Hardy Space

Os espaços de Hardy, no campo da matemática da análise funcional , são espaços de funções analíticas no disco de unidade ? o plano complexo .

O caso de Hilbert: o espaço H 2 (?)

Definição

Seja f uma função holomórfica em ?, sabemos que f admite uma expansão em série de Taylor em 0 no disco unitário:

∀z∈Df(z)=∑não=0+∞f^(não) znãocomf^(não): =f(não)(0)não!.{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ hat {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {com}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Dizemos então que f está no espaço de Hardy H 2 (?) se a sequência pertence a ℓ 2 . Em outras palavras, temos: (f^(não)){\ displaystyle ({\ hat {f}} (n))}

H2(D)={f∈Hoeu(D) | ∑não=0+∞|f^(não)|2<+∞}{\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ left \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ left | ~ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Em seguida, definimos a norma de f por:

‖f‖2: =(∑não=0+∞|f^(não)|2)12.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Exemplo

A função pertence a H 2 (?), por convergência das séries ( série de Riemann convergente ). z↦registro⁡(1-z)=-∑não=1∞znãonão{\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}∑não≥11não2{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Outra expressão do padrão

Para f holomórfico em ? e para 0 ≤ r <1 , definimos:

M2(f,r): =(12π∫-ππ|f(reeut)|2 dt)12.{\ displaystyle M_ {2} (f, r): = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

• a função r ↦ M 2 ( f , r ) está aumentando em [0, 1 [ .
• f ∈ H 2 (?) se e somente see tivermos:limr→1-M2(f,r)<+∞{\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} M_ {2} (f, r) <+ \ infty}

‖f‖22=limr→1-12π∫-ππ|f(reeut)|2 dt=e aí0≤r<112π∫-ππ|f(reeut)|2 dt.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} {{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.} Demonstração

• Vamos colocar onde e . Nós temos :z=reeut{\ displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}r∈[0,1[{\ displaystyle r \ in [0,1 [}t∈[-π,π]{\ displaystyle t \ in [- \ pi, \ pi]}f(z)=∑não=0+∞f^(não)znão portanto f(reeut)=∑não=0+∞f^(não)rnãoeeunãot{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {portanto}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}Então, pela fórmula de Parseval , temos:M2(f,r)2=∑não=0+∞|f^(não)|2r2não{\ displaystyle M_ {2} (f, r) ^ {2} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}Esta fórmula prova a primeira afirmação.
• Se f ∈ H 2 (?), a fórmula anterior mostra que é uma função crescente, portanto limitada existe e de acordo com o teorema da convergência monotônica esse limite é igual . Por outro lado , se , para cada um , temos, pelo crescimento de  :M2(f,.){\ displaystyle M_ {2} (f,.)}limr→1-M2(f,r){\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r)}}‖f‖2{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}limr→1-M2(f,r)=M<+∞{\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r) = M <+ \ infty}}NÃO≥0{\ displaystyle N \ geq 0}M2(f,r){\ displaystyle M_ {2} (f, r)}∑não=0NÃO|f^(não)|2r2não≤∑não=0+∞|f^(não)|2r2não≤M2{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}Passando ao limite quando tende para então quando tende para , obtemos a segunda assertiva.r{\ displaystyle r}1-{\ displaystyle 1 ^ {-}}NÃO{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Algumas propriedades do espaço H 2 (?)

• O espaço de Hardy H 2 (?) é isometricamente isomórfico (como um espaço vetorial normalizado ) a ℓ 2 . É, portanto, um espaço de Hilbert .

Demonstração

Consideramos a aplicação definida por . Isso é bem definido pela definição de H 2 (?), é claramente linear. Pela singularidade do desenvolvimento em toda a série é injetivo , resta mostrar que é sobrejetivo . T:H2(D)→ℓ2{\ displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}T(f)=(f^(não)){\ displaystyle T (f) = ({\ hat {f}} (n))}

Seja , portanto limitada toda a série f definida por um raio de convergência maior ou igual a 1, em particular e . é, portanto, sobrejetora. (nonão)∈ℓ2{\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}(nonão){\ displaystyle (a_ {n})}f(z)=∑não=0+∞nonãoznão{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}f∈Hoeu(D){\ displaystyle f \ in Hol (\ mathbb {D})}T(f)=(nonão){\ displaystyle T (f) = (a_ {n})}T{\ displaystyle T}

• Para todo f ∈ H 2 (?) e para todo z em ?, temos:

|f(z)|≤‖f‖21-|z|2.{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.} Demonstração

Aplicamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz à expansão da série de Taylor de f em 0. Temos então, para todo z em ?:

|f(z)|≤∑não=0+∞|f^(não)||z|não≤‖f‖2(∑não=0+∞|z|2não)12=‖f‖21-|z|2{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}}.

Isso significa que o mapa linear de avaliação f ↦ f ( z ) , de H 2 (?) a ℂ, é contínuo para todo z em ? e sua norma é menor que:

11-|z|2.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.}

Na verdade, podemos mostrar que a norma é exatamente igual a essa constante.

• A topologia fraca da bola unitária de H 2 (?) coincide com a topologia de convergência uniforme em qualquer compacto .

As próximas duas propriedades são conseqüências diretas da última.

• Seja ( f n ) uma sequência de elementos de H 2 (?) que converge em norma para f então ( f n ) converge uniformemente em qualquer compacto de ? para f .
• Seja ( f n ) uma sequência de elementos de H 2 (?) incluídos na bola unitária. Então podemos extrair uma subsequência que converge uniformemente em qualquer compacto de ?.

O caso geral

Definição

Para 0 < p <+ ∞ , define-se o espaço de Hardy H p (?) como sendo o espaço das funções analíticas f no disco unitário, tais como:

e aí0<r<1(∫02π|f(reeut)|p dt2π)<+∞.{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) <+ \ infty.}

Em seguida, definimos:

‖f‖p=e aí0<r<1(∫02π|f(reeut)|p dt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Algumas propriedades

• Para p ≥ 1 , H p (?) é um espaço de Banach .
• Seja f ∈ H p (?) para p ≥ 1 . Portanto, para quase todo t (no sentido da medida de Lebesgue ):f∗(eeut): =limr→1-f(reeut){\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}): = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}existe e o mapa f ↦ f * é uma isometria de H p (?) no subespaço de onde:H∗p{\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}eup([0,2π],dt2π){\ displaystyle L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right)}H∗p={f∈eup([0,2π],dt2π) | ∀não≤-1, f^(não)=0}.{\ displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ left \ {\ left.f \ in L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}
• Temos outra caracterização da norma graças às propriedades das funções sub - harmônicas  : Para qualquer f ∈ H p (?), temos:

‖f‖p=limr→1-(∫02π|f(reeut)|pdt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Fatoração Beurling

Bibliografia

• (pt) Peter L. Duren , Teoria dos Espaços H p , Dover ,2000, 292  p. ( ISBN  978-0-486-41184-2 , leia online )
• Nikolaï Nikolski, Elementos de análise avançada T.1 - Espaços de Hardy , Belin ,novembro de 2012, ( ISBN  978-2701163482 )

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