Interpolação newtoniana
Em análise numérica , a interpolação newtoniana , em homenagem a Isaac Newton , é um método de interpolação polinomial que permite obter o polinômio de Lagrange como uma combinação linear de polinômios da " base newtoniana".
Ao contrário da interpolação de Hermite, por exemplo, este método difere da interpolação Lagrangiana apenas na forma como o polinômio é calculado, o polinômio de interpolação resultante é o mesmo. Por esta razão, também falamos antes da forma de Newton do polinômio de Lagrange.
Definição
dado pontos
k+1{\ displaystyle k + 1}
(x0,y0),...,(xk,yk){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {k}, y_ {k})}( ox j todos distintos de 2 a 2), a interpolação polinomial em uma base de Newton é uma combinação linear de polinômios pertencentes a esta base
NÃO(x)=∑j=0knojnãoj(x){\ displaystyle N (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {k} a_ {j} n_ {j} (x)}
com os polinômios de Newton definidos como segue
nãoj(x)=∏0≤eu<j(x-xeu)j=0,...,k{\ displaystyle n_ {j} (x) = \ prod _ {0 \ leq i <j} (x-x_ {i}) \ qquad j = 0, \ ldots, k}(em particular , o produto vazio )
não0=1{\ displaystyle n_ {0} = 1}
e os coeficientes iguais às diferenças divididas :
noj=[y0,...,yj].{\ displaystyle a_ {j} = [y_ {0}, \ ldots, y_ {j}].}Resumindo :
O polinômio de interpolação de Newton associado a pontos é definido por:
NÃO(x){\ displaystyle N (x)}k+1{\ displaystyle k + 1}(x0,y0),...,(xk,yk){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {k}, y_ {k})}
NÃO(x)=[y0]+[y0,y1](x-x0)+...+[y0,...,yk](x-x0)...(x-xk-1).{\ displaystyle N (x) = [y_ {0}] + [y_ {0}, y_ {1}] (x-x_ {0}) + \ ldots + [y_ {0}, \ ldots, y_ {k }] (x-x_ {0}) \ ldots (x-x_ {k-1}).}
Teorema de interpolação de Newton
O seguinte teorema justifica o nome de "polinômio de interpolação" para :
NÃO{\ displaystyle N}
Este polinômio é igual ao polinômio de interpolação de Lagrange associado aos pontos, ou seja, ao polinômio único de grau menor ou igual a verificar:NÃO{\ displaystyle N}k+1{\ displaystyle k + 1}eu{\ displaystyle L}k{\ displaystyle k}∀eu∈{0,...,k}eu(xeu)=yeu.{\ displaystyle \ forall i \ in \ {0, \ dots, k \} \ quad L (x_ {i}) = y_ {i}.}
Demonstração
Vamos primeiro mostrar, por indução em , que o coeficiente de grau de é igual a . Por sinal, essa igualdade é imediata. Suponha que seja verdadeiro para pontos e denote o polinômio de interpolação associado aos primeiros pontos (com índices a ) e aquele associado ao último (com índices a ). Então,
k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}eu{\ displaystyle L}[y0,...,yk]{\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {k}]}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}P{\ displaystyle P}k{\ displaystyle k}0{\ displaystyle 0}k-1{\ displaystyle k-1}Q{\ displaystyle Q}k{\ displaystyle k}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}
eu(x)=(x-x0)Q(x)-(x-xk)P(x)xk-x0{\ displaystyle L (x) = {\ frac {(x-x_ {0}) Q (x) - (x-x_ {k}) P (x)} {x_ {k} -x_ {0}}} }portanto (por hipótese de indução) o coeficiente de grau de é de fato igual a .
k{\ displaystyle k}eu{\ displaystyle L}[y1,...,yk]-[y0,...,yk-1]xk-x0=[y0,...,yk]{\ displaystyle {\ frac {[y_ {1}, \ dots, y_ {k}] - [y_ {0}, \ dots, y_ {k-1}]} {x_ {k} -x_ {0}} } = [y_ {0}, \ pontos, y_ {k}]}
Com as mesmas notações, vamos mostrar agora, novamente por indução , isso . Por sinal, essa igualdade é imediata. Suponha que seja verdade para pontos. é de grau menor ou igual a e zero em e seu coeficiente de grau é igual àquele de , portanto, de acordo com o acima, a . Portanto, é igual a , isto é, (por hipótese de indução) a .
k{\ displaystyle k}eu=NÃO{\ displaystyle L = N}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}eu-P{\ displaystyle LP}k{\ displaystyle k}x0,...,xk-1{\ displaystyle x_ {0}, \ dots, x_ {k-1}}k{\ displaystyle k}eu{\ displaystyle L}[y0,...,yk]{\ displaystyle [y_ {0}, \ dots, y_ {k}]}eu(x){\ displaystyle L (x)}P(x)+[y0,...,yk](x-x0)...(x-xk-1){\ displaystyle P (x) + [y_ {0}, \ ldots, y_ {k}] (x-x_ {0}) \ ldots (x-x_ {k-1})}NÃO(x){\ displaystyle N (x)}
Observação
O polinômio de interpolação de Lagrange pertence ao espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a , dos quais a "base de Newton" definida acima é uma base. De acordo com o teorema de interpolação de Newton, as coordenadas de in são , onde são as diferenças divididas. Um método ingênuo de calcular diretamente as coordenadas de in seria resolver o sistema de equações lineareseu{\ displaystyle L}k{\ displaystyle k}não: =(não0,...,nãok){\ displaystyle n: = (n_ {0}, \ dots, n_ {k})}eu{\ displaystyle L}não{\ displaystyle n}(no0,...,nok){\ displaystyle (a_ {0}, \ dots, a_ {k})}noeu{\ displaystyle a_ {i}}eu{\ displaystyle L}não{\ displaystyle n}
∑j=0eunojnãoj(xeu)=yeueu=0,...,k{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {i} a_ {j} n_ {j} (x_ {i}) = y_ {i} \ qquad i = 0, \ dots, k},
que se reescreve
(101x1-x01x2-x0(x2-x0)(x2-x1)⋮⋮⋱1xk-x0......∏j=0k-1(xk-xj))(no0⋮nok)=(y0⋮yk).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 &&&& 0 \\ 1 & x_ {1} -x_ {0} &&& \\ 1 & x_ {2} -x_ {0} & (x_ {2} -x_ {0} ) (x_ {2} -x_ {1}) && \\\ vdots & \ vdots && \ ddots & \\ 1 & x_ {k} -x_ {0} & \ ldots & \ ldots & \ prod _ {j = 0} ^ {k-1} (x_ {k} -x_ {j}) \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} a_ {0} \\\ vdots \\ a_ {k} \ end {pmatrix} } = {\ begin {pmatrix} y_ {0} \\\ vdots \\ y_ {k} \ end {pmatrix}}.}Como esse sistema é escalonado e triangular ainda mais baixo , poderíamos resolvê-lo passo a passo, começando com a reta que nos daria então para , o cálculo de nos permitiria deduzir , e assim por diante até .
eu=0{\ displaystyle i = 0}no0{\ displaystyle a_ {0}}eu=1{\ displaystyle i = 1}no0{\ displaystyle a_ {0}}no1{\ displaystyle a_ {1}}eu=k{\ displaystyle i = k}
Formulários
Como mostra a definição de diferenças divididas , pontos adicionais podem ser adicionados para criar um novo polinômio de interpolação sem recalcular os coeficientes. Além disso, se um ponto for modificado, é inútil recalcular todos os coeficientes. Outra vantagem é que, se x i forem distribuídos uniformemente, o cálculo das diferenças divididas torna-se muito mais rápido. Portanto, a forma de Newton para o polinômio de interpolação é preferível à de Lagrange ou mesmo ao método ingênuo acima, por razões práticas.
O teorema de interpolação de Newton nos permite demonstrar que qualquer função polinomial é igual à sua série de Newton .
Veja também
Link externo
Interpolação polinomial do tipo Newton (sic) e diferenças divididas em math-linux.com
Crédito do autor
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Polinômio de Newton " ( veja a lista de autores ) .
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