y2][y1,y2,y3][y2,y3]x3y3=[y3]{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {0} & y_ {0} = [y_ {0}] &&& \\ && [y_ {0}, y_ {1}] && \\ x_ {1} & y_ { 1} = [y_ {1}] && [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & \\ && [y_ {1}, y_ {2}] && [y_ {0}, y_ { 1}, y_ {2}, y_ {3}] \\ x_ {2} & y_ {2} = [y_ {2}] && [y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & \ \ && [y_ {2}, y_ {3}] && \\ x_ {3} & y_ {3} = [y_ {3}] &&& \\\ end {matrix}}}![{\ begin {matrix} x_ {0} & y_ {0} = [y_ {0}] &&& \\ && [y_ {0}, y_ {1}] && \ x_ {1} & y_ {1} = [ y_ {1}] && [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & \\ && [y_ {1}, y_ {2}] && [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] \\ x_ {2} & y_ {2} = [y_ {2}] && [y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & \\ && [y_ {2}, y_ {3}] && \\ x_ {3} & y_ {3} = [y_ {3}] &&& \\\ end {matriz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60ef92b00038923edcedaecccbadd25373b07c1)
No caso em que as abscissas estão em progressão aritmética , as diferenças divididas estão relacionadas às diferenças finitas , definidas por
Δh0[f]=fe△hnão+1[f](x)=△hnão[f](x+h)-△hnão[f](x){\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {0} [f] = f \ quad {\ text {and}} \ quad \ triangle _ {h} ^ {n + 1} [f] (x) = \ triângulo _ {h} ^ {n} [f] (x + h) - \ triângulo _ {h} ^ {n} [f] (x)}![{\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {0} [f] = f \ quad {\ text {and}} \ quad \ triangle _ {h} ^ {n + 1} [f] (x) = \ triângulo _ {h} ^ {n} [f] (x + h) - \ triângulo _ {h} ^ {n} [f] (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6dc9595a3ea50aa00c9079d016bbfae5b4fd05)
,
pela relação (imediata por indução):
f[x,x+h,...,x+nãoh]=1não!hnão△hnão[f](x){\ displaystyle f [x, x + h, \ ldots, x + nh] = {\ frac {1} {n! h ^ {n}}} \ triangle _ {h} ^ {n} [f] (x )}![{\ displaystyle f [x, x + h, \ ldots, x + nh] = {\ frac {1} {n! h ^ {n}}} \ triangle _ {h} ^ {n} [f] (x )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9af1fefb8f5a5dabe45cebad952ed656e705bc)
.
Aplicativo
As diferenças divididas intervêm na formulação do teorema de interpolação de Newton , que dá uma expressão particular do polinômio de interpolação de Lagrange , permitindo, por exemplo, demonstrar que qualquer função polinomial é igual à sua série de Newton .
Veja também
Link externo
Interpolação polinomial (sic) do tipo Newton e diferenças divididas
Crédito do autor
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Divided diferenças " ( veja a lista de autores ) .
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