Efeito Doppler Relativístico

O Doppler relativístico ( EDR ) é uma mudança de frequência (e comprimento de onda ) da luz causada pelo movimento relativo de uma fonte e de um observador, quando os efeitos descritos pela teoria da relatividade são levados em consideração.

Este efeito é diferente do efeito Doppler na mecânica newtoniana, pois as equações incluem a dilatação do tempo , consequência da indiferença do referencial para a velocidade da luz. O EDR e os fenômenos de aberração de luz se formam, graças ao quadrivetor de onda, relações invariantes de Lorentz .

Visualização

Na figura 2, o ponto azul representa o observador e a seta representa o vetor de velocidade do observador. Quando o observador está parado, a grade x , y parece amarela para ele e o eixo y aparece para ele como uma linha vertical preta. À medida que a velocidade do observador aumenta para a direita, as cores mudam e a aberração da luz distorce a grade. Quando o observador olha para frente (à direita na grade), os pontos parecem-lhe ser verdes, azuis e roxos ( deslocados para o azul ) e as linhas da grade parecem-lhe estar mais distantes umas das outras. Se o observador olhar para trás (à esquerda na grade), os pontos aparecem em vermelho ( redshift ) e as linhas aparecem mais próximas umas das outras. A grade não mudou, apenas sua aparência para o observador.

Analogia

A compreensão do efeito Doppler relativístico (EDR) começa com a compreensão do efeito Doppler , dilatação do tempo e aberração de luz . Suponha que duas pessoas estejam jogando bola, um arremessador e um apanhador. Além disso, suponha que o arremessador estacionário lance uma bola à taxa de 1 bala por segundo (frequência de transmissão de 1  Hz ) à taxa de 1  m / s para um apanhador estacionário parado a um metro de distância dele. O receptor estacionário receberá uma bola por segundo (freqüência de recepção de 1  Hz ). Em seguida, o receptor se afasta, por dois segundos, a uma velocidade de 0,5  m / s  : ele, portanto, pega cada bola a cada dois segundos (freqüência de recepção de 0,5  Hz ). Por outro lado, o receptor se aproxima do lançador por dois segundos a 0,5  m / s  : ele, portanto, pega três bolas em dois segundos (frequência de recepção de 1,5  Hz ). As mesmas frequências seriam observadas se o lançador se afastasse e se aproximasse do receptor nas mesmas velocidades e nos mesmos momentos. Por analogia, o EDR muda a frequência da luz conforme o emissor ou receptor se afasta ou se aproxima um do outro.

A Figura 1 mostra um transmissor movendo-se para a direita, enquanto a Figura 2 mostra um observador movendo-se para a direita. Embora a mudança de cor pareça semelhante, a aberração de luz é o oposto. Para entender esse efeito, suponha novamente que duas pessoas estão jogando bola. Se o arremessador estiver se movendo para a direita e o apanhador estiver parado, o arremessador deve mirar atrás do apanhador. Caso contrário, a bola passará para o lado direito do receptor. Além disso, o receptor deve girar para enfrentar o arremessador, caso contrário, a bola atingirá o lado esquerdo do receptor. Por outro lado, se o arremessador estiver parado e o apanhador estiver se movendo para a direita, o arremessador deve mirar na frente do apanhador. Caso contrário, a bola passará para o lado esquerdo do recebedor. Além disso, o receptor deve girar para ficar de frente para as costas do arremessador, ou a bola atingirá o lado direito do apanhador. O ângulo em que o arremessador e o apanhador devem girar depende de dois fatores: 1) o ângulo instantâneo entre o segmento que conecta o arremessador ao apanhador e o vetor de velocidade da bola e 2) a velocidade relativa do par arremessador-apanhador com a velocidade da bola. Por analogia, a aberração da luz depende: 1) do ângulo instantâneo entre o segmento que conecta o emissor ao receptor e o vetor de velocidade da luz e 2) da velocidade do par emissor-receptor em relação à velocidade da luz.

Mova-se ao longo da linha de visão

Suponha que o observador e a fonte se afastem um do outro a uma velocidade relativa de ( será negativo se o observador e a fonte se moverem em direção um ao outro). Vamos analisar este problema do quadro de referência de origem , assumindo que uma frente de onda chega ao observador. A próxima frente de onda está, portanto, a uma distância dela (onde está o comprimento de onda , é a frequência da onda no momento de sua emissão e a velocidade da luz ). Uma vez que a frente de onda está se movendo em velocidade e o observador está se movendo em velocidade , o tempo (medido no quadro de referência da fonte) entre os picos na chegada é dado por v{\ displaystyle v \,}v{\ displaystyle v \,}λ=vs/fs{\ displaystyle \ lambda = c / f_ {s} \,}λ{\ displaystyle \ lambda \,}fs{\ displaystyle f_ {s} \,}vs{\ displaystyle c \,}vs{\ displaystyle c \,}v{\ displaystyle v}

t=λvs-v=vs(vs-v)fs=1(1-β)fs,{\ displaystyle t = {\ frac {\ lambda} {cv}} = {\ frac {c} {(cv) f_ {s}}} = {\ frac {1} {(1- \ beta) f_ {s }}},}

onde está a velocidade do observador em função da velocidade da luz. β=v/vs{\ displaystyle \ beta = v / c \,}

Por causa da dilatação do tempo (relativística), o observador irá medir esta duração como sendo

to=tγ,{\ displaystyle t_ {o} = {\ frac {t} {\ gamma}},}

ou

γ=11-β2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}

é o fator de Lorentz . A frequência observada correspondente é

fo=1to=γ(1-β)fs=1-β1+βfs.{\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {1} {t_ {o}}} = \ gamma (1- \ beta) f_ {s} = {\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}} \, f_ {s}.}

O relatório

fsfo=1+β1-β{\ displaystyle {\ frac {f_ {s}} {f_ {o}}} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}}}

é chamado de "  fator Doppler  " da fonte em relação ao observador. Os comprimentos de onda correspondentes são dados por

λoλs=fsfo=1+β1-β,{\ displaystyle {\ frac {\ lambda _ {o}} {\ lambda _ {s}}} = {\ frac {f_ {s}} {f_ {o}}} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}},}

e o desvio para o vermelho , que ocorre quando o observador e a fonte se afastam um do outro,

z=λo-λsλs=fs-fofo{\ displaystyle z = {\ frac {\ lambda _ {o} - \ lambda _ {s}} {\ lambda _ {s}}} = {\ frac {f_ {s} -f_ {o}} {f_ { o}}}}

pode ser escrito como

z=1+β1-β-1{\ displaystyle z = {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}} - 1.}

Quando a velocidade não é relativística ( ), esse desvio para o vermelho é sobre v≪vs{\ displaystyle v \ ll c}

z≃β=vvs,{\ displaystyle z \ simeq \ beta = {\ frac {v} {c}},},

que corresponde ao efeito Doppler comum.

Efeito Doppler transversal

O efeito Doppler transversal (TDD) é o redshift ou blueshift previsto pela relatividade especial quando uma fonte e um observador estão mais próximos um do outro. A luz emitida neste momento será alterada para vermelho, enquanto a luz observada neste momento será alterada para azul.

Assumindo que os objetos não estão acelerados, a luz emitida quando os objetos estão mais próximos será recebida um pouco mais tarde. Após o recebimento, a quantidade de redshift será

1γ=1-v2/vs2.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2} \,}}.}

e a quantidade de deslocamento para o azul será

γ=11-v2/vs2.{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2} \,}}}.}

A mecânica newtoniana não faz previsões sobre essas mudanças, pois aqui a mudança depende do movimento relativo do meio.

EDT é uma consequência de EDR:

fo=fsγ(1+vporque⁡θovs){\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma \ left (1 + {\ frac {v \ cos \ theta _ {o}} {c}} \ right)}}}

No referencial do observador, θ 0 representa o ângulo entre a direção do emissor no momento da emissão e a direção observada da luz na recepção. Quando , a luz é emitida quando os dois estão mais próximos, o que permite calcular o deslocamento transversal para o vermelho: θ0=π/2{\ displaystyle \ theta _ {0} = \ pi / 2}

fo=fsγ{\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma}} \,}

EDT é uma previsão nova e significativa da relatividade especial. Em 1907, Einstein escreveu "De acordo com a relatividade especial, a frequência emitida por um corpo em movimento é reduzida pelo fator de Lorentz, então - além do efeito Doppler comum - a frequência no receptor é reduzida pelo mesmo fator" .

Reciprocidade

Às vezes, algumas pessoas se perguntam por que o EDT pode causar um desvio para o vermelho para um observador estacionário, enquanto outro observador se movendo com o transmissor também pode ver esse desvio (mesmo acidentalmente) do primeiro observador.

O conceito de "transversal" não é recíproco. Cada observador compreende que quando a luz o atinge transversalmente em seu referencial em repouso, o outro emitiu luz posteriormente medida no referencial em repouso do outro. Além disso, cada observador mede uma frequência reduzida ( dilatação do tempo ). A combinação desses efeitos torna essas observações completamente recíprocas, o que respeita o princípio da relatividade .

Verificação experimental

Na prática, a verificação experimental do efeito transversal é geralmente realizada observando as mudanças longitudinais na frequência ou comprimento de onda conforme um corpo se aproxima ou se afasta: comparando as duas razões, isso demonstra que a quantidade de deslocamento é maior do que o previsto por Newton teoria. Por exemplo, o EDT é essencial para a interpretação dos fenômenos ópticos que emanam do objeto astrofísico SS 433 .

Testes longitudinais

O primeiro teste conhecido que valida essa previsão é o experimento Ives-Stilwell realizado em 1938. Vários experimentos se seguiram alegando ser mais precisos, mas são mais complexos de implementar.

Testes de transversalidade

Em 2011, haveria apenas um experimento inercial que verificaria o desvio para o vermelho de um detector localizado em um ângulo de 90 graus em relação ao objeto.

Movimento em uma direção arbitrária

Se, no quadro de referência do observador, o emissor se afasta na velocidade e no ângulo em relação à direção do observador na fonte (no momento em que a luz é emitida), a frequência muda de acordo com: v{\ displaystyle v \,}θo{\ displaystyle \ theta _ {o} \,}

fo=fsγ(1+vporque⁡θovs)(1){\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma \ left (1 + {\ frac {v \ cos \ theta _ {o}} {c}} \ right)}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ texto 1)}}}.

No caso particular em que e , o efeito Doppler transversal aparece: θo=90∘{\ displaystyle \ theta _ {o} = 90 ^ {\ circ} \,}porque⁡θo=0{\ displaystyle \ cos \ theta _ {o} = 0 \,}

fo=fsγ.{\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma}}. \,}

Devido à velocidade finita da luz, o raio de luz (ou fóton ) percebido pelo observador como chegando de acordo com o ângulo , é, no referencial do emissor, emitido em um ângulo diferente . Os valores e estão relacionados de acordo com a fórmula de aberração relativística  : θo{\ displaystyle \ theta _ {o} \,}θs{\ displaystyle \ theta _ {s} \,}porque⁡θo{\ displaystyle \ cos \ theta _ {o} \,}porque⁡θs{\ displaystyle \ cos \ theta _ {s} \,}

porque⁡θo=porque⁡θs-vvs1-vvsporque⁡θs.{\ displaystyle \ cos \ theta _ {o} = {\ frac {\ cos \ theta _ {s} - {\ frac {v} {c}}} {1 - {\ frac {v} {c}} \ cos \ theta _ {s}}} \,.}

Consequentemente, a equação (1) pode ser reescrita

fo=γ(1-vporque⁡θsvs)fs.(2){\ displaystyle f_ {o} = \ gamma \ left (1 - {\ frac {v \ cos \ theta _ {s}} {c}} \ right) f_ {s}. \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, {\ text {(2)}}}.

Por exemplo, um fóton emitido perpendicularmente no referencial do emissor ( ) seria observado deslocado para o azul: porque⁡θs=0{\ displaystyle \ cos \ theta _ {s} = 0 \,}

fo=γfs.{\ displaystyle f_ {o} = \ gamma f_ {s}. \,}

Na mecânica newtoniana , as duas equações (1) e (2) dão

Δff≃-vporque⁡θvs.{\ displaystyle {\ frac {\ Delta f} {f}} \ simeq - {\ frac {v \ cos \ theta} {c}}.}

Movimento acelerado

Para movimentos acelerados em um referencial arbitrário, deve haver uma distinção entre o movimento da fonte e do observador. O efeito Doppler quando observado a partir de um quadro de referência inerte arbitrário é dado por:

fofs=1-‖vo→‖‖vs→‖vsos(θvso)1-‖vs→‖‖vs→‖vsos(θvss)1-(vs/vs)21-(vo/vs)2{\ displaystyle {\ frac {f_ {o}} {f_ {s}}} = {\ frac {1 - {\ frac {\ | {\ vec {v_ {o}}} \ |} {\ | {\ vec {c}} \ |}} cos (\ theta _ {co})} {1 - {\ frac {\ | {\ vec {v_ {s}}} \ |} {\ | {\ vec {c} } \ |}} cos (\ theta _ {cs})}} {\ sqrt {\ frac {1- (v_ {s} / c) ^ {2}} {1- (v_ {o} / c) ^ {2}}}}}

ou

vs→{\ displaystyle {\ vec {v_ {s}}}} é a velocidade da fonte no momento da transmissão vo→{\ displaystyle {\ vec {v_ {o}}}} é a velocidade do observador no momento da recepção vs→{\ displaystyle {\ vec {c}}} é o vetor da velocidade da luz θvss{\ displaystyle \ theta _ {cs}} é o ângulo entre a velocidade da fonte e a velocidade da luz no momento da emissão θvso{\ displaystyle \ theta _ {co}} é o ângulo entre a velocidade do observador e a velocidade da luz no momento da recepção

Se é paralelo a , então , o que provoca um aumento na frequência medida pelo observador , que é maior em comparação com a da fonte . Além disso, se é antiparalelo a , então , fazendo com que a frequência medida pelo observador diminua em relação à frequência da luz emitida . vs→{\ displaystyle {\ vec {c}}}vs→{\ displaystyle {\ vec {v_ {s}}}}θvss=0∘{\ displaystyle \ theta _ {cs} = 0 ^ {\ circ}}fo{\ displaystyle f_ {o}}fs{\ displaystyle f_ {s}}vs→{\ displaystyle {\ vec {c}}}vs→{\ displaystyle {\ vec {v_ {s}}}}θvss=180∘{\ displaystyle \ theta _ {cs} = 180 ^ {\ circ}}fo{\ displaystyle f_ {o}}fs{\ displaystyle f_ {s}}

É o efeito Doppler comum multiplicado pela proporção dos fatores de Lorentz do observador e da fonte.

Devido à refração , a direção da luz no momento da emissão geralmente não é a mesma no momento da observação. Em meios refratários, o caminho da luz geralmente desvia do caminho em linha reta entre os pontos de emissão e de observação. O efeito Doppler depende da velocidade da fonte paralela à direção da luz no momento da emissão e da velocidade do observador paralela à direção da luz na recepção. Este resultado não contradiz a relatividade especial .

O EDT pode ser analisado a partir de um repositório onde a fonte e o observador têm a mesma velocidade, mas de sinais opostos. Nesse sistema de referência, a razão dos fatores de Lorentz é sempre igual a 1 e todos os desvios Doppler respeitam as equações da mecânica newtoniana . Em geral, a mudança de frequência observada é invariante, mas as contribuições relativas da dilatação do tempo e do efeito Doppler comum dependem do quadro de referência.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “  Efeito Doppler relativístico  ” ( veja a lista de autores ) .

1. Eric Gourgoulhon , Restricted Relativity: From Particles to Astrophysics , Les Ulis / Paris, EDP Sciences, col.  "Conhecimento atual",17 de maio de 2010, 776  p. ( ISBN  978-2-7598-0067-4 , apresentação online , ler online ) , p.  101
2. (em) Herbert E. Ives e GR Stilwell , "  Um estudo experimental da taxa de um relógio em movimento  " , Journal of the Optical Society of America , vol.  28, n o  7,1938, p.  215-226 ( DOI  10,1364 / JOSA.28.000215 , bibcode  1938JOSA ... 28..215I )
3. (em) Herbert E. Ives e GR Stilwell , "  Um estudo experimental da taxa de um relógio em movimento II  " , Journal of the Optical Society of America , vol.  31,1941, p.  369-374
4. (em) D. Hasselkamp E. Mondry e A. Scharmann , "  Direct Observation of the Doppler-shift Transversal  " , Z. Physik , vol.  A 289,1979, p.  151-155
5. (em) Kevin S. Brown , "Doppler Shift for Sound and Light" in Kevin S. Brown, Reflections on Relativity , MathPages,16 de outubro de 2011, 727  p. ( leia online ) , p.  121-129
6. (em) CC Chao e TD Mayer , "  Um Efeito Adicional da Refração Troposférica no Rastreamento de Rádio de Nave Espacial Perto da Terra em Ângulos de Baixa Elevação  " , JPL Technical Report , Vol.  III, n os  32-1526,1971, p.  63-70 ( leia online [PDF] , acessado em 9 de janeiro de 2011 )

Apêndices

Bibliografia

• (de) Albert Einstein , “  Zur Elektrodynamik bewegter Körper  ” , Annalen der Physik , vol.  322, n o  10,1905, p.  891-921 ( DOI  10.1002 / andp.19053221004 , bibcode  1905AnP ... 322..891E )Uma tradução para o inglês do artigo está disponível: On the Electrodynamics of Moving Bodies
• (de) A. Einstein , “  Über die Möglichkeit einer neuen Prüfung des Relativitätsprinzips  ” , Annalen der Physik , vol.  SER. 4, n o  23,1907
• (en) J. Jackson , Classical Electrodynamics , New York, Wiley,1999, 3 e  ed.

Artigos relacionados

• Efeito Doppler-Fizeau
• Mudança para o vermelho
• Mudar para o azul
• Dilatação do tempo
• Relatividade

links externos

• (pt) Animação mostrando o efeito Doppler ou o efeito Doppler relativístico
• (en) M. Moriconi, Teoria da relatividade especial através do efeito Doppler , 2006
• (pt) Um Simulador de Relatividade Especial (simulação de computador mostrando o efeito Doppler relativístico)
• (pt) O efeito Doppler no site MathPages